數控技術插補第四章第1頁，課件共21頁，創作于2023年2月

自由曲面是工程中最復雜而又經常遇到的曲面，在航空、造船、汽車、能源、國防等部門中許多零件的外形如各種葉片曲面、各種螺旋槳葉曲面、許多變距螺旋面以及模具工作面等均為空間自由曲面，其形狀復雜、材料難以加工、精度要求高，在整個部件生產過程中其加工質量和加工效率的高低舉足輕重。第2頁，課件共21頁，創作于2023年2月1963年美國波音公司佛格森將曲線曲面表示為參數矢量函數式；1964年美國麻省理工學院（MIT）孔斯用封閉曲線的四條邊界定義一塊曲面；同一年，舍恩伯格提出了參數樣條曲線、曲面的形式；1971年，法國雷諾（Renault）汽車公司的貝齊爾（Bezier）提出用控制多邊形定義曲線和曲面的方法；1972年，德布爾（deBoor）給出B樣條標準的計算方法；1974年,美國通用汽車公司戈登（Gorden)將B樣條理論用于形狀描述，提出B樣條曲線、曲面；1975年，美國人佛斯普里爾在博士論文中提出有理B樣條方法；20世紀80年代，美國人皮格爾等將有理B樣條發展成為非均勻有理B樣條（NUBRS)方法。用NUBRS方法可統一表示初等解析曲線和曲面，成為當今自由曲線和曲面最廣為流行的技術。第3頁，課件共21頁，創作于2023年2月4.1基點和節點計算

機械零件由幾種不同幾何元素構成的，如，直線、圓弧、二次曲線等。基點：各個幾何元素之間的連接點，如：直線與直線的交點，直線與圓弧的交點或切點，圓弧與圓弧的交（切）點，圓弧與一般二次曲線的交（切）點等。對于直線和圓弧組成的平面零件，由于數控系統都有直線和圓弧插補功能，數值計算較簡單，主要是確定基點坐標、圓弧的中心坐標。有了基點的坐標，就可編寫出這些直線和圓弧的加工程序。第4頁，課件共21頁，創作于2023年2月4.1.1節點的計算

對于自由曲線，一般的數控系統不具備自由曲線的插補功能，做法是：即將這類輪廓曲線按編程允差分割成許多小段，用直線或圓弧來代替(即逼近)這些曲線小段。節點：逼近直線或圓弧小段與輪廓曲線的交點或切點稱為節點。

數值計算的任務就是求算節點的坐標。

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在數控加工方法中所說的空間立體曲面的行切法加工，實際上是用許多平行的平面曲線來逼近空間曲面，這時需求出所有的平面曲線，面且還要計算各平面曲線上的基點或節點，然后再編寫各節點、基點之間的直線或圓弧加工程序。

第6頁，課件共21頁，創作于2023年2月4.1.2非圓曲線的節點計算非圓曲線：除直線、與圓外，可用y=f(x)表示的平面曲線。節點的數目及其坐標值取決于曲線的特性，逼近線段的形狀及允許的迫近誤差δ允。根據這三方面的條件、可用數學方法求出各節點的坐標。是用直線還是圓弧作為逼近線段，則應考慮在保證逼近精度的前提下，使節點數目少，計算簡單。

1）曲率半徑大的曲線用直線逼近較為有利；

2）曲線某段接近圓弧，用圓弧逼近有利；常用的逼近線段與節點計算方法有以下幾種。第7頁，課件共21頁，創作于2023年2月1.等間距直線逼近法方法：使每一個程序段中的某一個坐標的增量相等。直角坐標系：令x坐標的增量相等；極坐標系：令轉角坐標的增量相等，也可令向徑長度的增量相等。圖中為加工一個凸輪時，x坐標按等間隔分段時節點的分布情況。間距的大小一般根據零件加工精度憑經驗選取。第8頁，課件共21頁，創作于2023年2月從上圖看出，不一定每一段都要驗算。只需驗算y坐標增量值最大的線段(如小A1A2段)；曲率比較大的線段(如A5A6段)；有拐點的線段(如A6A7段)。如果這些線段的逼近誤差小于允許值，其他線段一定能滿足要求。下圖中A1A2是要驗算的線段，曲線的方程距直線A1A2為δ允的直線方程式中：A=y1-y2,B=x2-x1,C=y1(x1-x2)－x1(y1-y2)第9頁，課件共21頁，創作于2023年2月2.等弦長直線逼近法方法：使每個程序段的直線段長度相等。由于零件輪廓曲線各處的曲率不同，因此，各段的逼近誤差不相等，必須使最大誤差仍小于δ允。一般說來，零件輪廓曲線的曲率半徑最小的地方，逼近誤差最大。先確定曲率半徑最小的位置，然后在該處按照逼近誤差小于等于δ允的條件求出逼近直線段的長度，用此弦長分割零件的輪廓曲線，即可求出各節點的坐標。

第10頁，課件共21頁，創作于2023年2月3.等誤差直線逼近法該法是使每個直線段的逼近誤差相等，并小于或等于δ允。所以上面兩種方法都合理，程序段數更少。大型、復雜的零件輪廓采用這種方法較合理。第11頁，課件共21頁，創作于2023年2月4.圓弧逼近法

如果數控機床有圓弧插補功能，可用圓弧去逼近工件的輪廓曲線。

但需要求每段圓弧的圓心、起點、終點的坐標值及圓弧半徑。

節點的計算依據：圓弧段與工件輪廓曲線間的誤差≤δ允。第12頁，課件共21頁，創作于2023年2月4.2三次參數樣條曲線某些零件，如機翼外形、內燃機進排氣門的凸輪曲線等，對外形的光順性要求較高，曲線的光順性就意味著曲線的導數要連續。如果要求曲線的一階和二階導數都是連續的，這可用三次樣條曲線。樣條：最初是在造船業中放樣用的一根木料或塑料做成的彈性長條，放樣員利用它通過型值點畫出光滑的曲線，樣條曲線便由此而得名。下面介紹三次參數樣條曲線。第13頁，課件共21頁，創作于2023年2月4.2.1.三次樣條曲線定義：在區間[a，b]上給定n個點：x1,x2,…xn，得到a=x1＜x2

＜…＜xn=b,稱在區間[a，b]上滿足下列條件的函數S(x）為三次樣條函數：1）在每一個子區間[xi,xi+1](i=1,2…n-1)上，S(x)都是三次函數。2）在整個區間[a,b]上，S(x)連續，且具有連續的一階和二階導數。則稱S(x)為[a，b]上，以xi(i=1,2,…n)為節點的三次樣條函數。第14頁，課件共21頁，創作于2023年2月1.三次參數樣條曲線方程曲線、曲面有顯式、隱式和參數表示，從計算機圖形學和計算幾何的角度看，參數表示較好。曲線上每一點的笛卡爾坐標的參數是：

x＝x(t)y＝y(t)曲線上一點的參數表達式為：

p(t)＝[x(t),y(t)]工程上常用以弦長t為參數的三次樣條函數。第15頁，課件共21頁，創作于2023年2月已知兩端點，得到一條通過P1,P2點，且具有相同切矢量的三次參數樣條曲線。其中稱為三次參數樣條曲線的基函數。t為曲線起點與曲線上任一點之間的弦長，t∈[0,1]端點條件：第16頁，課件共21頁，創作于2023年2月2.兩段曲線光滑連接的條件要構造一條三次參數樣條曲線需要給出端點的坐標與切矢量，若要構造一條通過多個型值點的光滑曲線，就要給出這些型值點的坐標和切矢量，使初始條件太多。事實上，只要給出各型值點的坐標和兩個端點的切矢量，就可根據曲線光滑連接條件構造出通過各型值點的光滑曲線，中間各連結點的切矢量可由型值點坐標確定，方法為：第17頁，課件共21頁，創作于2023年2月設曲線P1＝P1(t),P2＝P2(t),分別通過P1、P2、P3、P4，曲線在P2點光滑連接，即第18頁，課件共21頁，創作于2023年2月可寫成矩陣形式：第19頁，課件共21頁，創作于2023年2月3.端點條件給出兩個端點的切矢量上式為（