6.1微分方程的基本概念微分方程的基本概念引例幾何問題物理問題解:

設所求曲線方程為y=y(x),則有如下關系式:①(C為任意常數)由②得C=1,因此所求曲線方程為②由①得例1

一曲線通過點(1,2),且在該曲線上任意點

處的切線斜率為2x，求這曲線的方程。例2質量為m的物體從空中自由下落，若略去空氣阻力．求物體下落的距離s與時間t的函數關系s(t)。解；未知函數s(t)應滿足方程,即兩邊積分得再積分一次，得此外，設運動開始時，物體的初始速度和初始位移為零，得常微分方程偏微分方程1.含有未知函數的導數（或微分）的方程稱為微分方程

.2.微分方程中所含未知函數的導數（或微分）的最高階數叫做微分方程的階.(本章內容)微分方程的基本概念分類例如為二階微分方程3.代入微分方程后，能使之成為恒等式的函數稱為微分方程的解

.4.用來確定通解中任意常數的條件稱為初始條件.微分方程的基本概念特解通解(不含任意常數)分類5.尋求微分方程的解的過程稱為解微分方程.6.2一階微分方程6.2.1可分離變量的微分方程6.2.2一階線性微分方程6.2.1可分離變量的微分方程一、可分離變量的微分方程轉化兩邊積分例3(細菌繁殖模型)在一個理想的環境中，細胞的繁殖率與細菌的數目成正比，若時細菌的數目為，求系統的細菌繁殖規律。兩邊積分

解：設示在時刻細菌數目，依題意有即(C為任意常數)又因，為已知,故特解為例4（自然生長模型）表示一種生物在時間t時種群總數，開始時種群總數分別表示該總群的出生率和死亡率，實踐證明

解：在t到△t這段時間內種群總數改變量為當時采用可分離變量后，積分得其中r>0，k>0，試求該種群的自然生長規律。由確定常數C，則可得生物總群自然增長規律：此式稱為Logistic方程，顯然當其曲線圖為例5（腫瘤生長模型）設是腫瘤體積。免疫系統非常脆弱時，V呈指數式增長，但V長大到一定程度后，因獲取的營養不足使其增長受限制。描述V的一種數學模型是：

是腫瘤可能長到的最大體積，確定腫瘤生長規律解：分離變量兩邊積分由初始條件，可確定，故特解是即此為貢柏茨方程此為貢柏茨方程圖形二、可化為分離變量的某些方程*1.

齊次方程形如令代入原方程得兩邊積分,得積分后再用代替u,便得原方程的通解.解法:分離變量:例6.解微分方程解:代入原方程得分離變量兩邊積分得故原方程的通解為(

當C=0

時,

y=0

也是方程的解)(C

為任意常數)例7.解微分方程解：將右端函數的分子，分母同時除以自變量x此為齊次方程，令分離變量，再兩邊積分將u帶回得2.

型方程作變換例8.求方程的通解解：令則得方程通解為將代回得原方程通解6.2.2一階線性微分方程一階線性微分方程標準形式:若Q(x)0,若Q(x)0,稱為非齊次方程

.稱為齊次方程

;定義3如果方程中未知函數的導數（微分）的最高階數是一階的，且所含未知函數及導數（微分）都是一次冪的，則稱這種方程為一階線性微分方程。一、一階線性微分方程1.解齊次方程分離變量兩邊積分得故通解為這里僅表示p(x)的一個原函數2.解非齊次方程改寫為兩邊積分令令（1）下面求C（x），對（1）求導得代入標準方程得齊次方程通解非齊次方程特解故原方程的通解即兩端積分得1.齊次方程通解為：２.非齊次方程通解為：例9用常數變易法求一階線性方程通解解：齊次方程通解：用常數變易法，令代入原方程得即故通解為例10用通解公式求一階線性方程的通解解：則通解為嚴格的說，上式僅當時才成立。當x<0時例11(飲食與體重模型)某人每天從食物中獲取10500J熱量，其中5040J用于基礎代謝。他每天的活動強度，相當于每千克體重消耗67．2J.此外，余下的熱量均以脂肪的形式儲存起來，每42000J可轉化為1kg脂肪。問：這個人的體重是怎樣隨時間變化的，會達到平衡嗎?解：依題意，進食增加10500/42000=0.25kg

基礎代謝5040/42000=0.12kg

活動消耗67.2w/42000=0.0016wkg例12（藥代動力學模型）假定藥物以恒定速率K0向一個同質單元進行靜脈滴注，K0的單位為單位時間的藥量，并且藥物在同質單元內按一級消除速率常數K的過程消除。K的單位為時間的倒數。試求此系統藥物隨時間變化規律。由于，故解：依題意單位時間內藥物變化率應該等于輸入與輸出之差，則例13（細菌繁殖非理想環境模型），除系統本身的繁殖外有的細菌向系統外遷移，其遷移速率是時間t的線性函數，即At+B，系統內繁殖率與細菌的數目成正比，并假定t=0時，測得的細菌的數目為x(0)，求系統的細菌繁殖規律解：設為t時刻細菌數目，則解得代入則二、伯努利(Bernoulli)方程*

伯努利方程的標準形式:令求出此方程通解后,除方程兩邊,得換回原變量即得伯努利方程的通解.解法:(線性方程)例14求方程的通解解：這是伯努力方程，其中則

課堂練習題:求的特解解:由標準形式知則通解由得所求特解為:(雅各布第一·伯努利)

書中給出的伯努利數在很多地方有用,伯努利(1654–1705)瑞士數學家,位數學家.標和極坐標下的曲率半徑公式,1695年版了他的巨著《猜度術》,上的一件大事,而伯努利定理則是大數定律的最早形式.年提出了著名的伯努利方程,他家祖孫三代出過十多1694年他首次給出了直角坐1713年出這是組合數學與概率論史此外,他對雙紐線,懸鏈線和對數螺線都有深入的研究.6.3.1可降階高階微分方程一、型的微分方程二、型的微分方程三、型的微分方程一、型的微分方程

令則兩端積分得則再積分，得通解例15求方程的通解積分一次得再積分一次得最后積分得型的微分方程

設原方程化為一階方程設其通解為則得再一次積分,得原方程的通解二、例16求方程滿足初始條件

的特解。解：設原式為分離變量并積分即用代替，得積分得代入初始條件得故特解是三、型的微分方程

令故方程化為設其通解為即得分離變量后積分,得原方程的通解例17.求解故所求通解為解:原始可寫為兩端積分得可降階微分方程的解法——降階法逐次積分令令注意：

對于型的微分方程根據具體方程選擇用方法2或方法3，使得降階后所得方程容易求解6．3．2二階線性常系數齊次方程[定義5]如果方程中未知函數的導數(或微分)的最高階數是二階的，且所含未知函數及其各階導數(或微分)都是一次冪的，則稱這種方程為二階線性微分方程，一般形式為：稱之為二階線性齊次方程；稱之為二階線性非齊次方程稱之為二階線性常系數微分方程(a、b、c均為常數)稱之為二階線性常系數齊次微分方程(a、b、c均為常數)[定理1]若函數和是二階線性常系數齊次微分方程的兩個解，則其線性組合也是該方程的解。其中Cl、C2是兩個任意常數。[定理2]若和是二階線性常系數齊次微分方程的兩個線性無關的特解，則－－－－－－－就是該方程的通解．其中C1和C2是兩個任意常數。[定理3]設是二階線性非齊次方程的一個特解，是其對應的二階線性齊次方程的通解，則是二階線性非齊次方程的通解。

定理1、2、3說明：非齊次通解齊次通解非齊次特解齊次特解齊次特解(線性無關)二階常系數齊次線性微分方程:和它的導數只差常數因子,代入①得稱②為微分方程①的特征方程,(r

為待定常數),①所以令①的解為②其根稱為特征根.1.當時,②有兩個相異實根方程有兩個線性無關的特解:因此方程的通解為則微分它的特征方程為其根為兩個相異實根，故則代入初始條件，得故所求特解是例18求微分方程滿足初始條件的特解。2.當時,

特征方程有兩個相等實根則微分方程有一個特解設另一特解(u(x)待定)代入方程得:注意是特征方程的重根取u=x,則得因此原方程的通解為例19求微分方程的通解。它的特征方程為其根為一對相等實根則所求方程的通解為3.當時,

特征方程有一對共軛復根這時原方程有兩個復數解:

利用解的疊加原理,得原方程的線性無關特解:因此原方程的通解為例20求微分方程的通解它的特征方程為其根為一對共軛復根則所求方程的通解為