2021年河南省三門峽市陜縣第二高級中學高三數學文下學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.大數據時代出現了滴滴打車服務，二胎政策的放開使得家庭中有兩個小孩的現象普遍存在，某城市關系要好的A，B，C，D四個家庭各有兩個小孩共8人，準備使用滴滴打車軟件，分乘甲、乙兩輛汽車出去游玩，每車限坐4名（乘同一輛車的4名小孩不考慮位置），其中A戶家庭的孿生姐妹需乘同一輛車，則乘坐甲車的4名小孩恰有2名來自于同一個家庭的乘坐方式共有（）A．18種 B．24種 C．36種 D．48種參考答案：B【考點】排列、組合的實際應用．【分析】根據題意，分2種情況討論：①、A戶家庭的孿生姐妹在甲車上，甲車上剩下兩個要來自不同的家庭，②、A戶家庭的孿生姐妹不在甲車上，每種情況下分析乘坐人員的情況，由排列、組合數公式計算可得其乘坐方式的數目，由分類計數原理計算可得答案．【解答】解：根據題意，分2種情況討論：①、A戶家庭的孿生姐妹在甲車上，甲車上剩下兩個要來自不同的家庭，可以在剩下的三個家庭中任選2個，再從每個家庭的2個小孩中任選一個，來乘坐甲車，有C32×C21×C21=12種乘坐方式；②、A戶家庭的孿生姐妹不在甲車上，需要在剩下的三個家庭中任選1個，讓其2個小孩都在甲車上，對于剩余的2個家庭，從每個家庭的2個小孩中任選一個，來乘坐甲車，有C31×C21×C21=12種乘坐方式；則共有12+12=24種乘坐方式；故選：B．2.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（）A．6 B．7 C．8 D．9參考答案：A【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積．【分析】根據三視圖得出空間幾何體是以俯視圖為底面的四棱錐，代入錐體體積公式，可得答案．【解答】解：根據三視圖得出空間幾何體是以俯視圖為底面的四棱錐，其底面面積S=×（2+4）×2=6，高h=3，故體積V==6，故選：A【點評】本題考查的知識點是棱錐的體積與表面積，簡單幾何體的三視圖，難度中檔．3.設命題p：?n∈N，3n≥n2+1，則￢p為（）A．?n∈N，3n＜n2+1 B．C．?n∈N，3n≤n2+1 D．參考答案：B【考點】全稱命題．【分析】根據已知中的原命題，結合全稱命題否定的定義，可得答案．【解答】解：∵命題p：?n∈N，3n≥n2+1，∴命題￢p為，故選：B【點評】本題考查的知識點是全稱命題的否定，掌握全稱命題否定的定義，是解答的關鍵．4.以下說法錯誤的是（

）A．命題“若x2-3x+2=0，則x=1”的逆否命題是“若x≠1，則x2-3x+2≠0”B．“x=1”是“x2-3x+2=0”的充分不必要條件C．若p∧q為假命題，則p,q均為假命題D．若命題p:?x0∈R，使得+x0+1<0，則﹁p:?x∈R，都有x2+x+1≥0參考答案：【知識點】命題的真假判斷與應用；四種命題間的逆否關系；必要條件、充分條件與充要條件的判斷.A2【答案解析】C解析：解：命題“若x2﹣3x+2=0則x=1”的逆否命題為：“若x≠1，則x2﹣3x+2≠0”故A為真命題；“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要條件．故B為真命題；若p∧q為假命題，則p、q存在至少一個假命題，但p、q不一定均為假命題，故C為假命題；命題p：∈R，使得x2+x+1＜0．則非p：∈R，均有x2+x+1≥0，故D為真命題；故選C．【思路點撥】根據四種命題的定義，我們可以判斷A的真假；根據充要條件的定義，我們可以判斷B的真假；根據復合命題的真值表，我們可以判斷C的真假；根據特稱命題的否定方法，我們可以判斷D的真假，進而得到答案．5.函數f(x)的圖像如圖所示，下列數值排序正確的是

參考答案：B【知識點】函數的圖象；利用導數研究函數的單調性．B9B12

解析：觀察圖象可知，該函數在（2，3）上為連續可導的增函數，且增長的越來越慢．所以各點處的導數在（2，3）上處處為正，且導數的值逐漸減小，所以故f′（2）＞f′（3），而f（3）-f（2）=，表示的連接點（2，f（2））與點（3，f（3））割線的斜率，根據導數的幾何意義，一定可以在（2，3）之間找到一點，該點處的切線與割線平行，則割線的斜率就是該點處的切線的斜率，即該點處的導數，則必有：0＜f′(3)＜＜f′(2)．故選：B．【思路點撥】觀察圖象及導數的幾何意義得，即函數在（2，3）上增長得越來越慢，所以導數值為正，且絕對值越來越小，故f′（2）＞f′（3），同時根據割線的性質，一定可以在（2，3）之間找到一點其切線的斜率等于割線斜率，即其導數值等于割線的斜率，由此可得結論．6.（5分）（2015?南昌校級模擬）已知f（x）=sinxcosx﹣cos2x+，在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且滿足2bcosA≤2c﹣a，則f（B）的取值范圍（）A．（﹣1，]B．（﹣，]C．（﹣，1]D．（﹣，]參考答案：C【考點】：余弦定理；兩角和與差的正弦函數．【專題】：三角函數的求值．【分析】：由已知及正弦定理可解得cosB，可得0＜B≤，即有﹣＜2B﹣，由三角函數的恒等變化化簡函數解析式可得f（x）=sin（2x﹣），從而可求f（B）的值．解：∵由于f（x）=sinxcosx﹣cos2x+=sin2x﹣+=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣），又2bcosA≤2c﹣a，則由正弦定理得，2sinBcosA≤2sinC﹣sinA=2sin（A+B）﹣sinA=2sinAcosB+2cosAsinB﹣sinA，則可解得：cosB，由B為三角形的內角，則解得：0＜B≤，可得：﹣＜2B﹣，故f（B）=sin（2B﹣）∈（﹣，1]．故選：C．【點評】：本題考查三角函數的化簡和求值，考查三角函數的周期性和單調性，考查解三角形的正弦定理，考查運算能力，屬于中檔題．7.如果x，y是實數，那么“x≠y”是“cosx≠cosy”的()A．充要條件

B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：C8.右圖是計算函數的值的程序框圖，則在①、②、③處應分別填入的是

（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：B9.已知函數，（，且），若數列滿足，且是遞增數列，則實數的取值范圍是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C因為是遞增數列，所以，所以實數a是取值范圍是。10.已知偶函數滿足條件f(x+1)=f(x-1),且當時，f(x)=則A

B.

C.

D.1參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設向量與的夾角為且則＿＿＿＿。參考答案：答案：解析：由向量夾角公式得【高考考點】向量的坐標運算向量的夾角公式【易錯點】：運算結果【備考提示】：熟練掌握向量的坐標運算法則及向量的夾角公式12.在區間[－1,1]上隨機取一個數，使直線與圓相交的概率為

．參考答案：13.定義行列式

運算，若函數

在區間上有最小值，則實數的取值范圍是

．參考答案：答案：14.已知拋物線C：y2=ax（a＞0）的焦點為F，過焦點F和點P（0，1）的射線FP與拋物線相交于點M，與其準線相交于點N，若|FM|：|MN|=1：3，則a=．參考答案：【考點】K8：拋物線的簡單性質．【分析】求得拋物線的拋物線的焦點坐標，由丨MF丨=丨MK丨，則丨KN丨：丨KM丨=2：1，根據直線的斜率公式，即可求得a的值．【解答】解：由拋物線拋物線C：y2=ax，焦點F（，0），設M在準線上的射影為K，由拋物線的定義丨MF丨=丨MK丨，由|FM|：|MN|=1：3，則|KM|：|MN|=1：3，∴丨KN丨：丨KM丨=2：1，則kFN==，kFN=﹣=﹣2，∴=﹣2，解得：a=，∴a的值．故答案為：．15.下列命題正確的序號為

.①函數的定義域為;②定義在上的偶函數最小值為;③若命題對，都有，則命題，有;④若，，則的最小值為.參考答案：16.設函數f（x）是定義在（﹣∞，0）上的可導函數，其導函數為f′（x），且有3f（x）+xf′（x）＞0，則不等式（x+2015）3f（x+2015）+27f（﹣3）＞0的解集是

．參考答案：（﹣2018，﹣2015）【考點】函數的單調性與導數的關系．【專題】函數思想；導數的概念及應用．【分析】根據題意，構造函數g（x）=x3f（x），x∈（﹣∞，0），利用導數判斷g（x）的單調性，再把不等式（x+2015）3f（x+2015）+27f（﹣3）＞0化為g（x+2015）＞g（﹣3），利用單調性求出不等式的解集．【解答】解：根據題意，令g（x）=x3f（x），其導函數為g′（x）=3x2f（x）+x3f′（x）=x2[3f（x）+xf′（x）]，∵x∈（﹣∞，0）時，3f（x）+xf′（x）＞0，∴g（x）＞0，∴g（x）在（﹣∞，0）上單調遞增；又不等式（x+2015）3f（x+2015）+27f（﹣3）＞0可化為（x+2015）3f（x+2015）＞（﹣3）3f（﹣3），即g（x+2015）＞g（﹣3），∴0＞x+2015＞﹣3；解得﹣2015＞x＞﹣2018，∴該不等式的解集是為（﹣2018，﹣2015）．故答案為：（﹣2018，﹣2015）．【點評】本題考查了利用導數研究函數的單調性問題，也考查了利用函數的單調性求不等式的解集的問題，是綜合性題目．17.考察下列式子：；；；；得出的結論是

．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分12分）已知A是橢圓E：的左頂點，斜率為k(k＞0)的直線交E于A，M兩點，點N在E上，MA⊥NA.（Ⅰ）當時，求△AMN的面積;（Ⅱ）當時，證明：.參考答案：（Ⅰ）設，則由題意知.由已知及橢圓的對稱性知，直線的傾斜角為，又，因此直線的方程為.將代入得，解得或，所以.因此的面積.（Ⅱ）將直線的方程代入得.由得，故.由題設，直線的方程為，故同理可得.由得，即.設，則是的零點，，所以在單調遞增，又，因此在有唯一的零點，且零點在內，所以.19.已知sin?=–，?∈(–，)．（8分）（Ⅰ）求sin2?的值；（Ⅱ）求tan(–?)的值．參考答案：（Ⅰ）（Ⅱ）試題分析：（Ⅰ）由條件利用同角三角函數的基本關系求得cosα的值，可得sin2α=2sinαcosα的值．（Ⅱ）由（Ⅰ）求得tanα的值，再利用兩角差的正切公式求得tan（-α）的值試題解析：（Ⅰ）因為?∈(–，)，sin?=–，所以cos?==．

…………2分由sin2?=2sin?cos?=–．

…………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）得tan?==–．

…………5分所以tan(–?)===–．

…………8分考點：兩角和與差的正切函數20.如圖，四棱錐中，為矩形，為等腰直角三角形，，平面平面，分別是和的中點。(1)證明:面;(2)證明:面面;(3)求四棱錐的體積.參考答案：解:(1)如圖,連接,為矩形且是的中點,必過…………1分

又是中點,所以……2分

在面外,在面內,面

……4分(2)平面平面,,面面

又面,面

……………6分

又在面內,面面………8分(3)取中點,連接,因為平面平面及為等腰直角三角形,所以面,即為四棱錐的高…10分

………12分

略21.已知橢圓的離心率為，且過點，設橢圓的右準線與軸的焦點為，橢圓的上頂點為，直線被以原點為圓心的圓所截得的弦長為.

（Ⅰ）求橢圓的方程及圓的方程；

（Ⅱ）若是準線上縱坐標為的點，求證：存在一個異于的點，對于圓上的任意一點，有為定值；且當在直線上運動時，點在一個定圓上.

參考答案：（1）橢圓的方程為，圓的方程為；（2）橢圓的右準線的方程為

設上取定的點為，圓上任意的一點為，設點為

因為與的比是常數且不同于，所以是正常數，即

即

將代入，有

又有無數組，從而

由①②代入③，得

即，所以

又因為，所以，即存在一個定點（不同于點），使得對于圓上的任意一點，均有為定值.

將代入③，得即，于是，即，故點在圓心，半徑為的定圓上.22.（本小題滿分13分）現有一組互不相同且從小到大排列的數據，其中．記，，作函數，使其圖象為逐點依次連接點的折線．（Ⅰ）求和的值；（Ⅱ）設直線的斜率