第三章晶格振動

晶體內原子在平衡位置附近微小振動，溫度增加，振動劇烈，近似為彈簧的振動。3.1一維單原子晶格的振動一、物理模型質量為

m的原子，在平衡位置附近作簡諧振動；只考慮最近鄰作用;原子間近似于彈簧連接，彈簧彈性系數為β。二、運動方程選n=0原子的平衡位置為原點oaun-1unun+1t

時刻

t

時刻，第n-1、n、n+1原子離開平衡位置的位移為un-1、un、un+1，由虎克定律

F=-β△uox

n=0n-1nn+1n+2第n個原子受到第n+1個原子的作用力第n個原子受到第n-1個原子的作用力Fn+1Fn-1第n個第n個原子的運動方程牛頓第二定律第n個原子的運動方程如果晶體由N個原子組成，可建立N個方程組

三、試探解

運動方程的解為類波解：所有原子以相同頻率ω

和振幅A

作簡諧振動，但初相位不同，相鄰原子相位差為qa四、色散關系及討論1、色散關系把試探解代入第n個原子的運動方程得：

色散關系為ω~q

關系圖......ωq2、對色散關系的討論第一布里淵區內

q=0ω=0q=±ωmax

=

當q

在0~±，ω由0~ωm

，ωm為截止頻率

當│q│≥，則產生周期性重復。為了使ω

是q的單值函數，將q限制在第一布里淵區有

以上運動方程適合于體內的原子，而沒有考慮邊界原子波恩—卡曼周期性邊界條件：假設原子組成無限長的原子鏈，首尾相連。五波恩—卡曼(Born-Karman)周期性邊界條件

（討論q

的取值）.12Nnn+1試探解代入上式0q波矢q的取值是分離的、均勻分布，相鄰q的“距離”（非常小，因為N很大）六、長波極限

長聲學波近似為經典彈性波，具有線性色散關系，晶體可以看成連續介質。ωmωqa﹤﹤λ,q

0長聲學波波速：

七、格波數

格波：晶體中所有原子以相同的頻率和振幅在平衡位置附近作簡諧振動，原子的

運動狀態在晶體中以波的形式轉播，這種簡諧波稱為格波。

格波數：一組(ωi，qi)對應一個格波，一維單原子晶格有N個格波。

ωmq一維單原子晶格有一支格波——包含N個格波q1q2（N=初基元胞數=原子數）相鄰q

點距離第一布區內，波矢q可取值數N個原子組成的一維單原子鏈第一布區o3.2一維雙原子鏈晶格的振動一、一維雙原子鏈晶格的振動admmABOXnana+d(n-1)a(n-1)a+dβ1β2(n+1)a第n號u(n-1)BunAunBu(n+1)At時刻平衡位置一維復式晶格有N

個初基元胞，每個初基元胞內有一個A類原子和一個B類原子，質量均為m

。

1、物理模型：原子間近似于彈簧連接，彈性系數β2>β1；原子做簡諧振動；只考慮最近鄰作用。

2、運動方程t

時刻第n號

A原子離開平衡位置的位移unA建立坐標系，n=0號原子的平衡位置設為原點O

第n號B原子離開平衡位置的位移unB

第n-1號

B原子離開平衡位置的位移u

(n-1)B

第n+1號

A原子離開平衡位置的位移u

(n+1)A第n號A原子,由虎克定律F（n-1)B

FnBnAn號A原子的運動方程nA

nB

(n-1)B(n+1)A3、試探解

同理，n號B類原子的運動方程為

FnA

F（n+1)A4、色散關系及其討論把unA、unB代入以上兩個運動方程關于A1A2的兩個方程A1、A2非零解，系數行列式為0

色散關系ω(q)

聲學支光學支4、色散關系及其討論ωA

ωOqωo-當q=0ωA=0ωo=當q=

5、波矢q

的取值、格波支數利用波恩—卡曼邊界條件，波矢q的取值

m=0,±1,±2,……波矢的可取值數=初基元胞數

N格波支數（一個初基元胞內）

=2支（一支ωo、一支ωA）晶體格波總（個）數=2N6、長波極限及其原子的振動（1）長聲學波

q0,cosqa長聲學波具有線性色散關系，與經典彈性波一樣。（2）長光學波

q0時，ωO與q

基本無關。（3）長波極限下原子的振動情況q=0時有光學支聲學支元胞內A、B原子反向運動元胞內A、B原子同向運動q=0時有長光學支長聲學支元胞內A、B原子反向運動元胞內A、B原子同向運動長光學波長聲學波7、短波極限qcosqa-1聲學支光學支存在頻率間隙可作帶通濾波器ΔωaaMm原子間力常數均為βaaMm初基元胞空間點陣ωA

ωOqωo二、三維晶格振動1、關于波矢q（1）一維m=0,±1,±2,..……一個m值對應一個q點，波矢取分離值，均勻分布相鄰q

點“距離”為q空間中波矢q的密度=第一布里淵內q

點的取值數=oq（2）三維基矢a1、a2、a3方向的初基元胞數為N1、N2、N3，晶體總的初基元胞數為N=N1N2N3，每個初基元胞內有n個原子。m1、m2

、m3=0,±1,±2,…一組（m1、m2、m3）確定一個波矢q點，波矢q分離值、均勻分布。a1a2a3qxqyqz一個q點占“體積”為平行六面體體積第一布里淵區內可取的q

點數=在波矢空間中q點的密度為一維二維三維q的取值一個q點占的體積qqxqyqyqzq點的密度2、波矢q的取值數、格波支數、總格波數三維晶體有N個初基元胞，每個初基元胞內有s個原子（一個基元）波矢取值數（格波數）=初基元胞數N格波支數=一個初基元胞內的自由度數3s總格波數=晶體總自由度數3sN3、橫波與縱波橫波(T)：振動方向與傳播方向(q的方向)垂直。縱波(L)：振動方向與傳播方向平行。支聲學波支光學波LATALOTO3s支格波金剛石晶格振動沿[110]方向傳播的格波TALALOTOq[110]ω[100][110][111]Si晶體的色散關系oooqqq4、格波的態密度（模密度）:

ω~ω+dω頻率間隔內的格波數(1)普適公式qydSω

ωωω+dωdqnqxqz等頻面（理論公式）態（2）布喇菲格子中格波態密度3.3晶格振動量子化與聲子一、晶格振動量子化簡諧近似

：三維晶體sN個原子振動能===3sN個量子諧振子能量一個量子諧振子能量為晶體振動的總能量為二、聲子1、聲子及其特點：*固體諧振子的量子，一個聲子能量，準動量為*準粒子，可以產生和湮滅*玻色子，遵從（變形）玻色分布，*與其它粒子相互作用時遵從能量守恒和準動量守恒頻率為ω的格波在溫度為T時，具有的例：一維雙原子鏈，色散關系如下：計算頻率為和的光學波聲子數；頻率為聲學波聲子數。解：由色散關系得：分別對應的聲子數為：

在溫度T時，只有的格波被激發

的格波被凍結

kT2kTo.60.16n3kT0.05平均聲子數可定量反映格波被激發的程度三、聲子與其它粒子的互作用（碰撞）

1、聲子與其它粒子的互作用

遵從準動量守恒和能量守恒

準動量守恒：準動量守恒能量守恒kk’qkk’q發射聲子吸收聲子

2、光子與聲子的非彈性散射布里淵區散射：光子與聲學波聲子的互作用。拉曼散射：光子與光學波聲子的互作用。利用中子譜儀測色散曲線光波ω=c0qqωoωA該點處，光學波與光波發生共振，產生強吸收。特點：兩支TA重合，兩支TO重合（簡并）長聲學波的橫波和縱波波速不同長光學波的橫波和縱波波速相同Si的色散曲線特點：q→0，縱光學波和橫光學波頻率不同，ωLO和ωTO

之差越大，離子性越強，通過（ω2LO-ω2TO）估算有效電荷量。GaAs的色散曲線Kohn異常：色散曲線扭折出，金屬中的電子之間有強耦合。Pb的色散曲線3.4晶體的比熱晶體的總能量晶體的熱容sN個原子振動3sN

個諧振子一、經典理論經典能量均分定理，每個諧振子的平均能量為kBT

，能量為摩爾熱容為杜隆—伯替定律：熱容與溫度無關等效經典力學遇到五大災難之一——固體比熱問題經典理論，比熱與T無關無法解釋低溫比熱問題！！！CvT3R實驗經典二、量子理論頻率的一個格波個頻率的聲子的運動

一個頻率的諧振子1、愛因斯坦模型：假設晶體中每個原子以相

同頻率作獨立的簡諧振動。晶體有3sN個簡諧子，每個簡諧子能量晶體總能量為對應等效于熱容為定義：愛因斯坦溫度為高溫T>>與經典的杜隆—伯替定律一致低溫

T<<

TcvCV實驗CV經典金剛石2、德拜模型：假設晶體是各向同性的連續介質，其色散關系為；格波頻率0~；設晶體的初基元胞數N

，元胞內原子數s=1。

總晶格振動能量：定容熱容：教材（3-68）令德拜T3定律：低溫時晶體的比熱與T3成正比。低溫

T<<

2、德拜模型：假設晶體是各向同性的連續介質，其色散關系為；格波頻率0~；設晶體的初基元胞數N

，元胞內原子數s=1。

總晶格振動能量：定容熱容：教材（3-68）令德拜T3定律：低溫時晶體的比熱與T3成正比。低溫

T<<

高溫T>>與杜隆—伯替定律一致，與溫度無關。晶體內總格波數（以下求CVD中的ωD）例：二維布喇菲晶格，應用德拜模型計算低溫時晶體熱容

與T2