第第頁人教版高中數學選擇性必修第一冊1.4.1用空間向量研究直線、平面的位置關系精講精練（含解析）人教版高中數學選擇性必修第一冊

1.4.1用空間向量研究直線、平面的位置關系精講精練同步訓練

【考點梳理】

考點一：空間中點、直線和平面的向量表示

1.空間中點的位置向量

如圖，在空間中，我們取一定點O作為基點，那么空間中任意一點P就可以用向量來表示．我們把向量稱為點P的位置向量．

2.空間中直線的向量表示式

直線l的方向向量為a，且過點A.如圖，取定空間中的任意一點O，可以得到點P在直線l上的充要條件是存在實數t，使

＝＋ta，①

把＝a代入①式得

＝＋t，②

①式和②式都稱為空間直線的向量表示式．

3.空間中平面的向量表示式

平面ABC的向量表示式：空間一點P位于平面ABC內的充要條件是存在實數x，y，使＝＋x＋y.我們稱為空間平面ABC的向量表示式．

考點二空間中平面的法向量

平面的法向量

如圖，若直線l⊥α，取直線l的方向向量a，我們稱a為平面α的法向量；過點A且以a為法向量的平面完全確定，可以表示為集合{P|a·＝0}．

考點三：空間中直線、平面的平行

1.線線平行的向量表示

設u1，u2分別是直線l1，l2的方向向量，則

l1∥l2u1∥u2λ∈R，使得u1＝λu2.

2.線面平行的向量表示

設u是直線l的方向向量，n是平面α的法向量，lα，則

l∥αu⊥nu·n＝0.

面面平行的向量表示

設n1，n2分別是平面α，β的法向量，則

α∥βn1∥n2λ∈R，使得n1＝λn2.

考點四：空間中直線、平面的垂直

1.線線垂直的向量表示

設u1，u2分別是直線l1,l2的方向向量，則

l1⊥l2u1⊥u2u1·u2＝0.

2.線面垂直的向量表示

設u是直線l的方向向量，n是平面α的法向量，lα，則l⊥αu∥nλ∈R，使得u＝λn.

知識點三面面垂直的向量表示

設n1，n2分別是平面α，β的法向量，則

α⊥βn1⊥n2n1·n2＝0.

【題型歸納】

題型一：平面的法向量的求法

1．若直線l的方向向量為（1,0,2），平面的法向量為，則（）

A．B．C．或D．l與斜交

2．如圖，在正方體ABCD中，以D為原點建立空間直角坐標系，E為B的中點，F為的中點，則下列向量中，能作為平面AEF的法向量的是

A．(1，－2，4)B．(－4,1，－2)

C．(2，－2，1)D．(1，2，－2)

3．如圖，在單位正方體中，以為原點，，，為坐標向量建立空間直角坐標系，則平面的法向量是（）

A．，1，B．，1，C．，，D．，1，

題型二：空間中點、直線和平面的向量表示

4．已知平面內兩向量，，若為平面的法向量且，則，的值分別為（）

A．，B．，C．，D．，

5．已知在正方體中，，為空間任意兩點，如果，那么點必（）

A．在平面內B．在平面內

C．在平面內D．在平面內

6．已知光線沿向量（，，）照射，遇到直線后反射，其中是直線的一個方向向量，是直線的一個法向量，則反射光線的方向向量一定可以表示為

A．B．

C．D．

題型三：空間中直線、平面的平行

7．已知＝(2，4，5)，＝(3，x，y)分別是直線l1、l2的方向向量．若l1∥l2，則（）

A．x＝6，y＝15B．x＝3，y＝

C．x＝3，y＝15D．x＝6，y＝

8．設平面的一個法向量為＝(1，2，－2)，平面的一個法向量為＝(－2，－4，k)，若，則k＝（）

A．-5B．-4C．－2D．4

9．如圖，在正方體AC1中，PQ與直線A1D和AC都垂直，則直線PQ與BD1的關系是（）

A．異面直線

B．平行直線

C．垂直不相交

D．垂直且相交

題型四：空間中直線、平面的垂直

10．已知平面α的法向量為=（1，2，-2），平面β的法向量為=（-2，-4，k），若α⊥β，則k等于（）

A．4B．-4C．5D．-5

11．已知兩不重合直線l1和l2的方向向量分別為a＝(3λ＋1，0，2λ)，b＝(1，λ－1，λ)，若l1⊥l2，則λ的值為（）

A．1或－B．1或

C．－1或D．－1或－

12．在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，，，則PA與底面ABCD的關系是（）

A．相交B．垂直

C．不垂直D．成60°角

【雙基達標】

一、單選題

13．若直線的方向向量為，平面的法向量為，則（）．

A．B．C．D．與相交

14．已知向量是平面α的兩個不相等的非零向量，非零向量是直線的一個方向向量，則且是l⊥α的（）

A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C．充要條件

D．既不充分也不必要條件

15．若直線l的方向向量為，平面α的法向量為，則能使l∥α的是（）

A．，B．，

C．，D．，

16．直線的方向向量，平面α的法向量為，若直線平面，則實數的值為（）

A．B．C．D．

17．已知正方體，是棱的中點，則在棱上存在點，使得（）

A．B．

C．平面D．平面

18．平面的一個法向量是,,，平面的一個法向量是,6,，則平面與平面的關系是（）

A．平行B．重合C．平行或重合D．垂直

19．如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，棱長為a，M，N分別為A1B和AC上的點，A1M＝AN＝，則MN與平面BB1C1C的位置關系是（）

A．相交B．平行

C．垂直D．MN在平面BB1C1C內

20．下列命題中，正確命題的個數為（）

①若分別是平面α，β的法向量，則α∥β；

②若分別是平面α，β的法向量，則α⊥β；

③若是平面α的法向量，是直線l的方向向量，若l與平面α平行，則；

④若兩個平面的法向量不垂直，則這兩個平面不垂直．

A．1B．2C．3D．4

21．如圖，在正方體中，點，，分別是線段，，的中點，則直線與，的位置關系是（）

A．與，均垂直

B．與垂直，與不垂直

C．與不垂直，與垂直

D．與，均不垂直

22．如圖所示，正方體中，分別在上，且，則（）

A．至多與之一垂直B．

C．與相交D．與異面

【高分突破】

一：單選題

23．已知向量，，分別是直線、的方向向量，若，則

A．，B．，C．，D．，

24．已知A,B,C三點不共線,對于平面ABC外的任一點O,下列條件中能確定點M與點A,B,C一定共面的是

A．B．

C．D．

25．已知向量，平面的一個法向量，若，則

A．，B．，C．D．

26．已知為直線l的方向向量，，分別為平面，的法向量不重合那么下列說法中：

；；；正確的有

A．1個B．2個C．3個D．4個

27．在如圖所示的坐標系中,為正方體,給出下列結論:

①直線的一個方向向量為(0,0,1);

②直線的一個方向向量為(0,1,1);

③平面的一個法向量為(0,1,0);

④平面的一個法向量為(1,1,1).

其中正確的個數為()

A．1B．2C．3D．4

28．設空間四點O、A、B、P滿足=m+n，其中m+n=1，則

A．點P一定在直線AB上

B．點P一定不在直線AB上

C．點P不一定在直線AB上

D．以上都不對

29．在三棱錐中，、、兩兩垂直，，，如圖，建立空間直角坐標系，則下列向量中是平面的法向量的是（）

A．B．

C．D．

30．如圖，正方形ABCD與矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE.則M點的坐標為（）

A．(1，1，1)B．C．D．

二、多選題

31．如圖，一個結晶體的形狀為平行六面體，其中，以頂點A為端點的三條棱長都相等，且它們彼此的夾角都是60°，下列說法中正確的是（）

A．B．

C．向量與的夾角是60°D．與AC所成角的余弦值為

32．如圖，正方體的棱長為1，是的中點，則（）

A．直線平面B．

C．三棱錐的體積為D．異面直線與所成的角為

33．（多選）下列命題是真命題的有（）.

A．直線的方向向量為，直線的方向向量為，則與垂直

B．直線的方向向量為，平面的法向量為，則

C．平面，的法向量分別為，，則

D．平面經過三點，，，向量是平面的法向量，則

34．已知空間中三點，，，則下列說法正確的是（）

A．與是共線向量B．與同向的單位向量是

C．和夾角的余弦值是D．平面的一個法向量是

35．已知點P是平行四邊形ABCD所在的平面外一點，如果，，，下列結論正確的有（）

A．B．

C．是平面ABCD的一個法向量D．

36．已知矩形，，，將沿矩形的對角線所在的直線進行翻折，翻折過程中（）

A．存在某個位置，使得

B．存在某個位置，使得

C．存在某個位置，使得

D．存在某個位置，使得，、均不等于零

三、填空題

37．已知平面α經過點O（0，0，0），且＝（1，2，－3）是α的一個法向量，M（x，y，z）是平面α內任意一點，則x，y，z滿足的關系式是________________.

38．已知α，β為兩個不重合的平面，設平面與向量＝(－1，2，－4)垂直，平面β與向量＝(－2，4，－8)垂直，則平面與β的位置關系是________．

39．若＝是平面α的一個法向量，且＝(－1，2，1)，＝均與平面α平行，則向量＝________.

40．如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，，P為C1D1的中點，M為BC的中點，則AM與PM的位置關系是________.

41．在△ABC中，A(1，－2，－1)，B(0，－3，1)，C(2，－2，1)．若向量與平面ABC垂直，且，則的坐標為________________．

42．在如圖所示的坐標系中，ABCD－A1B1C1D1表示棱長為1的正方體，給出下列結論：

①直線DD1的一個方向向量為(0，0，1)；②直線BC1的一個方向向量為(0，1，1)；③平面ABB1A1的一個法向量為(0，1，0)；④平面B1CD的一個法向量為(1，1，1)．

其中正確的是________．(填序號)

四、解答題

43．如圖，已知P是平面四邊形ABCD所在平面外一點，連接PAPBPD.點EFGH分別為PABPBCPCDPDA的重心.，求證：

（1）EFGH四點共面；

（2）平面EFGH平面ABCD.

44．如圖,在等腰梯形中,,,,平面,,且,,Q分別是線段,AB的中點．

（1）求證：平面平面；

（2）求證：PQ平面．

45．如圖，在四面體ABOC中，OC⊥OA，OC⊥OB，∠AOB＝120°，且OA＝OB＝OC＝1，設P為AC的中點，Q在AB上且AB＝3AQ，證明：PQ⊥OA．

46．如圖，在底面是矩形的四棱錐中，底面，、分別是、的中點，，.求證：

（1）平面；

（2）平面平面.

47．如圖所示，平面CDEF平面ABCD，且四邊形ABCD為平行四邊形，∠DAB＝45°，四邊形CDEF為直角梯形，EF∥DC，EDCD，AB＝3EF＝3，ED＝a，AD．

（1）求證：ADBF；

（2）若線段CF上存在一點M，滿足AE∥平面BDM，求的值；

【答案詳解】

1．C

∵，，

∴，即或.

故選：C.

2．B

設正方體棱長為2，則A（2，0，0），E（2，2，1），F（1，0，2），

∴=（0，2，1），=（﹣1，0，2）

設向量=（x，y，z）是平面AEF的一個法向量

則，取y=1，得x=﹣4，z=﹣2

∴=（﹣4，1，﹣2）是平面AEF的一個法向量

因此可得：只有B選項的向量是平面AEF的法向量

故選B．

3．A

在單位正方體中，

以為原點，，，為坐標向量建立空間直角坐標系，

，0，，，1，，，1，，

，1，，，0，，

設平面的法向量是，，，

則，取，得，1，，

平面的法向量是，1，.

故選：.

4．A

因為，，

所以

，

因為為平面的法向量，

所以，即，

解得：，所以，的值分別為，，

故選：A.

5．C

因為

，所以，，，四點共面

6．B

不妨設入射光線與反射光線的方向向量模相等，即如圖中，則向量時，向量.故選B.

7．D

由l1∥l2得，，解得x＝6，y＝.

8．D

因為，所以，則，解之得，

故選：D

9．B

設正方體的棱長為1，取D點為坐標原點建系后如圖所示：

則，，，，，

＝(1，0，1)，＝(－1，1，0)，

設＝(a，b，c)，

則

取＝(1，1，－1)，

∵＝(0，0，1)－(1，1，0)＝(－1，－1，1)＝－，

∴∥，

∴PQ∥BD1.

故選：B

10．D

解：由平面α的法向量為，平面β的法向量為，

∵α⊥β，∴，

∴.

∴.

故選：D.

11．D

【詳解】

由題意知，a⊥b，

∴3λ＋1＋2λ2＝0，

∴λ＝－1或－.

12．B

解：因為，所以；

因為，所以，

又，

所以平面ABCD．

故選：B．

13．B

，

由已知可得，則，因此，.

故選：B.

14．B

【詳解】

當不共線時，由且，可推出l⊥α；當為共線向量時，由且，不能夠推出，所以且是l⊥α的不充分條件；

若，則一定有且，所以且是l⊥α的必要條件.

故選：.

15．D

【詳解】

由題意得，若使l∥α，那么就要使，即.

對于A，，故A錯誤；

對于B，，故B錯誤；

對于C，，故C錯誤；

對于D，，故D正確.

故選：D.

16．D

因為直線的方向向量，平面α的法向量為，

直線平面，

所以，即，解得：

故選：D.

17．B

建立如圖所示的空間直角坐標系，設正方體棱長為1，則，，，設（，

則，，

因為，所以不可能平行，即不可能平行，

又，，因此可以垂直，即與可能垂直．

，，

設平面的一個法向量為，

則，取，則，

與不可能平行，因此與平面不可能垂直，

，因此與不可能垂直，因此與平面不可能平行，

故選：B．

18．C

平面的一個法向量是,,，平面的一個法向量是,6,，

，

平面與平面的關系是平行或重合．

故選：C．

19．B

以點C1為坐標原點，分別以C1B1，C1D1，C1C所在直線為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，

由于A1M＝AN＝，則

又C1D1⊥平面BB1C1C，所以＝(0，a，0)為平面BB1C1C的一個法向量．

因為，所以，又平面BB1C1C，所以MN∥平面BB1C1C.

故選：B

20．C

①中平面α，β可能平行，也可能重合，結合平面法向量的概念，可知②③④正確

故選：C

21．A

如圖，以D為原點，建立空間直角坐標系，設正方體的棱長為，則，，，，，

則，，

，即

，即

所以直線與，均垂直，

故選：A

22．B

如圖，以為坐標原點，分別以，，所在直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標系.

設正方體的棱長為3，則，，，，，，，.

，，，

，，，，∴A錯誤，B正確；

，，，

，即，∴C，D錯誤.

故選：B.

23．D

【詳解】

∵∥，

∴∥，

∴，

∴．選D．

24．D

設，若點與點共面,,則，只有選項D滿足，.故選D.

25．A

因為，所以，由，得，.

故選A

【點睛】

本題考查了空間法向量的定義，空間向量共線的坐標表示，屬于基礎題．

26．B

∵平面，不重合；

平面，的法向量平行垂直等價于平面，平行垂直；

正確；

直線l的方向向量平行垂直于平面的法向量等價于直線l垂直平行于平面；

都錯誤．

故選B．

27．C

DD1∥AA1,=(0,0,1)，故①正確；

BC1∥AD1,=(0,1,1),故②正確；

直線AD⊥平面ABB1A1,=(0,1,0).故③正確；

點C1的坐標為(1,1,1),與平面B1CD不垂直,故④錯.

28．A

由可得：，結合題意可知：

，

即：，，

據此可知：APB三點共線，點P一定在直線AB上.

29．A

，，設平面的一個法向量為，

由則，解得，．

又，因此，平面的一個法向量為.

故選：A.

30．C

設交于點，連結，因為正方形與矩形所在的平面互相垂直，，點在上，且平面，所以，又，所以是平行四邊形，所以是的中點，因為，所以，故選C．

31．AB

以頂點A為端點的三條棱長都相等,它們彼此的夾角都是60°，

可設棱長為1,則

而

，所以A正確.

=0,所以B正確.

向量,

顯然為等邊三角形，則.

所以向量與的夾角是,向量與的夾角是,則C不正確

又，

則，

所以，所以D不正確.

故選：AB

32．ABD

解：如圖建立空間直角坐標系，，，，，，，，，，

，，，

所以，即，所以，故B正確；

，，，

設異面直線與所成的角為，則，又，所以，故D正確；

設平面的法向量為，則，即，取，

則，即，又直線平面，所以直線平面，故A正確；

，故C錯誤；

故選：ABD

33．AD

∵，，

∴，則，

∴直線與垂直，故A正確；

，，則，

則，∴或，故B錯誤；

∵，，∴與不共線，

∴不成立，故C錯誤；

∵點，，，

∴，.

∵向量是平面的法向量，∴，

即，解得，故D正確.

故選：AD

34．BD

對于A，，，可知，與不共線，A錯誤；

對于B，，，，即與同向的單位向量是，B正確；

對于C，，，

即和夾角的余弦值為，C錯誤；

對于D，設平面的法向量，

則，令，解得：，，，

即平面的一個法向量為，D正確.

故選：BD.

35．ABC

因為，所以，A正確；

因為，所以，B正確；

由,，可得是平面ABCD的一個法向量，C正確；

BD在平面ABCD內，可得，D錯誤．

故選：ABC．

36．AD

在矩形中，分別過點、作、，垂足分別為點、.

由已知條件，，.

對于A選項，若存在某個位置，使得，

，，平面，平面，則，

在中，斜邊，存在，故A正確；

對于B選項，若存在某個位置，使得，

，，平面，平面，則，

在中，斜邊，矛盾，故B錯誤；

對于C選項，若存在某個位置，使得，

，，平面，平面，，

，在平面內，過點能作兩條直線與垂直，矛盾，故C錯誤；

對于D選項，取平面平面，

，平面平面，平面，平面，

以點為坐標原點，、所在直線分別為、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，

則、、、，

，，則，

，，則，

，，則，D選項正確.

故選：AD.

37．x＋2y－3z＝0

解：由題意得⊥，，

則，

所以x，y，z滿足的關系式是x＋2y－3z＝0.

故答案為：x＋2y－3z＝0.

38．平行

，，，

所以，又分別是平面的法向量，

所以.

故答案為：平行

39．

解析由題意，知

即解得

所以.

故答案為：

40．PM⊥AM

【詳解】

解：以點為原點，、、為軸、軸、軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系

可得，．

，，

由此可得，

即，可得．

故答案為：

41．(－2，4，1)或(2，－4，－1)

【詳解】

據題意，得＝(－1，－1，2)，＝(1，0，2)．

設(x，y，z)，∵與平面ABC垂直，

即可得

，，

解得或．

當時，，；當時，，．

∴的坐標為(－2，4，1)或(2，－4，－1)．

故答案為：(－2，4，1)