2.3數學歸納法問題1:袋中有5個小球，如何證明它們都是綠色的？

問題2:完全歸納法

不完全歸納法

…問題3：某人看到樹上烏鴉是黑的，深有感觸地說全世界的烏鴉都是黑的。問題情境一

：由一系列有限的特殊事例得出一般結論的推理方法結論一定可靠結論不一定可靠考察全體對象,得到一般結論的推理方法考察部分對象,得到一般結論的推理方法歸納法分為完全歸納法和不完全歸納法歸納法思考：歸納法有什么優點和缺點？優點：可以幫助我們從一些具體事例中發現一般規律缺點：僅根據有限的特殊事例歸納得到的結論有時是不正確的在使用歸納法探究數學命題時，必須對任何可能的情況進行論證后，才能判別命題正確與否。思考1：與正整數n有關的數學命題能否通過一一驗證的辦法來加以證明呢？思考2：如果一個數學命題與正整數n有關,我們能否找到一種既簡單又有效的證明方法呢？思考1:某人姓王，其子子孫孫都姓王嗎？某家族所有男人世代都姓王的條件是什么？（1）始祖姓王；

（2）子隨父姓.

（第1代姓王）（如果第k代姓王，則第k+1代也姓王）創設情境7思考2？有若干塊骨牌豎直擺放，若將它們全部推倒，有什么辦法？一般地，多米諾骨牌游戲的原理是什么？(條件是什么）創設情境⑴第一塊骨牌倒下；⑵任意相鄰的兩塊骨牌，前一塊倒下一定導致后一塊倒下?兩個條件的作用：條件⑴：奠基；條件⑵：遞推關系8例題1例題1：已知數列{an}中，a1=1,an+1=an/(an+1),

用數學歸納法證明：對所有的正整數n,有an=1/na1=1成立假設ak=1/k成立,若證出ak+1=1/(k+1)成立命題an=1/n成立…………….第1張骨牌倒下…………….假設第k張骨牌倒下保證第k+1張倒下第n張骨牌倒下骨牌倒下命題成立類比

數學建構

對于某些與正整數n有關的命題常常采用下面的方法來證明它的正確性：證明當n取第一個值n0時命題成立；2.假設當n=k(k≥n0,kN*)時命題成立，證明當n=k+1時命題也成立.數學歸納法這種證明方法就叫做______________.那么,命題對于從n0開始的所有正整數n都成立,注意：第二步是個命題，前面是條件，后面是結論。第二步我們就是證明這個命題是正確的。證明：（1）當n=1時，左邊＝12＝1，右邊＝

等式成立。

例題2：用數學歸納法證明（2）假設當n=k時，等式成立，即那么：

左邊=12+22+……+k2+(k+1)2右邊

即當n=k+1時等式也成立。根據（1）和（2），可知命題對任何n∈N＊都成立。數學歸納法證明一個與正整數有關命題的步驟是：（1）證明當取第一個值（如或2等）時結論正確；

（2）假設時結論正確，證明時結論也正確．

遞推基礎遞推依據“找準起點，奠基要穩”“用上假設，遞推才真”注意：1、一定要用到歸納假設；2、看清從k到k＋1中間的變化。例3

用數學歸納法證明：

證明（1）當n=1時，等式左邊等式右邊所以等式成立.

（2）假設n=k（k∈N+）時等式成立，那么當n=k+1時，即n=k+1時等式成立.由（1）（2）可知，對任意n∈N+等式均成立.練習1．用數學歸納法證明1＋2＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)時，在驗證n＝1成立時，左邊所得的代數式是(

)A．1

B．1＋3C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋4[答案]

C[解析]

當n＝1時，2n＋1＝2×1＋1＝3，所以左邊為1＋2＋3.故應選C.[答案]

D[解析]

∵1＋12＋14＋…＋127－1＝1－è???÷?1271－12＝2－126＝27－126＝12764

而1＋12＋14＋…＋128－1>12764，故應選B.

[答案]

B思考1：試問等式2+4+6+…+2n＝n2+n+1成立嗎？某同學用數學歸納法給出了如下的證明，請問該同學得到的結論正確嗎？解:設n＝k時成立，即這就是說，n＝k+1時也成立2+4+6+…+2k＝k2+k+1則當n=k+1時2+4+6+…+2k+2(k+1)＝k2+k+1+2k+2＝(k+1)2+(k+1)+1

所以等式對任何n∈N*都成立事實上，當n＝1時，左邊＝2，右邊＝3左邊≠右邊，等式不成立該同學在沒有證明當n=1時，等式是否成立的前提下，就斷言等式對任何n∈N*都成立，為時尚早2.3數學歸納法下面是某同學用數學歸納法證明命題

的過程.你認為他的證法正確嗎?為什么?

(1).當n=1時,左邊=,右邊=(2).假設n=k時命題成立即那么n=k+1時,

左邊

=右邊,即n=k+1時,命題也成立.由(1)(2)知,對一切自然數,命題均正確.

思考2證明：①當n=1時，左邊＝右邊＝②假設n=k時，等式成立，那么n=k+1時等式成立這就是說，當n=k+1時，等式也成立根據（1）和（2），可知等式對任何n∈N＊都成立即第二步的證明沒有在假設條件下進行，因此不符合數學歸納法的證明要求思考3：下面是某同學用數學歸納法證明等式成立的過程,它符合數學歸納法的證明要求嗎？為什么？（n∈N＊）nn2112121212132-=＋＋＋＋L反思：1、因此，用數學歸納法證明命題的兩個步驟，缺一不可。第一步是遞推的基礎，第二步是遞推的依據。缺了第一步遞推失去基礎；缺了第二步，遞推失去依據，因此無法遞推下去。2、第二步是個命題，前面是條件后面是結論。我們只需證明這個命題是正確的就行。3、當n=1時成立，假設當n=k時成立，那推出當n=k+2時也成立，請問這個命題對哪些自然數成立？如果推出當n=k+3時也成立，那請問這個命題對哪些自然數成立？答：對正奇數成立。對自然數1、4、7、11、……。成立。(2)假設n=k時,11k+2+122k+1能被133整除,=1111k+2+122122k+1=11(11k+2+122k+1)11122k+1+122122k+1=1111(11k+2+122k+1)+122k+1(14411)=11(11k+2+122k+1)+122k+1133.例3.證明:對任意正整數n,數11n+2+122n+1是133的倍數.證明:(1)當n=1時,11n+2+122n+1=113+123=23133,∴23133能被133整除,即n=1時命題成立.那么11(k+1)+2+122(k+1)+1(3)整除性問題由歸納假設知