13.3.4含30°角的直角三角形的性質夯實基礎篇一、單選題：1．如圖，在△ABC中，∠B＝30°，ED垂直平分BC，ED＝3．則CE長為（）A．6 B．9 C．3 D．8【答案】A【知識點】線段垂直平分線的性質；含30°角的直角三角形【解析】【解答】∵ED垂直平分BC，∴BE＝CE，∠EDB＝90°，∵∠B＝30°，ED＝3，∴BE＝2DE＝6，∴CE＝6．故選A．【分析】由ED垂直平分BC，即可得BE＝CE，∠EDB＝90°，又由直角三角形中30°角所對的直角邊是其斜邊的一半，即可求得BE的長，則問題得解．2．如右圖是屋架設計圖的一部分，點D是斜梁AB的中點，立柱BC、DE垂直于橫梁AC，AB=7.4m，∠A=30°，DE的長為()A．7.4m B．3.7m C．1.85m D．2.85m【答案】C【知識點】含30°角的直角三角形【解析】【解答】在直角三角形ADE中，∵∠A=30°，AB=7.4，D為AB的中點

∴DE=AD==1.85.故答案為：C。【分析】根據題意，由直角三角形中30°角所對的直角邊的性質即可得到答案。3．在中，，，過點B作，交于點D，若，則的長度為（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【知識點】等腰三角形的性質；含30°角的直角三角形【解析】【解答】解：在中，，，∴∠A=∠C=（180o-120o）÷2=30o，∵，∴∠DBC=90o，∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=120o-90o=30o，∴BD=AD=1，∵∠DBC=90o，∠C=30o，∴CD=2BD=2，故答案為：擇：A．【分析】由，，得出∠A=∠C=30o，由得出∠DBC=90o利用角的差∠ABD=∠ABC-∠DBC=30o=∠A，得到等腰三角形，BD=AD=1，利用30o所對直角邊等于斜邊的一半CD=2BD即可．4．如圖，中，，，平分，若，則點D到線段的距離等于（）A．6 B．5 C．8 D．10【答案】B【知識點】點到直線的距離；角平分線的性質；含30°角的直角三角形【解析】【解答】解：過點D作DE⊥AB于E，∵平分，∠C=90°，∴DC=DE，∠ABC=90°－∠BAC=30°在Rt△BDE中，BD=2DE∵BD＋DC=BC=15∴2DE＋DE=15解得：DE=5，即點D到線段的距離等于5.故答案為：B.【分析】過點D作DE⊥AB于E，根據角平分線的性質可得DC=DE，由余角的性質可得∠ABC=30°，則BD=2DE，結合BD＋DC=BC=15可得DE的值，據此解答.5．如圖，在中，平分交于點M，過點M作交于點N，且平分，若，則的長為（）A． B． C． D．【答案】B【知識點】平行線的性質；含30°角的直角三角形【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于點M，過點M作MN∥BC交AC于點N，且MN平分∠AMC，∴∠AMN＝∠NMC＝∠B，∠NCM＝∠BCM＝∠NMC，∴∠ACB＝2∠B，NM＝NC，∴∠B＝30°，∵AN＝1，∴MN＝2，∴AC＝AN＋NC＝3，∴BC＝6，故答案為：B．【分析】根據題意，可以求得∠B的度數，然后根據解直角三角形的知識可以求得NC的長，從而可以求得BC的長．6．如圖所示，△ABC是邊長為20的等邊三角形，點D是BC邊上任意一點，DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，則BE+CF=（）A．5 B．10 C．15 D．20【答案】B【知識點】等邊三角形的性質；含30°角的直角三角形【解析】【解答】因為△ABC是邊長為20的等邊三角形，所以BC=20，∠B=∠C=60?，又因為DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，所以，∠BDE=30?，∠CDF=30?，所以，BE=BD，CF=DC，所以，BE+CF=BD+DC=BC=10.故答案為：B【分析】根據等邊三角形的性質得到邊長，再根據在直角三角形中，30度角所對的邊是斜邊的一半，求出BE、CF的值.二、填空題：7．如圖∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=6，則PD等于.【答案】3【知識點】等腰三角形的判定與性質；含30°角的直角三角形【解析】【解答】如圖，過點P作PE⊥OB于E，∵PC∥OA，∴∠AOP=∠CPO，∴∠PCE=∠BOP+∠CPO=∠BOP+∠AOP=∠AOB=30°，又∵PC=6，∴PE等于PC的一半為3，∵∠AOP=∠BOP，PD⊥OA，∴PD=PE=3．【分析】過點P作PE⊥OB于E，根據兩直線平行，內錯角相等可得∠AOP=∠CPO，利用三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和得∠PCE=∠AOB=30°，再根據直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半.8．如圖，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，CD是斜邊AB上的高，若∠A=30°，BD=1cm，則AD=cm．【答案】3【知識點】含30°角的直角三角形【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高，∠A=30°，∴∠A=∠BCD=30°，∴BC=2BD，AB=2BC，∴AB=4BD，∴AD=AB﹣BD=3BD=3cm．故答案為3．【分析】要求AD的長度，需要先求得斜邊AB的長度；根據“30度角所對的直角邊等于斜邊的一半”易求BC=2BD=2cm，AB=2BC=4cm．9．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分線DE交AC于E，交BC的延長線于F，若∠F=30°，DE=1，則BE的長是．【答案】2【知識點】線段垂直平分線的性質；等腰三角形的性質；含30°角的直角三角形【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，FD⊥AB，

∴∠ECF=∠EDB=90°，

∵∠AED=∠CEF，

∴∠A=∠F=30°，

∵AB的垂直平分線DE交AC于E，

∴BE=AE，

∴∠EBA=∠A=30°，

∴BE=2DE=2.

故答案為：2.

【分析】根據等角的余角相等，得出∠A=∠F=30°，根據線段垂直平分線的性質得出BE=AE，根據等腰三角形的性質得出∠EBA=∠A=30°，根據“30度角所對的直角邊是斜邊的一半”，即可得出BE=2DE=2.10．如圖，在Rt△ACB中，∠C＝90°，BE平分∠ABC，ED垂直平分AB于D，若AC＝9，則AE的值是．【答案】6【知識點】線段垂直平分線的性質；等腰三角形的性質；含30°角的直角三角形【解析】【解答】解：∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=∠ABE，∵ED垂直平分AB于D，∴EA=EB，∴∠A=∠ABE，∴∠CBE=30°，∴BE=2EC，即AE=2EC，而AE+EC=AC=9，∴AE=6．故答案為：6【分析】在△ACB中，可求得∠CBE=∠ABE=∠A=30°，再在Rt△BCE中，∠CBE=30°可得BE=2EC，最后根據AC＝9求得AE。11．將一副三角尺如圖所示疊放在一起，若AB=4cm，則陰影部分的面積是cm2【答案】2【知識點】三角形的面積；含30°角的直角三角形【解析】【解答】解：由題意知，∠ACB=∠E=，

∴BC∥DE，∵∠B=，AB=4，

∴AC=AB=4=2，

∵∠D=，

∴∠AFC=∠D=

∴CF=AC=2，

∴陰影部分的面積==2.

【分析】根據直角三角形中，30度角所對的直角邊等于斜邊的一半可求得AC的值，再根據同垂直于一條直線的兩條直線互相平行可得BC∥DE，由平行線的性質可得∠AFC=∠D=，根據等腰直角三角形的性質可得CF=AC，則陰影部分的面積=可求解。12．如圖：∠DAE=∠ADE=15°，DE∥AB，DF⊥AB，若AE=8，則DF等于．【答案】4【知識點】角平分線的性質；含30°角的直角三角形【解析】【解答】解：作DG⊥AC，垂足為G．∵DE∥AB，∴∠BAD=∠ADE，∵∠DAE=∠ADE=15°，∴∠DAE=∠ADE=∠BAD=15°，∴∠DEG=15°×2=30°，∴ED=AE=8，∴在Rt△DEG中，DG=DE=4，∴DF=DG=4．故答案為：4．【分析】作DG⊥AC，根據DE∥AB得到∠BAD=∠ADE，再根據∠DAE=∠ADE=15°得到∠DAE=∠ADE=∠BAD，求出∠DEG=15°×2=30°，再根據30°的角所對的直角邊是斜邊的一半求出GD的長，然后根據角平分線的性質求出DF．三、解答題：13．如圖，△ABC中AB＝AC，∠C＝30°，AB的垂直平分線MN分別交BC、AB于點M、N，試探究BM與CM之間的數量關系.【答案】解：連接AM，∵AB=BC，∠C=30°，∴∠B=30°，∵AB的垂直平分線是MN，∴∠MAC＝90°，CM=2AM，∴AB=2BM，∴CM=2BM，【知識點】線段垂直平分線的性質；等腰三角形的性質；含30°角的直角三角形【解析】【分析】連接AM，∵AB=BC，∠C=30°∴∠B=30°，∵AB的垂直平分線是MN，，∴∠MAC＝90°，CM=2AM，∴AB=2BM，，∴CM=2BM.14．如圖，已知，在△ABC中，，AB的垂直平分線DE交AC于點D，垂足為E，若∠A=30°，CD=4cm，求AC的長.【答案】解：∵，∴∠ABC=60°，∵DE是AB的垂直平分線，∴BD=AD，∴∠A=∠ABD=30°，∴∠CBD=30°，∵CD=4cm，∴BD=2CD=8cm，∴AD=8cm，∴AC=CD+AD=12cm.【知識點】線段垂直平分線的性質；等腰三角形的性質；含30°角的直角三角形【解析】【分析】由三角形的內角和定理得∠ABC=60°，根據線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等得出AD=BD，根據等邊對等角得出∠A=∠ABD=30°，根據角的和差得出∠CBD=30°，然后根據含30°直角三角形的性質可得AD=BD=8cm，進而問題可求解.15．如圖，在中，∠°，∠°，⊥AB于點D，交AC于點E，如果，求的長．【答案】解：∵，，∴，，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵在中，，∴．【知識點】含30°角的直角三角形【解析】【分析】根據三角形的內角和得出，根據含30度角的直角三角形的性質解答即可。16．已知如圖等邊三角形△ABC，D，E分別是BC，AC上的點.AD、BE交于點N，BM⊥AD于M.若AE=CD，求證：MN=BN.【答案】證明：∵△ABC是等邊三角形，∴AB=BC=AC，∠BAC=∠ACB=60°.在△ABE和△CAD中，∴△ABE≌△CAD（SAS），∴∠ABE=∠CAD，∴∠BNM=∠BAN+∠ABN=∠BAN+∠CAD=60°，∵BM⊥AD，即∠AMB=90°，∵∠BNM=60°，∴∠NBM=30°，∴MN=BN.【知識點】含30°角的直角三角形；三角形全等的判定（SAS）【解析】【分析】由等邊三角形的性質可得AB=BC=AC，∠BAC=∠ACB=60°，用邊角邊可證△ABE≌△CAD，由全等三角形的性質可得∠ABE=∠CAD，由三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和可得∠BNM=∠BAN+∠ABN=∠BAN+∠CAD=60°，然后根據30度角所對的直角邊等于斜邊的一半可求解.能力提升篇一、單選題：1．已知等腰三角形△ABC，BC邊上的高恰好等于BC邊長的一半，則∠BAC的度數是（）A．75° B．90°或75°C．90°或75°或15° D．75°或15°或60°【答案】C【知識點】等腰三角形的性質；含30°角的直角三角形【解析】【解答】分三種情況：①AB=BC，AD⊥BC，AD在三角形的內部，由題意知，AD=BC=AB，∵∠ADB=90°，∴∠B=30°，∠C==75°，∴∠BAC=∠C=75°；②AC=BC，AD⊥BC，AD在三角形的外部，由題意知，AD=BC=AC，∵∠ADB=90°，∴∠ACD=30°=∠B+∠CAB，∵∠B=∠CAB，∴∠BAC=15°；③AC=AB，AD⊥BC，BC邊為等腰三角形的底邊，由等腰三角形的三線合一知點D為BC的中點，由題意知，AD=BC=CD=BD，∴△ABD，△ADC均為等腰直角三角形，∴∠BAD=∠CAD=45°，∴∠BAC=90°，∴∠BAC的度數為90°或75°或15°，故答案為：C.【分析】本題要分情況討論，根據等腰三角形的性質來分析：①當AD在三角形的內部，②AD在三角形的外部以，③BC邊為等腰三角形的底邊三種情況.2．如圖，在等邊△ABC中，D、E分別是BC、AC上的點，且AE=CD，AD、BE相交于F，BH⊥AD于H點，FH=3，EF=0.5，則AD的長為()A．6 B．6.5 C．7 D．7.5【答案】B【知識點】三角形的外角性質；等邊三角形的性質；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定（SAS）【解析】【解答】解：∵△ABC是等邊三角形，

∴AB=AC，∠BAE=∠DCA=60°，

在△ABE和△CAD中，

，

∴△ABE≌△CAD（SAS），

∴BE=AD，∠CAD=∠ABE，

∴∠BFH=∠ABF+∠BAF=∠CAD+∠BAF=60°，

∴∠FBH=90°-∠BFH=30°，

∴BF=2FH=6，

∴BE=BF+EF=6+0.5=6.5，

∴AD=BE=6.5.

故答案為：B.【分析】根據等邊三角形的性質得出AB=AC，∠BAE=∠DCA，然后利用SAS證明△ABE≌△CAD，得出BE=AD，∠CAD=∠ABE，然后利用三角形外角的性質求出∠BFH=60°，則可根據含30°角的直角三角形的性質求出BF，然后利用全等三角形的性質即可得出AD的長.3．如圖，在△ABC中，∠A=60°，BE⊥AC，垂足為E，CF⊥AB，垂足為F，點D是BC的中點，BE，CF交于點M，如果CM=4，FM=5，則BE等于()A．14 B．13 C．12 D．11【答案】C【知識點】含30°角的直角三角形【解析】【解答】解：∵BE⊥AC，CF⊥AB，

∴∠AEB=∠AFC=90°，

∵∠A=60°，

∴∠ABE=∠ACF=30°，

在Rt△FBM中，

∵FM=5，

∴BM=2FM=10，

在Rt△EMC中，

∵CM=4，

∴EM=CM=2，

∴BE=BM+ME=10+2=12.

故答案為：C.

【分析】根據垂直的定義可知∠AEB=∠AFC=90°，由三角形內角和定理得∠ABE=∠ACF=30°，在Rt△FBM、Rt△EMC中，根據直角三角形的性質求得BM=10，EM=2，再由BE=BM+ME即可求得答案.4．如圖，在中，，，D為的中點，P為上一點，E為延長線上一點，且有下列結論：①；②為等邊三角形；③；④其中正確的結論是（）A．①②③④ B．①② C．①②④ D．③④【答案】C【知識點】三角形全等的判定；線段垂直平分線的性質；等腰三角形的性質；等邊三角形的判定與性質；含30°角的直角三角形【解析】【解答】解：如圖，連接BP，∵AC＝BC，∠ABC＝30°，點D是AB的中點，∴∠CAB＝∠ABC＝30°，AD＝BD，CD⊥AB，∠ACD＝∠BCD＝60°，∴CD是AB的中垂線，∴AP＝BP，而AP＝PE，∴AP＝PB＝PE∴∠PAB＝∠PBA，∠PEB＝∠PBE，∴∠PBA+∠PBE＝∠PAB+∠PEB，∴∠ABC＝∠PAD+∠PEC＝30°，故①正確；∵PA＝PE，∴∠PAE＝∠PEA，∵∠ABC＝∠PAD+∠PEC＝30°，∴∠PAE+∠PEA＝而∴△PAE是等邊三角形，故②正確；如圖，延長至，使則點P關于AB的對稱點為P′，連接P′A，∴AP＝AP′，∠PAD＝∠P′AD，∵△PAE是等邊三角形，∴AE＝AP，∴AE＝AP′，∵∠CAD＝∠CAP+∠PAD＝30°，∴2∠CAP+2∠PAD＝60°，∴∠CAP+∠PAD+∠P′AD＝60°﹣∠PAC，∴∠P′AC＝∠EAC，∵AC＝AC，∴△P′AC≌△∠EAC（SAS），∴CP′＝CE，∴CE＝CP′＝CP+PD+DP′＝CP+2PD，∴.故③錯誤；過點A作AF⊥BC，在BC上截取CG＝CP，∵CG＝CP，∠BCD＝60°，∴△CPG是等邊三角形，∴∠CGP＝∠PCG＝60°，∴∠ECP＝∠PGB＝120°，且EP＝PB，∠PEB＝∠PBE，∴△PCE≌△PGB（AAS），∴CE＝GB，∴AC＝BC＝BG+CG＝EC+CP，∵∠ABC＝30°，AF⊥BE，∴AF＝AB＝AD，∵S△ACB＝CB×AF＝（EC+CP）×AF＝EC×AF+CP×AD＝S四邊形AECP，∴S四邊形AECP＝S△ABC.故④正確.所以其中正確的結論是①②④.故答案為：C.【分析】連接BP，根據等腰三角形的性質以及內角和定理可得∠CAB＝∠ABC＝30°，AD＝BD，CD⊥AB，∠ACD＝∠BCD＝60°，進而推出AP＝BP＝PE，由等腰三角形的性質可得∠PAB＝∠PBA，∠PEB＝∠PBE，然后根據角的和差關系可判斷①；易得∠PAE+∠PEA＝120°，∠APE=60°，據此判斷②；延長PD至P′，使PD=P′D，則點P關于AB的對稱點為P′，連接P′A，由等邊三角形的性質可得AE＝AP，則AE＝AP′，推出∠P′AC＝∠EAC，證明△P′AC≌△∠EAC，得到CP′＝CE=CP+2PD，據此判斷③；過點A作AF⊥BC，在BC上截取CG＝CP，則△CPG是等邊三角形，則∠CGP＝∠PCG＝60°，證明△PCE≌△PGB，得到CE＝GB，推出AC＝BC＝EC+CP，根據含30°角的直角三角形的性質可得AF＝AB＝AD，據此不難判斷④.二、填空題：5．如圖，在中，，，，平分，點E是的動點，點F是上的動點，則的最小值為.【答案】12【知識點】垂線段最短；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定（SAS）；角平分線的定義【解析】【解答】解：在射線BC上取一點E′，使得BE′＝BE.過點A作AH⊥BC于H.在Rt△ACH中，∵∠AHC＝90°，AC＝24，∠C＝30°，∴AH＝AC＝12，∵BD平分∠ABC，∴∠FBE＝∠FBE′，∵BE＝BE′，BF＝BF，∴△FBE≌△FBE′（SAS），∴FE＝FE′，∴AF＋FE＝AF＋FE′，根據垂線段最短可知，當A，F，E′共線且與AH重合時，AF＋FE的值最小，最小值＝12，故答案為：12.【分析】在射線BC上取一點E′，使得BE′＝BE，過點A作AH⊥BC于H，根據含30°角的直角三角形的性質可得AH＝AC＝12，由角平分線的概念得∠FBE＝∠FBE′，證明△FBE≌△FBE′，得到FE＝FE′，則AF＋FE＝AF＋FE′，根據垂線段最短可知：當A，F，E′共線且與AH重合時，AF＋FE的值最小，據此求解.6．如圖，已知∠AOB=60°，點P是OA邊上，OP=8cm，點M、N在邊OB上，PM=PN，若MN=2cm，則ON=cm．【答案】5【知識點】等腰三角形的性質；含30°角的直角三角形【解析】【解答】解：過P作PD⊥OB于點D，在Rt△OPD中，∵∠ODP=90°，∠POD=60°，∴∠OPD=30°，∴OD=OP=×8=4cm，∵PM=PN，PD⊥MN，MN=2cm，∴MD=ND=MN=1cm，∴ON=OD+DN=4+1=5cm．故答案為：5．【分析】過P作PD⊥OB于點D，在直角三角形POD中，利用含30度直角三角形的性質求出OD的長，再由PM=PN，利用等腰三角形三線合一的性質得到D為MN中點，根據MN=2求出DN的長，由OD+DN即可求出ON的長．7．如圖，△ABC中，∠A=15°，AB是定長.點D，E分別在AB，AC上運動，連結BE，ED．若BE+ED的最小值是2，則AB的長是【答案】4【知識點】角平分線的性質；含30°角的直角三角形【解析】【解答】如圖，作∠CAF=15°，∵AC是∠BAF的平分線，∴DE=D′E，∴當BE、D′E在一條直線上時，即當E、D在如圖位置上時，BE+ED最小，∵∠F=90°，∠FAB=30°，∴AB=2BF=4.故答案為：4.【分析】作點B關于AC的對稱點B'，過B作BF⊥AB'，BF即為BE+ED的最小值，利用含30°的直角三角形的性質解答即可．8.如圖，在等邊△ABC中，AD⊥BC交于D，P、Q兩點分別是AC、BC邊上的兩動點，且PQ∥AD，當∠PDQ＝30°時，如果CQ＝0.5，那么AB＝．【答案】4【知識點】平行線的判定與性質；含30°角的直角三角形【解析】【解答】解：∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC＝BC，∠C＝60°，∵AD⊥BC，∴BD＝DC，∵∠PDQ＝30°，∴∠PDQ+∠C＝90°，∴∠DPC＝90°，∵PQ∥AD，AD