數值分析第四章矩陣特征值與特征向量的計算1第1頁，課件共31頁，創作于2023年2月冪法

用于計算矩陣按模最大的特征值及其相應的特征向量,特別適用于大型稀疏矩陣.§1冪法和反冪法反冪法用于計算矩陣按模最小的特征值及其特征向量,也可用來計算對應于一個給定近似特征值的特征向量.2第2頁，課件共31頁，創作于2023年2月設A為n階實矩陣,其特征值為1,2,…,n,相應的特征向量為u1,u2,…,un.且滿足條件u1,u2,…,un線性無關.冪法冪法:求1及其相應的特征向量.此時1一定是實數!1通常稱為主特征值.3第3頁，課件共31頁，創作于2023年2月冪法基本思想給定初始非零向量x(0),由矩陣A構造一向量序列在一定條件下,當k充分大時:相應的特征向量為:4第4頁，課件共31頁，創作于2023年2月設1不為零.x(k+1)為1的特征向量的近似向量(除一個因子外).對任意向量x(0),有冪法的理論依據故5第5頁，課件共31頁，創作于2023年2月如果x(0)的選取恰恰使得1=0,冪法仍能進行.因為計算過程中會有舍入誤差,迭代若干次后,必然會產生一個向量x(k),它在u1方向上的分量不為零,這樣以后的計算就滿足所設條件.因為計算過程中可能會出現上溢(|1|>1)或下溢成為0(|1|<1).為避免出現這一情形,實際計算時每次迭代所求的向量都要歸一化.6第6頁，課件共31頁，創作于2023年2月歸一化過程設有一向量x0,將其歸一化得到向量其中max(x)表示向量x的絕對值最大的分量,即如果有例

x=(1,－8,7)T,則max(x)=－8,歸一化向量為7第7頁，課件共31頁，創作于2023年2月冪法的計算公式任取初始向量x(0)=y(0)0,對k=1,2,…,構造向量序列{x(k)},{y(k)}當k充分大時8第8頁，課件共31頁，創作于2023年2月定理設n階實矩陣A有n個線性無關的特征向量u1,u2,…,un,主特征值1滿足|1|>|2|

|3|

…|n

|,則對任取非零初始向量x(0)=y(0)0(10),按下述方法構造向量序列{x(k)},{y(k)}

則有9第9頁，課件共31頁，創作于2023年2月冪法特別適用于求大型稀疏矩陣的主特征值和相應的特征向量.若A的主特征值1為實的m重根,即1=

2=…=m,且|1|>|m+1|

|m+2|

…|n

|,又設A有n個線性無關的特征向量,此時冪法仍然適用.冪法的收斂速度取決于比值即

比值越接近1,收斂速度越慢,比值越接近0,收斂越快.10第10頁，課件共31頁，創作于2023年2月例用冪法求矩陣的按模最大的特征值和相應的特征向量.取x(0)=(0,0,1)T,要求誤差不超過103.解11第11頁，課件共31頁，創作于2023年2月12第12頁，課件共31頁，創作于2023年2月應用冪法計算矩陣A的主特征值的收斂速度主要由比值r=|2/1|來決定,但當r接近于1時,收斂可能很慢.這時可以采用加速收斂的方法.冪法的加速—原點移位法引進矩陣B=A－0I其中0為代選擇參數.設A的特征值為1,2,…,n,則B的特征值為1－0,2－0,…,n－0,而且A,B的特征向量相同.13第13頁，課件共31頁，創作于2023年2月仍設A有主特征值1,且取0使得且用冪法求矩陣B=A0I的按模最大的特征值1*,則1=1*+0.1－0是B=A0I的主特征值對B應用冪法比對A應用冪法收斂速度快原點移位法14第14頁，課件共31頁，創作于2023年2月例矩陣A的特征值為直接應用冪法求矩陣A的主特征值其收斂速度為用原點移位法求主特征值,取0=2.9,此時收斂速度為15第15頁，課件共31頁，創作于2023年2月原點移位法使用簡便,不足之處在于0的選取十分困難,通常需要對特征值的分布有一大概的了解,才能粗略地估計0,并通過計算不斷進行修改.16第16頁，課件共31頁，創作于2023年2月若{ak}線性收斂于a,即當k充分大時，有冪法的加速—Aitken加速法17第17頁，課件共31頁，創作于2023年2月可以證明用逼近a,這就是Aitken加速法.把上式右端記為即比快.將Aitken方法用于冪法產生的序列{k},可加快冪法的收斂速度.18第18頁，課件共31頁，創作于2023年2月例用Aitken加速法求矩陣的按模最大的特征值和相應的特征向量,取x(0)=(0,0,1)T.解19第19頁，課件共31頁，創作于2023年2月反冪法用于計算矩陣按模最小的特征值及其特征向量,也可用來計算對應于一個給定近似特征值的特征向量,是目前求特征向量最有效的方法.反冪法20第20頁，課件共31頁，創作于2023年2月設A為n階實可逆矩陣，其特征值滿足對應的特征向量分別u1,u2,…,un,則A1的特征值滿足對應的特征向量分別un,un-1,…,u2,u1.反冪法：計算n以及相應的特征向量.反冪法21第21頁，課件共31頁，創作于2023年2月對于A1應用冪法迭代，可求得矩陣A1的主特征值1/n,從而求得A的按模最小的特征值n.反冪法基本思想22第22頁，課件共31頁，創作于2023年2月反冪法迭代公式為任取初始向量x(0)=y(0)0,構造向量序列迭代向量x(k+1)可以通過解方程組求得當k充分大時23第23頁，課件共31頁，創作于2023年2月定理設A為非奇異矩陣且有n個線性無關的特征向量，其對應的特征值滿足則對任何初始非零向量x(0)(n0),由反冪法構造的向量序列{x(k)},{y(k)}滿足收斂速度比值為24第24頁，課件共31頁，創作于2023年2月在反冪法中也可用原點移位法來加速迭代過程或求其他特征值及特征向量.設已知A的一個特征值的近似值*,因為*接近,一般應有0<|－*|<<|i－*|(i)故－*是矩陣A－*I的按模最小的特征值，比值|(－*)/(i－*)|較小.因此對A－*I用反冪法求－*一般收斂很快，通常只要迭代二、三次就能達到較高的精度.帶原點移位的反冪法25第25頁，課件共31頁，創作于2023年2月原點移位反冪法任取初始向量x(0)=y(0)0,迭代向量x(k+1)可以通過解方程組求得26第26頁，課件共31頁，創作于2023年2月為了節省計算量，可以先對A－*I作三角分解已知y(k)求x(k+1)可通過下列方式進行27第27頁，課件共31頁，創作于2023年2月原點移位反冪法計算公式任取初始向量x(0)=y(0)0,先對A－*I作三角分解

已知y(k)求x(k+1).用下列計算公式構造向量序列{x(k)},