1.1.2空間向量的數量積運算激趣誘思知識點撥物理中,我們學習了力做功的計算方法.如圖所示,一輛小車在力F的作用下向前移動了s個單位長度,力與小車前進方向的夾角為θ,那么力作的功W=|F|·|s|cosθ,這是一個具體的數,可以為正,為負,也可以為零.激趣誘思知識點撥一、空間向量的夾角

名師點析1.由定義知,只有兩個非零空間向量才有夾角,當兩個非零空間向量共線同向時,夾角為0,共線反向時,夾角為π.2.對空間任意兩個非零向量a,b有:①<a,b>=<b,a>;②<-a,b>=<a,-b>=π-<a,b>;③<-a,-b>=<a,b>.∠AOB<a,b>[0,π]a⊥b激趣誘思知識點撥微練習在正四面體ABCD中,

的夾角等于(

)

A.30°

B.60°

C.150°

D.120°答案:D

激趣誘思知識點撥二、空間向量的數量積1.定義:已知兩個非零向量a,b,則

叫做a,b的數量積,記作

.

即a·b=|a||b|cos<a,b>.特別地,零向量與任意向量的數量積為

.

2.數量積的運算性質a·e=|a|cos<a,e>(e為單位向量)若a,b是非零向量,則a⊥b?a·b=0若a與b同向,則a·b=|a||b|;若a與b反向,則a·b=-|a||b|.|a·b|≤|a||b|(當且僅當a,b共線時等號成立)

|a||b|cos<a,b>a·b0激趣誘思知識點撥3.向量a在向量b上的投影向量在空間,向量a向向量b投影,得到與向量b共線的向量c,c=|a|cos<a,b>

稱為向量a在向量b上的投影向量.5.數量積的運算律:(λa)·b=

;a·b=

(交換律);

a·(b+c)=

(分配律).λ(a·b)b·aa·b+a·c激趣誘思知識點撥名師點析1.對空間向量數量積的理解(1)兩個空間向量的數量積是數量,而不是向量,它可以是正數、負數或零;(2)空間向量的數量積運算不滿足消去律和結合律,即a·b=a·c?b=c,(a·b)·c=a·(b·c)都不成立.

量夾角,特別是兩異面直線夾角的問題;(3)利用關系a⊥b?a·b=0可以證明空間兩直線的垂直.激趣誘思知識點撥微練習1

答案:C

激趣誘思知識點撥微判斷對不為0的三個實數a,b,c,有(ab)c=a(bc)成立,所以對三個非零向量a,b,c,也有(a·b)c=a(b·c)成立.(

)微練習2已知空間向量a,b的夾角為120°,且|a|=1,|b|=2,則a·(2a-3b)=

.

×答案:51.1.2空間向量的數量積運算-人教A版（2019）高中數學選修第一冊課件(共36張PPT)1.1.2空間向量的數量積運算-人教A版（2019）高中數學選修第一冊課件(共36張PPT)探究一探究二探究三探究四素養形成當堂檢測求空間向量的數量積例1已知三棱錐O-ABC的各個側面都是等邊三角形,且邊長為2,點M,N,P分別為AB,BC,CA的中點.試求:思路分析求出每個向量的模及它們的夾角,然后按照數量積的定義求解,必要時,對向量進行分解.1.1.2空間向量的數量積運算-人教A版（2019）高中數學選修第一冊課件(共36張PPT)1.1.2空間向量的數量積運算-人教A版（2019）高中數學選修第一冊課件(共36張PPT)探究一探究二探究三探究四素養形成當堂檢測1.1.2空間向量的數量積運算-人教A版（2019）高中數學選修第一冊課件(共36張PPT)1.1.2空間向量的數量積運算-人教A版（2019）高中數學選修第一冊課件(共36張PPT)探究一探究二探究三探究四素養形成當堂檢測反思感悟空間向量運算的方法與步驟方法:(1)利用定義,直接利用a·b=|a||b|cos<a,b>并結合運算律進行計算.(2)利用圖形,計算兩個向量的數量積,可先將各向量移到同一頂點,利用圖形尋找夾角,再代入數量積公式進行運算.(3)利用向量分解,在幾何體中進行向量的數量積運算時,要充分利用幾何體的性質,把待求向量用已知夾角和模的向量表示后再進行運算.步驟:(1)首先將各向量分解成已知模和夾角的向量的線性組合形式;(2)利用向量的運算律將數量積展開,轉化為已知模和夾角的向量的數量積;(3)代入a·b=|a||b|cos<a,b>求解.1.1.2空間向量的數量積運算-人教A版（2019）高中數學選修第一冊課件(共36張PPT)1.1.2空間向量的數量積運算-人教A版（2019）高中數學選修第一冊課件(共36張PPT)探究一探究二探究三探究四素養形成當堂檢測1.1.2空間向量的數量積運算-人教A版（2019）高中數學選修第一冊課件(共36張PPT)1.1.2空間向量的數量積運算-人教A版（2019）高中數學選修第一冊課件(共36張PPT)探究一探究二探究三探究四素養形成當堂檢測解析:如圖,連接AG并延長,與BC交于點D,∵點G是底面△ABC的重心,1.1.2空間向量的數量積運算-人教A版（2019）高中數學選修第一冊課件(共36張PPT)1.1.2空間向量的數量積運算-人教A版（2019）高中數學選修第一冊課件(共36張PPT)探究一探究二探究三探究四素養形成當堂檢測利用數量積求夾角

思路分析求兩個向量的夾角,可以把其中一個向量平移到與另一個向量的起點重合,從而轉化為求平面角的大小;也可以用兩個向量的數量積定義a·b=|a||b|cos<a,b>,求出cos<a,b>=

的值,然后確定<a,b>的大小.1.1.2空間向量的數量積運算-人教A版（2019）高中數學選修第一冊課件(共36張PPT)1.1.2空間向量的數量積運算-人教A版（2019）高中數學選修第一冊課件(共36張PPT)探究一探究二探究三探究四素養形成當堂檢測1.1.2空間向量的數量積運算-人教A版（2019）高中數學選修第一冊課件(共36張PPT)1.1.2空間向量的數量積運算-人教A版（2019）高中數學選修第一冊課件(共36張PPT)探究一探究二探究三探究四素養形成當堂檢測反思感悟兩個非零向量夾角求法的兩個途徑(1)轉化求角:把向量夾角轉化為平面幾何中的對應角,利用解三角形的知識求解;1.1.2空間向量的數量積運算-人教A版（2019）高中數學選修第一冊課件(共36張PPT)1.1.2空間向量的數量積運算-人教A版（2019）高中數學選修第一冊課件(共36張PPT)探究一探究二探究三探究四素養形成當堂檢測變式訓練2(1)若非零空間向量a,b滿足|a|=|b|,(2a+b)·b=0,則a與b的夾角為(

)A.30°

B.60° C.120° D.150°答案:C

解析:設a與b的夾角為θ,則由(2a+b)·b=0,得2|a||b|cos

θ+|b|2=0.1.1.2空間向量的數量積運算-人教A版（2019）高中數學選修第一冊課件(共36張PPT)1.1.2空間向量的數量積運算-人教A版（2019）高中數學選修第一冊課件(共36張PPT)探究一探究二探究三探究四素養形成當堂檢測(2)已知空間四面體OABC各邊及對角線長都等于2,E,F分別為AB,OC的中點,則向量

所成角的余弦值為

.

1.1.2空間向量的數量積運算-人教A版（2019）高中數學選修第一冊課件(共36張PPT)1.1.2空間向量的數量積運算-人教A版（2019）高中數學選修第一冊課件(共36張PPT)探究一探究二探究三探究四素養形成當堂檢測利用數量積證明垂直問題例3如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,P是DD1的中點,O是底面ABCD的中心.求證:OB1⊥平面PAC.1.1.2空間向量的數量積運算-人教A版（2019）高中數學選修第一冊課件(共36張PPT)1.1.2空間向量的數量積運算-人教A版（2019）高中數學選修第一冊課件(共36張PPT)空間向量的數量積運算人教A版高中數學選修第一冊課件空間向量的數量積運算人教A版高中數學選修第一冊課件探究一探究二探究三探究四素養形成當堂檢測1.1.2空間向量的數量積運算-人教A版（2019）高中數學選修第一冊課件(共36張PPT)1.1.2空間向量的數量積運算-人教A版（2019）高中數學選修第一冊課件(共36張PPT)空間向量的數量積運算人教A版高中數學選修第一冊課件空間向量的數量積運算人教A版高中數學選修第一冊課件探究一探究二探究三探究四素養形成當堂檢測反思感悟利用數量積證明垂直問題的一般方法將所證垂直問題轉化為證明線線垂直,然后把直線轉化為向量,并用已知向量表示未知向量,然后通過向量的線性運算以及數量積運算,證明直線所在向量的數量積等于零,即可證明線線垂直.1.1.2空間向量的數量積運算-人教A版（2019）高中數學選修第一冊課件(共36張PPT)1.1.2空間向量的數量積運算-人教A版（2019）高中數學選修第一冊課件(共36張PPT)空間向量的數量積運算人教A版高中數學選修第一冊課件空間向量的數量積運算人教A版高中數學選修第一冊課件探究一探究二探究三探究四素養形成當堂檢測變式訓練3已知空間四邊形OABC中,M,N,P,Q分別為BC,AC,OA,OB的中點,若AB=OC,求證:PM⊥QN.1.1.2空間向量的數量積運算-人教A版（2019）高中數學選修第一冊課件(共36張PPT)1.1.2空間向量的數量積運算-人教A版（2019）高中數學選修第一冊課件(共36張PPT)空間向量的數量積運算人教A版高中數學選修第一冊課件空間向量的數量積運算人教A版高中數學選修第一冊課件探究一探究二探究三探究四素養形成當堂檢測利用數量積求距離或長度例4如圖所示,在平行四邊形ABCD中,AB=AC=1,∠ACD=90°,沿著它的對角線AC將△ACD折起,使AB與CD成60°角,求此時B,D間的距離.1.1.2空間向量的數量積運算-人教A版（2019）高中數學選修第一冊課件(共36張PPT)1.1.2空間向量的數量積運算-人教A版（2019）高中數學選修第一冊課件(共36張PPT)空間向量的數量積運算人教A版高中數學選修第一冊課件空間向量的數量積運算人教A版高中數學選修第一冊課件探究一探究二探究三探究四素養形成當堂檢測反思感悟求兩點間的距離或線段長度的方法(1)將此線段用向量表示;(2)用其他已知夾角和模的向量表示該向量;空間向量的數量積運算人教A版高中數學選修第一冊課件空間向量的數量積運算人教A版高中數學選修第一冊課件探究一探究二探究三探究四素養形成當堂檢測變式訓練4正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱長都為2,E,F分別是AB,A1C1的中點,則EF的長是(

)答案:C

空間向量的數量積運算人教A版高中數學選修第一冊課件空間向量的數量積運算人教A版高中數學選修第一冊課件探究一探究二探究三探究四素養形成當堂檢測利用向量的數量積求兩異面直線所成角典例如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=90°,AB=BC=1,AA1=

,求異面直線BA1與AC所成角的余弦值.空間向量的數量積運算人教A版高中數學選修第一冊課件空間向量的數量積運算人教A版高中數學選修第一冊課件探究一探究二探究三探究四素養形成當堂檢測空間向量的數量積運算人教A版高中數學選修第一冊課件空間向量的數量積運算人教A版高中數學選修第一冊課件探究一探究二探究三探究四素養形成當堂檢測【答題模板】

第1步:確定兩兩垂直的向量,把待求直線看作向量,用相關向量表示.?第2步:計算直線BA1與AC對應向量的數量積.?第3步:利用數量積公式計算兩個向量夾角的余弦值.?第4步:將兩向量夾角的余弦值轉化為兩直線夾角的余弦值.空間向量的數量積運算人教A版高中數學選修第一冊課件空間向量的數量積運算人教A版高中數學選修第一冊課件探究一探究二探究三探究四素養形成當堂檢測失誤警示通過閱卷統計分析,發現造成失分的原因主要如下:(1)解題時忽視條件∠ABC=90°,從而得不出兩兩垂直的向量;空間向量的數量積運算人教A版高中數學選修第一冊課件空間向量的數量積運算人教A版高中數學選修第一冊課件探究一探究二探究三探究四素養形成當堂檢測1.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,下列各對向量夾角為45°的是(

)答案:A

解析:四個選項中兩個向量的夾角依次是45°,135°,90°,180°,故選A