最優化與最優控制補充變分第1頁，課件共31頁，創作于2023年2月

變分不等式實例Wardrop平衡配流原則描述如下：在起終點之間所有可供選擇的路線中，使用者所利用的各條路線上的出行費用全都相等，而且不大于未被利用路線上的出行費用。滿足這一原則的交通狀態被定義為Wardrop平衡狀態，上述配流原則又可稱為用戶平衡配流。

Beckmann采用以下數學形式描述Wardrop平衡狀態：

其中為平衡狀態下O-D對之間的出行費用。

，

第2頁，課件共31頁，創作于2023年2月

變分不等式實例在路段費用是流量的嚴格增函數的假定下，Dafermos（1980）將城市交通網絡均衡流問題改寫為變分不等式問題，最一般的形式就是：尋找均衡路段流量，使得對所有有

其中

其中為路段阻抗向量函數，它是流量的嚴格增函數，為路徑流量，為O-D需求量，代表路段/路徑關聯矩陣，代表O-D對/路徑關聯矩陣。在路段費用是流量的嚴格增函數的假定下，這個變分不等式有唯一路段解。

第3頁，課件共31頁，創作于2023年2月

1.1變分不等式基本概念變分不等式廣泛應用于各種問題的數學建模，主要有以下優點：（1）變分不等式問題給出了包括優化問題、互補問題、方程組問題和不動點理論在內的一些數學問題的一般描述。（2）變分不等式問題與等價的優化問題之間的關系是非常重要的，根據其等價的優化問題，可直接得到各種求解變分不等式的算法。（3）變分不等式問題的唯一性證明非常簡單。（4）變分不等式問題的幾何解釋非常直觀。第4頁，課件共31頁，創作于2023年2月

現給出變分不等式問題的精確定義：設為一維實值函數，定義，則稱為一向量值函數。定義3.1有限維變分不等式問題（簡稱為VIP）就是確定一個向量，使得，（2.1）其中是給定的連續向量值函數，是非空閉凸集。第5頁，課件共31頁，創作于2023年2月

2.2.1優化問題

一般優化問題的特征是：有一個取最小或最大值的目標，同時滿足一定的約束。因此，優化問題可描述為：（2.2）其中是特定的優化目標，為決策變量的函數，是可行集。定理2.1（最優性條件）

令是非空閉凸集上的連續可微函數，且，若是優化問題（2.2）的解，那么也是VIP（2.1）的解。反之，當偽凸時成立。

1.2與變分不等式相關的數學問題第6頁，課件共31頁，創作于2023年2月

定理2.2

如果在上是連續可微的,且其雅克比矩陣是對稱且半正定的，則存在一個實值函數滿足，此時上述變分不等式問題的解也是下面優化問題

的最優解。

第7頁，課件共31頁，創作于2023年2月

定義2.2

令是連續的，互補問題即確定，使得

互補問題是定義在非負卦限上由等式和不等式構成的系統。定理2.3

定義在上的VIP（2.1）和互補問題（2.4）~（2.6）若都有解，則其解相同。

2.2.2互補問題（ComplementarityProblems，簡稱CP）（2.4）（2.5）（2.6）第8頁，課件共31頁，創作于2023年2月

2.2.3方程組（EquationSystems）定義2.3令定義在上，方程組問題指的是確定，使得。定理2.4向量是VIP（2.1）的解，當且僅當。2.2.4不動點問題（FixedPointProblems）定義2.4令連續，不動點問題就是確定，使得

（2.12）

第9頁，課件共31頁，創作于2023年2月

定理2.5向量是VIP（2.1）的解，當且僅當對任意的，是映射的不動點，即（2.13）其中是正交投影映射，即（2.14）第10頁，課件共31頁，創作于2023年2月

1.3變分不等式在交通平衡配流問題中的應用第11頁，課件共31頁，創作于2023年2月

第12頁，課件共31頁，創作于2023年2月

第13頁，課件共31頁，創作于2023年2月

第14頁，課件共31頁，創作于2023年2月

第15頁，課件共31頁，創作于2023年2月

隨著人類社會的不斷發展，實際問題的規模越來越大，結構越來越復雜，涉及到對問題做出決策的人也越來越多，而且這些決策者各自處于不同的層次上。一般的，高一級決策機構（者）自上而下的對下一級決策機構（者）行使某種控制、引導權，而下一級決策機構（者）在這一前提下，亦可以在其管理職責范圍內行使一定的決策權，雖然這種決策權比較起來處于從屬的地位。另外，在這種多層次決策系統中，每一級都有自身的目標函數，而越高層機構的決策目標越重要，越權威，越具有全局性，因此最終的決策結果往往是尋求使各層決策機構之間達到某種協調的具體方案。2雙層規劃簡介第16頁，課件共31頁，創作于2023年2月

在這一方案下，既可使最高層決策機構的目標達到“最優”，也可使作為上級決策的“約束”的較低層決策機構的目標在從屬位置上相應達到“最優”，即下層決策以上層決策變量為參數，一般稱具有以上基本特征的決策問題為主從遞階（或多層）決策問題。主從遞階決策問題最初是由VonStackelberg于1952年在研究市場經濟問題時提出的，因此此問題有時候也稱為Stackelberg問題，也就是通常所說的多層規劃問題。第17頁，課件共31頁，創作于2023年2月

雙層規劃是具有兩個層次系統的規劃與管理（控制）問題。很多決策問題由多個具有層次性的決策者組成，這些決策者具有相對的獨立性，即是說上層決策只是通過自己的決策去指導（或引導）下層決策者，不直接干涉下層的決策；而下層決策者只需把上層的決策作為參數或約束，它可以在自己的可能范圍內自由決策。如果組成這種上、下層關系不止一個時，這樣的系統為多層決策系統。如果只有一個上、下層關系時，這樣的系統通常稱為雙層規劃問題。由此可見，雙層規劃問題雖然是多層決策系統的特殊形式，但它是最基本的形式。

第18頁，課件共31頁，創作于2023年2月

其中由下述規劃求得（U）（L）

上層決策者通過設置的值影響下層決策者。下層決策變量是上層決策變量的函數，即,這個函數一般被稱為反應函數。

一般來說，雙層規劃（簡稱BP）模型具有如下形式

第19頁，課件共31頁，創作于2023年2月

雙層規劃系統按如下過程進行決策：上層給下層一定的信息，下層在這些信息下，按自己的利益或偏好做出反應（決策），上層再根據這些反應，做出符合全局利益的決策。上層給出的信息是以一種可能的決策形式給出的，下層的反應實際上是對上層決策的對策，這種對策在下層看來是最好的，它顯然與上層給出的信息有關，為了使整個系統獲得“最好的”利益，上層必須綜合下層的對策，調整自己的決策。第20頁，課件共31頁，創作于2023年2月

如果每個決策者都按規定的指標函數在其可能范圍內做出決策，那么，雙層決策系統可能描述為雙層規劃問題。如果每個決策者的指標函數由單個函數組成，這樣的雙層規劃為雙層單目標規劃問題；如果有的決策者的指標函數是一組函數，這樣的雙層規劃問題為雙層多目標規劃問題。第21頁，課件共31頁，創作于2023年2月

雙層規劃問題一般具有如下幾大特點：層次性——系統分層管理，下層服從上層，但下層有相對的自主權。獨立性——各層決策者各自控制一部分決策變量，以優化各自的目標。沖突性——各層決策者有各自不同的目標，且這些目標往往是相互矛盾的。優先性——上層決策者優先做出決策，下層決策者在優化自己的目標而選擇策略時，不能改變上層的決策。

第22頁，課件共31頁，創作于2023年2月

自主性——上層的決策可能影響下層的行為，因而部分地影響下層目標的實現，但上層不能完全控制下層的選擇行為，在上層決策允許范圍內，下層有自主決策權。制約性——下層的決策不但決定著自身目標的實現，而且也影響上層目標的實現，因此上層在選擇策略優化自己的目標時，必須考慮到下層可能采取的策略對自己的不利影響。依賴性——各層決策者的容許策略集通常是不可分離的，形成一個相關聯的整體。

第2