第十半群與群第1頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月§11.1半群與獨異點半群是一種代數(shù)系統(tǒng)，它在形式語言與自動機等領(lǐng)域，具有廣泛的應(yīng)用。定義11.1設(shè)是集合上的二元運算，若運算是可結(jié)合的，則稱代數(shù)系統(tǒng)為半群。這個定義包括兩點，即對(1)(2)第2頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月例如：等都是半群。定義11.2若半群中存在一個幺元，則稱為獨異點（或帶幺半群）。記作例1：為帶么半群，其中，第3頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月⊕為模n加法。例1：為帶么半群，其中，證明：(1)滿足封閉性。(2)故⊕在上是可結(jié)合的。故為半群。(3)故為帶么半群。第4頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月半群的子代數(shù)叫做子半群，獨異點的子代數(shù)叫子獨異點。根據(jù)子代數(shù)的定義不難看出，如果是半群，只要對中的運算o封閉，則就是子半群。而對獨異點來說，,不僅要對中運算封閉，而且,這時才構(gòu)成的獨異點。第5頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月例11.2設(shè)半群,獨異點，其中為矩陣乘法,令則（1）第6頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月例11.2設(shè)半群,獨異點，其中為矩陣乘法,令則（2）對矩陣乘法是封閉的？第7頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月例11.2設(shè)半群,獨異點，其中為矩陣乘法,令則（3）對矩陣乘法是否為子獨異點？第8頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月例11.2設(shè)為矩陣乘法,則是否為半群？若是，是否為獨異點？第9頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月下面考慮半群和獨異點的同態(tài)映射，簡稱同態(tài)。定義11.3（1）設(shè),是半群,若映射則稱是半群到的同態(tài)映射，簡稱同態(tài)。滿足：第10頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月例9.11/P177.(1)設(shè)其中為整數(shù)集合，+為普通加法；為模n加法.令則是到的同態(tài)。因為有第11頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月例9.11/P177.(2)設(shè)其中為實數(shù)集合，+為普通加法；為普通乘法.令則是到的同態(tài)。因為有為非零實數(shù)集，第12頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月特別地，定義11.3（1）設(shè)是半群,若映射則稱是半群的自同態(tài)。滿足：第13頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月例9.11/P177.(3)設(shè)其中為整數(shù)集合，+為普通加法；令則是的自同態(tài)。因為有第14頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月例9.12/P177.設(shè)其中為模8加法.令則是的自同態(tài)。因為有第15頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月例11.2設(shè)半群，o為矩陣乘法,考察半群上的自映射:令則是的自同態(tài)。第16頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月事實上，對任意的第17頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月對任意的所以φ是的自同態(tài)。第18頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月再考慮獨異點的同態(tài)映射。定義11.3（2）設(shè),是獨異點,則稱是獨異點到的同態(tài)映射。若映射滿足：第19頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月例11.2設(shè)獨異點，o為矩陣乘法,考察獨異點上的自映射:令則不是的自同態(tài)。第20頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月因第21頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月§11.2群的定義及性質(zhì)群論是應(yīng)用最廣、發(fā)展較早的一類代數(shù)系統(tǒng)，它是建立其他代數(shù)系統(tǒng)的基礎(chǔ)。定義11.4設(shè)是一個代數(shù)系統(tǒng)，其中，是上的一個二元運算，如果（1）是可結(jié)合的；（2）存在幺元e；（3）對于每一元素,存在它的逆元第22頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月則稱是一個群。判斷以下代數(shù)結(jié)構(gòu)是否為群：（1）√（2）（3）√第23頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月例11.3（四元數(shù)群）設(shè)G=｛a,b,c,e｝,為上的二元運算。eabceabceabcaecbbceacbae證明是一個群。第24頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月例11.3（四元數(shù)群）設(shè)G=｛a,b,c,e｝,為上的二元運算。eabceabceabcaecbbceacbae證明:(1)是封閉的（是代數(shù)）；(2)是可交換;第25頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月例11.3（四元數(shù)群）設(shè)G=｛a,b,c,e｝,為上的二元運算。eabceabceabcaecbbceacbae證明:(3)是可結(jié)合的（是半群）；由于是可交換，只要驗證：第26頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月例11.3（四元數(shù)群）設(shè)G=｛a,b,c,e｝,為上的二元運算。eabceabceabcaecbbceacbae證明:(4)是單位元；（獨異點）；(5)任何元素的逆元就是它自己。（群）稱滿足交換律的群為交換群或Abel群。第27頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月定義11.5（1）若群是有窮集，則稱是有限群。群所含元素的個數(shù)稱為群的階。記（2）只含單位元的群稱為平凡群。例：(1)四元數(shù)群是四階群。(2)是無限群。（交換群）.(3)是可交換的3階群。(4)為平凡群。第28頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月定義11.6設(shè)是群，,,則a的n次冪定義為特別的，例：單位元：012012012120201第29頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月定義11.7設(shè)是群，,使得等式成立的最小的正整數(shù)k稱為a的階（或a的周期），記作|a|=k,也稱a為k階元。若不存在這樣的正整數(shù)k,則稱a為無限階。例：單位元：012012012120201所以第30頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月定義11.7設(shè)是群，,使得等式成立的最小的正整數(shù)k稱為a的階（或a的周期），記作|a|=k,也稱a為k階元。若不存在這樣的正整數(shù)k,則稱a為無限階。例：單位元：012012012120201問題：（1）（2）有人說所以，對嗎？第31頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月（2）其它的整數(shù)是無限階。（3）（四元數(shù)群）設(shè)G=｛a,b,c,e｝,為上的二元運算。eabceabceabcaecbbceacbae第32頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月下面的定理給出了群的一些重要的性質(zhì)。定理11.1設(shè)是群，則中的冪運算滿足：（1）證明：因且代數(shù)系統(tǒng)中的逆元若存在就是唯一的，故第33頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月下面的定理給出了群的一些重要的性質(zhì)。定理11.1設(shè)是群，則中的冪運算滿足：（2）證明：因故同理第34頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月下面的定理給出了群的一些重要的性質(zhì)。定理11.1設(shè)是群，則中的冪運算滿足：（3）（4）（5）若為交換群，則第35頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月下面的定理給出了群的一些重要的性質(zhì)。定理11.2設(shè)是群，則方程：在中有解且有唯一解。和證明：先證是方程的解。事實上，第36頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月下面的定理給出了群的一些重要的性質(zhì)。定理11.2設(shè)是群，則方程：在中有解且有唯一解。和下證唯一性。假設(shè)是方程的解，必有,從而有所以第37頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月下面的定理給出了群的一些重要的性質(zhì)。定理11.2設(shè)是群，則方程：在中有解且有唯一解。和同理證明為唯一性。第38頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月例11.5設(shè)群，其中為該集合的對稱差運算。解下列方程：

第39頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月由

第40頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月由

由第41頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月定理11.3為群，則中適合消去律，即對任意的有(1)若，則(2)若，則證明：（1）等式兩邊左乘以即得(2)類似。第42頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月例11.7為群，且證明：事實上，由得根據(jù)群中的消去律得第43頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月例11.8為n階群，令證明：證明：由群中運算的封閉性有假設(shè)即必存在使得由消去律得與矛盾。第44頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月群的性質(zhì)補充1）設(shè)是一個代數(shù)，單位元,則中定有逆元。2）設(shè)是一個群，則換句話說，3）設(shè)若還有證明：由于，故且k是最小的正整數(shù)。第45頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月3）設(shè)若還有證明：由于，故且k是最小的正整數(shù)。因故設(shè)則所以第46頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月習(xí)題17/P229：在群中，幺元e是唯一的冪等元。證明：因所以是冪等的。若有，，則由消去率知故群中的冪等元是唯一的。第47頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月例：設(shè)是群，對證明：由定義已知第48頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月定理：對的群不可能有零元。設(shè)為群，若，它的唯一的元素，視為幺元，同時是零元。證明：設(shè)定理10.3/P186設(shè)o是上的二元運算，和θ分別是o的單位元和零元。如果中至少有兩個元素，則.則所以沒有逆元，與為群矛盾。第49頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月§11.3子群子群就是群的子代數(shù)。定義11.8設(shè)G是群，H是G的非空子集，如果H關(guān)于G的運算構(gòu)成群，則稱H是的子群，記為H≤G。若H是的子群，且H?G，則稱H是的真子群。記作H<G。例如：nZ是整數(shù)加群子群，當(dāng)n≠1時，nZ是Z的真子群。第50頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月對任何群G都存在子群。G和｛e｝都是G的子群，稱為G的平凡子群。下面給出子群的判定定理。定理11.5（判定定理一）設(shè)G為群，H是G的非空子集。H是G的子群當(dāng)且僅當(dāng)下面的條件成立：(1)(2)第51頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月定理11.5（判定定理一）設(shè)G為群，H是G的非空子集。H是G的子群當(dāng)且僅當(dāng)下面的條件成立：(1)有

(2)有。證必要性是顯然的。為證充分性，只要證.事實上，，必存在,由條件（2）,,再由條件（1）,即.第52頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月定理11.6（判定定理二）設(shè)G為群，H是G的非空子集，則H是G的子群當(dāng)且僅當(dāng)證必要性，由于H是G的子群，必有b-1∈H，從而有充分性已知下證按判定定理一，只要證（1）有（2）有第53頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月定理11.6（判定定理二）設(shè)G為群，H是G的非空子集，則H是G的子群當(dāng)且僅當(dāng)事實上，（1）有（2）有并且，第54頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月定理11.7（判定定理三）設(shè)G為群，H是G的非空子集。如果H是有窮集，則H是G的子群當(dāng)且僅當(dāng)證明：必要性是顯然的。為證充分性，由判斷定理2，只要證：（1）若，則（2）若，則第55頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月（2）若，則令定理11.7（判定定理三）設(shè)G為群，H是G的非空子集。如果H是有窮集，則H是G的子群當(dāng)且僅當(dāng)由知而H是有窮集，則S更是有窮集。存在由消去率知又第56頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月（2）若，則令定理11.7（判定定理三）設(shè)G為群，H是G的非空子集。如果H是有窮集，則H是G的子群當(dāng)且僅當(dāng)且第57頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月下面是一些重要的實例。例11.11設(shè)為群，,令即的所有的冪構(gòu)成的集合，則H是G的子群.稱為由生成的子群，記作.第58頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月例如:整數(shù)加群，由2生成的子群是例如:模6整數(shù)加群，由2生成的子群是第59頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月3對于Klein四元數(shù)群由它的每一個元素生成的子群是：oeabceabceabcaecbbceacbae第60頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月則C是G的子群，稱為G的中心。證首先，由e與G的所有元素可交換知。故。任取a,b∈C,由判定定理二，只需證明即可。即與G中所有元素都可交換即可。例11.13設(shè)G為群，令C是與G中所有的元素都可交換的元素構(gòu)成的集合，即第61頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月事實上：所以，注：對于阿貝爾群，G=C。第62頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月例11.14設(shè)G是群，H，K是G的子群。證明也是G的子群。證明由于，所以第63頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月§11.6群的同態(tài)與同構(gòu)和半群的同態(tài)類似，也可以定義群的同態(tài)。定義11.11設(shè)，是群，若對任意的都有則稱φ是群到的同態(tài)映射，簡稱同態(tài)。第64頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月例11.23（1）是整數(shù)加群，是模n的整數(shù)加群。令則是到的同態(tài)。事實上，因為,有第65頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月例11.23（2）是實數(shù)加群，是非零實數(shù)關(guān)于普通乘法構(gòu)成的群。令則是到的同態(tài)。事實上，因為,有第66頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月例11.23（3）,是群，令則是到的同態(tài)。事實上，因為,有第67頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月定義11.12設(shè)是群到的同態(tài)。若是滿射的，則稱φ是滿同態(tài)，這時也稱是的同態(tài)像。記作若是單射的，則稱φ是單同態(tài)。若是雙射的，則稱φ是同構(gòu)。記作第68頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月若，則稱φ是群的自同態(tài)。類似的，可以定義滿自同態(tài)，單自同態(tài)和自同構(gòu)。例：證明群和同構(gòu)。其中，模4加法，模5乘法。⊕012301230123123023013012⊙123412341234241331424321第69頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月例：證明群和同構(gòu)。其中，模4加法，模5乘法。⊕012301230123123023013012⊙123412341234241331424321解：可以驗證對第70頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月23/P230設(shè)H是G的子群，，令證明是G的子群。證明（1）（2）第71頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月22/P230設(shè)為群，是中給定元素，的正規(guī)化子證明構(gòu)成的子群。證明：??第72頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月22/P230設(shè)為群，是中給定元素，的正規(guī)化子證明構(gòu)成的子群。??第73頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月22/P230設(shè)為群，是中給定元素，的正規(guī)化子證明構(gòu)成的子群。??第74頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月23/P231:對于以下各小題給定的群和，以及，說明是否為群到的同態(tài)，如果是，說明是否是單同態(tài)，滿同態(tài)和同構(gòu)，并求同態(tài)像。（1），，其中為非零實數(shù)的集合，＋和·分別為數(shù)的加法和乘法。是偶數(shù)是奇數(shù)第75頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月（1），，其中為非零實數(shù)的集合，＋和·分別為數(shù)的加法和乘法。是偶數(shù)是奇數(shù)證明：當(dāng)一奇一偶時：當(dāng)同奇或同偶時：第76頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月所以，是到的同態(tài)。由于，但是，所以