解析函數的概念6、法律的基礎有兩個，而且只有兩個……公平和實用。——伯克7、有兩種和平的暴力，那就是法律和禮節。——歌德8、法律就是秩序，有好的法律才有好的秩序。——亞里士多德9、上帝把法律和公平湊合在一起，可是人類卻把它拆開。——查·科爾頓10、一切法律都是無用的，因為好人用不著它們，而壞人又不會因為它們而變得規矩起來。——德謨耶克斯解析函數的概念解析函數的概念6、法律的基礎有兩個，而且只有兩個……公平和實用。——伯克7、有兩種和平的暴力，那就是法律和禮節。——歌德8、法律就是秩序，有好的法律才有好的秩序。——亞里士多德9、上帝把法律和公平湊合在一起，可是人類卻把它拆開。——查·科爾頓10、一切法律都是無用的，因為好人用不著它們，而壞人又不會因為它們而變得規矩起來。——德謨耶克斯第二章解析函數§2.1解析函數的概念一、導數與微分3.可導與可微以及連續之間的關系(1)可導可微如果可導可微；如果可微可導。由此可得即一、導數與微分3.可導與可微以及連續之間的關系(1)可導可微(2)可導連續如果可導可微連續。由此可見，上述結論與一元實函數是一樣的。對二元實函數：偏導數存在可微偏導數連續。解(1)由(

n

為正整數

)；同理可得得(

C

為復常數

)。解(2)由得一、導數與微分4.求導法則(1)四則運算法則P32

一、導數與微分4.求導法則(1)四則運算法則(2)復合函數的求導法則(3)反函數的求導法則其中，與是兩個互為反函數的單值函數，且二、解析函數則稱在點解析；(1)如果函數在點以及點的鄰域內處處可導，定義(2)如果函數

在區域

D

內的每一點解析，則稱或者稱是

D

內的解析函數。在區域

D內解析，奇點則稱為的奇點。如果函數在點不解析，(2)區域可導區域解析。關系(1)點可導點解析；

P31定義

2.2

(解析函數的由來)二、解析函數性質(1)在區域D

內解析的兩個函數

與

的和、差、積、商(除去分母為零的點)在

D

內解析。(2)如果函數在

z

平面上的區域

D

內解析，則復合函數

在

D

內解析。函數在

平面上的區域

G

內解析，且對

D

內的每一點

z，函數

的值都屬于

G，P32

由函數的解析性以及又方程的根是設解當時，解析，因此在全平面除去點的區域內，解析。求導法則可知：極限不存在(見§1.5

)討論函數的解析性。例當時，即當時，不存在。因此，僅在點可導，處處不解析。解由有討論函數的解析性。例解當時，當時，因此，處處不可導，處處不解析。對函數如何判別其解析性？問題三、柯西-黎曼方程1.點可導的充要條件且滿足柯西-黎曼(Cauchy-Riemann

)方程：和在點處可微，(簡稱

方程)函數在點處可導定理的充要條件是：實二元函數

可微的含義：附

P33定理

2.1

三、柯西-黎曼方程1.點可導的充要條件證明必要性“”若在處可導，且和在點處可微，故記則必可微，即由有三、柯西-黎曼方程1.點可導的充要條件證明充分性“”即在

處可微(可導)，若和

在點

處可微，則得又由和

滿足方程：且(跳過?)求導公式三、柯西-黎曼方程1.點可導的充要條件若在

處可導，則P34

(關于C-R條件)三、柯西-黎曼方程2.區域解析的充要條件和

在區域D

內可微，且函數在區域

D

內解析的定理充要條件是：滿足

C

-

R

方程。推論在區域

D

內存在且連續，并滿足

C

-

R

方程，在區域D內解析。和

的四個偏導數若函數則函數

P34定理

2.2

P34推論

可知不滿足

C

-

R

方程，解由有所以在復平面內處處不可導，處處不解析。討論函數的可導性與解析性。例有由

C

-

R

方程，所以僅在點可導，處處不解析。解由討論函數的可導性與解析性。例討論函數的可導性與解析性。例由

C

-

R

方程，解由有處處不解析。所以僅在直線上可導，xy討論函數的可導性與解析性。例解由有四個偏導數連續，且滿足

C

-

R

方程，故在全平面上處處可導，處處解析，且注函數記為本例結果表明：P35例2.4部分

解由有由

C

-

R

方程可得求解得即得(常數)。(1)由解析，證由解析，為常數，證(常數)；(2)由解析，由在

D

內為常數，(常數)，兩邊分別對

x

,y

求偏導得：①若②若方程組(A)只有零解，即得(常數)。為常數，(A)解令記為由和解析，得也解析，由

C

-

R

方程有即得(常數)。意義解析函數的實部一旦給定，則虛部只能相差一個常數。(虛部)(實部)例設函數解析，證明：和均在某區域D內其中c

為常數。▲

下節還將看到對于解析函數的實部(或虛部)本身也有要求。輕松一下……附：知識廣角——解析函數的由來解析函數的名稱是康道爾西(Condorcet)首先使用的。他的研究報告沒有公開出版，但有很多人知道他的工作。在康道爾西使用該名稱

20

年之后，拉格朗日(Lagrange)也使用了解析這個術語，他在《解析函數論》中將能展開成級數的函數說成是解析函數。現在所使用的解析函數的概念，則基本上是在魏爾斯特拉斯(Weierstrass)的著作中形成的。(返回)

1755年，歐拉(Euler)也提到了上述關系式。附：知識廣角——關于

C

-

R

條件

1746年，達朗貝爾(D’Alemert)在研究流體力學時首先提到了如下的關系式：若函數

是解析函數，則上述關系式成立。

1777年，歐拉的兩篇研究報告(1793年與1794年才發表)中

,證明了條件的必要性，即附：知識廣角——關于

C

-

R

條件

1851年，上述關系式在黎曼的第一篇重要論文(博士論文)“復變函數論的基礎”中再次出現。黎曼把它當作了解析函數定義的基礎，并且在它上面建立了相應的理論。上述關系式在柯西的著作中也多次出現。柯西在很長時期內沒能解決所研究的函數應當滿足什么樣的條件才能成為解析函數，直到晚年他才區分出解析函數類。后來人們就以柯西和曼黎的名字來命名上述關系式，不過也有些著作把該上述關系式稱為歐拉－達朗貝爾條件。附：人物介紹——柯西

數學史上最多產的數學家之一。復變函數論的奠基人之一。數理彈性理論的奠基人之一。法國數學家(1789～1857)柯

西A.L.Cauchy在純數學和應用數學方面的功力相當深厚。很多數學定理和公式都是以他的名字命名的，如柯西不等式、柯西積分公式等等。在論文寫作數量上，柯西僅次于歐拉。他一生中總共發表了

789

篇論文和幾本書。他的全集從

1882

年開始出版，直到1974年才出齊最后一卷，總計28卷。附：人物介紹——柯西附：人物介紹——黎曼德國數學家(1826～1866)黎曼B.Riemann是世界數學史上最具獨創精神的數學家之一。復變函數論的奠基人之一。黎曼幾何的創始人。黎曼的著作不多，但卻異常深刻，極具創造與想象力。附：人物介紹——黎曼柯西、黎曼和維爾斯特拉斯是公認的復變函數論的主要奠基人，但在處理復變函數理論的方法上，黎曼的方法被認為是本質的。在其短暫的一生中，黎曼為數學的眾多領域作出了許多奠基性、創造性