..PAGE4.v.對策與決策模型古人云：“世事如棋。〞人生就像下棋一樣，每天都要面對許多的對策與決策問題。有些是生活瑣事的對策與決策，如要不要買你看中的一件商品；今天中午你點(diǎn)什么菜，喝什么酒？有些那么可能是決定你命運(yùn)的重大事情的對策與決策，如高考填志愿你該填什么學(xué)校，什么專業(yè)？許多人在競爭某一職位，你應(yīng)當(dāng)怎樣做才能最好的表現(xiàn)自己，使自己脫穎而出？等等，等等。對策與決策問題都要求你面對幾種方案做出選擇，不同之處在于遇到對策問題時(shí)，你面對的是一個或幾個與你一樣可以可以選擇行動方案的對手；而遇到?jīng)Q策問題時(shí)那么不然，你面對的并非一些對手，而是將來會出現(xiàn)的幾種可能結(jié)果，它們雖不會成心為難你〔即不會和你博弈〕，但你一般卻不知道終究哪一種結(jié)果會真正出現(xiàn)。當(dāng)然，兩類問題也有一定的聯(lián)系，不必分得過于清楚。例如，在某些情況下，如果我們把可能出現(xiàn)的假設(shè)干種情況看成是競爭對手可以采取的幾種策略，那么求解對策問題的方法也可以用來求解決策問題。對策問題對策論的思想早就有之，我國戰(zhàn)國時(shí)期的“田忌賽馬〞就是一例。傳說齊王欲與大將田忌賽馬，雙方約定每人挑選上、中、下三個等級的馬個一匹進(jìn)展比賽，每局賭局誒一千金。齊王同等級的馬均比田忌的馬略勝一籌，似乎必勝無疑。田忌的朋友X臏給他除了一個主意，讓他用下等馬對齊王的上等馬，上等馬對齊王的中等馬，中等馬對齊王的下等馬，結(jié)果田忌兩勝一敗，反而贏得了一千金。然而，對策論作為一門真正獨(dú)立的學(xué)科，其開展的歷史卻并不長遠(yuǎn)。1912年，策墨羅利用集合論思想研究下棋，發(fā)表了題為?關(guān)于集合論在象棋對策中的應(yīng)用?的論文。1928年與1937年著名美籍匈牙利科學(xué)家馮.諾伊曼和摩根斯藤合著了?對策論與經(jīng)濟(jì)行為?一書。這些研究成果被公認(rèn)為是對策論作為一門學(xué)科創(chuàng)立的標(biāo)志，他們引進(jìn)了嚴(yán)格的定義，構(gòu)建了對策論的理論框架，使對策論研究走上了系統(tǒng)化、公理化的道路。1950年，美國數(shù)學(xué)家納什將馮.諾伊曼等人的合作對策理論開展到非合作對策情況，提出了納什平衡點(diǎn)概念〔納什本人也因此而獲得了諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎〕。此后，對策論圍饒著納什平衡點(diǎn)這一核心問題開展，又有了新的重大突破。對策問題的參與者為利益相互沖突的各方，其結(jié)局不取決于其中任意一方的努力而是各方所采取的策略的綜合結(jié)果。終究什么是對策問題呢？讓我們先來考察兩個簡單的實(shí)例。例1〔囚犯的困惑〕警察同時(shí)逮捕了兩人，并將他們分別關(guān)押在兩處，逮捕的原因是他們持有大量偽幣。警方疑心他們偽造錢幣，但尚未找到充分的證據(jù)，希望他們能自己供認(rèn)。這兩個人都知道：如果他們雙方都不供認(rèn)，將被以持有和使用大量偽幣罪各判刑18個月；如果雙方都供認(rèn)偽造了錢幣，將因偽造錢幣罪各判刑3年；如果一方供認(rèn)另一方不供認(rèn)，那么供認(rèn)方將被從寬處理僅關(guān)押半年，但未供認(rèn)一方將被判刑7年。將嫌疑犯、被判刑的幾種可能情況如表一所示。表一嫌疑犯供認(rèn)不供認(rèn)嫌疑犯供認(rèn)不供認(rèn)〔3，3〕〔7，0.5〕〔0.5，7〕〔1.5，1.5〕表中每對數(shù)字表示嫌疑犯、被判刑的年數(shù)。讓我們來分析一下囚犯們會怎樣決策。囚犯也許會這樣想：假設(shè)招認(rèn)了，我如果不招認(rèn)會被判7年，但我也招認(rèn)的話只有3年；假設(shè)不招認(rèn)，我如果招認(rèn)判刑只有半年，而不招認(rèn)那么被判刑1.5年。也就是說，不管招認(rèn)還是不招認(rèn)，對來說，招認(rèn)都比不招認(rèn)要好。既然如此，除非是傻瓜，他肯定會采取招認(rèn)的策略。同樣道理，如果不是傻瓜，他也會這樣想，從而采取招認(rèn)的策略?？磥磉@一案件的最終結(jié)果一定是，、均供認(rèn)并各被判刑3年，不管他們真的有沒有偽造錢幣。由此可以看出，在這種情況下，過分的強(qiáng)調(diào)了坦白從寬、抗拒從嚴(yán)，即使不使用刑罰，也完全有可能制造冤案，這就是為什么法律界人士要再三強(qiáng)調(diào)量刑時(shí)應(yīng)當(dāng)重事實(shí)、重證據(jù)的原因之一。在上面這個簡單實(shí)例的分析中，我們其實(shí)已經(jīng)先驗(yàn)地做了一條假設(shè)：“防人之心不可無〞，不管對方怎么做，我們的策略應(yīng)當(dāng)保證我不會成為犧牲品。例如，假設(shè)、都不招認(rèn)，他們都只需服刑1.5年〔而不是3年〕?？墒请p方都會這樣想，憑什么我要相信對方，有什么對東西能保證對方不會出賣我呢？“囚徒的困惑〞是一個很知名的實(shí)例，它之所以知名是因?yàn)樗嵝蚜艘环N現(xiàn)象，即在自然狀態(tài)下，動物〔包括人〕是趨利避害的。假設(shè)你將一批猴子關(guān)進(jìn)籠子里并每天從中選出一只來殺掉，你只要稍加留意就會發(fā)現(xiàn)，在你選猴子的時(shí)候，猴子們非常緊X，一動都不敢動生怕引起你的注意，而當(dāng)你選中一只準(zhǔn)備殺時(shí)，被選中的猴子拼命掙扎，其余的猴子卻在籠子里幸災(zāi)樂禍的觀望，可能慶幸自己未被選中。不少人認(rèn)為，認(rèn)總是利己的，只要不出傷害別人就算是好人了〔經(jīng)濟(jì)學(xué)中將這種人稱為“理性人〞〕。其實(shí)不然，如果不崇尚奉獻(xiàn)精神，人人都事不關(guān)己高高掛起，人人都滿足于當(dāng)“理性人〞，就會對整個社會帶來災(zāi)難，最后也一定會殃及作為社會一員的個人。例如，我們經(jīng)?？吹接邢?bào)道，某處罪犯正在作案，旁觀看熱鬧的人不少，卻沒有人挺身而出去加以制止〔或只有很少的幾個見義勇為者〕，大概就是因?yàn)槭虏魂P(guān)己吧。這些人和關(guān)在籠子里的猴子沒有多大區(qū)別，他們的舉動其實(shí)在助長犯罪分子的威風(fēng)，如果每一個人都能挺身而出，罪犯的氣焰就不會這樣囂X了，敢于犯罪的人也就少了。例2〔商業(yè)競爭〕兩家生產(chǎn)一樣產(chǎn)品的工廠在競爭市場，甲廠擬定了三套行動方案，，，乙廠擬定了四套行動方案，，，。預(yù)測在甲廠采取方案，而乙廠采取方案時(shí)，甲已兩廠的市場盈利分別為〔，〕〔注：前者為甲廠盈利，后者為乙廠盈利〕。問兩廠各應(yīng)采取哪一種策略才能使本廠的盈利最大。在例2中，根據(jù)預(yù)測我們得到的其實(shí)是一個贏得“矩陣〞〔注：我們給矩陣兩字加了引號是因?yàn)?，?yán)格地講，它并不是矩陣，因?yàn)槠涿恳粋€元素是一個向量而不是一個數(shù)〕：分析上面兩個對策問題的實(shí)例，我們可以發(fā)現(xiàn)一些共同的規(guī)律。對策問題的根本要素給定一個對策問題的實(shí)例必須給定以下信息：〔1〕局中人。參加對策的各方被稱為決策問題的局中人，一個對策問題可以包含兩名局中人〔如棋類比賽等〕，也可以包含多于兩名局中人〔如大多數(shù)商業(yè)中的競爭、政治派別間的斗爭等〕。每一局中人都必須擁有可供其選擇并能影響最終結(jié)局的策略，在例1中，局中人是、兩名疑犯，警方不是局中人。兩名疑犯最終被如何判刑取決于他們各自采取的態(tài)度，警方不能為他們做出選擇?！?〕策略集合。局中人能采取的可行方案稱為策略，每一局中人存在著一個策略集合，而每一策略集合中至少要有兩個策略，否那么該局中人可從此對策問題中刪去，因?yàn)閷λ麃碇v，不存在選擇策略的余地。應(yīng)當(dāng)注意的是，所謂策略是指在整個競爭過程中對付他方的完整方法，而并非指競爭過程中某步所采取的具體局部方法。例如，下棋中的某一步只能看作一個完整策略的組成局部，而不能看成一個完整的策略。當(dāng)然，有時(shí)可將它看成一個多階段對策中的子對策。策略集合可以是有限集也可以是無限集。策略集合為有限集時(shí)被稱為有限對策，否那么被稱為無限對策?！?〕贏得函數(shù)〔或稱支付函數(shù)〕。記局中人的策略集合為。當(dāng)對策問題的各方都從各自的策略集合中選定了一個策略后，各方采取的策略全體可用一個矢量表示，稱之為一個純局勢〔簡稱局勢〕。例如，假設(shè)一個對策問題中包含著、兩名局中人，其策略集合分別為，。假設(shè)選擇策略，而選擇策略，那么就構(gòu)成此策略的一個純局勢。顯然，與一共可構(gòu)成個純局勢，它們構(gòu)成了表二。對策問題的全體純局勢構(gòu)成的集合稱為此對策問題的局勢集合。表二的策略12……的策略1……2……………………對策的結(jié)果用矢量表示，稱之為贏得函數(shù)。贏得函數(shù)是定義在局勢集合上的失值函數(shù)，對于中的每一純局勢，指出了每一局中人在此對策結(jié)果下應(yīng)贏得〔或支付〕的值。綜上所述，一個對策模型由局中人、策略集合喝贏得函數(shù)三局部組成。記局中人集合為，對每一，有一策略集合，當(dāng)中每一局中人選定策略后得一個局勢；將代入贏得函數(shù)，即得一矢量，其中為在局勢下局中人的贏得〔或支付〕。本節(jié)討論只有兩名局中人的對策問題，即兩人對策，其結(jié)果可以被推廣到一般的對策模型中去。對于只有兩名局中人的對策問題，其局勢集合和贏得函數(shù)均可用表格表示。例如，表二就給出了一般兩人對策問題的局勢集合喝贏得函數(shù)。零和對策存在一類特特殊的對策問題。在這類對策問題中，當(dāng)純局勢確定后，之所得恰為之所失，或之所失恰為之所得，即雙方所得之和總為零，這樣的對策問題被稱為零和對策問題。在零和對策中，因，故只需指出其中一人的贏得值即可，此時(shí)，贏得函數(shù)可用真正的贏得矩陣來表示。例如假設(shè)有中策略，有種策略，贏得矩陣可寫成的元素表示假設(shè)選取策略而選取策略，那么之所得為〔當(dāng)時(shí)為為支付〕。在有些兩人對策的贏得表中，之所得并非明顯為之所失，但雙方贏得數(shù)之和為一常數(shù)。例如在表三中，無論，怎樣選取策略，雙方贏得總和均為10，此時(shí)，假設(shè)將各人贏得數(shù)減去兩人的平均贏得數(shù)，即可將贏得表化為零和贏得表。表三中的對策在轉(zhuǎn)化為零和對策后，具有贏得矩陣.表三局中人123局中人1〔8，2〕〔1，9〕〔7，3〕2〔4，6〕〔9，1〕〔3，7〕3〔2，8〕〔6，4〕〔8，2〕4〔6，4〕〔4，6〕〔6，4〕綜上所述可知，要給定一個兩人零和對策只需給出局中人，的策略集合、及表示贏得值的贏得矩陣。當(dāng)遇到零和對策或可轉(zhuǎn)化為零和對策的問題時(shí)，可用通常意義下的矩陣表示，否那么中的元素為一個兩維矢量。故兩人對策又被稱為矩陣對策并可簡記為例3給定一個零和對策，其中，〔1〕零和對策不存在合作根底，之所得即之所失，故在求解兩人零和對策時(shí)只能根據(jù)利己原那么。從中可以看出，假設(shè)希望獲得最大盈利30，需采取策略，但此時(shí)假設(shè)采取策略，非但得不到30，反而會失去22。此時(shí)任何一方都不應(yīng)當(dāng)抱有幸運(yùn)心理，根據(jù)利己原那么，雙方都應(yīng)考慮到對方為了使自己能獲得最大利益，都有使對手遭受最大損失的動機(jī)，為穩(wěn)妥起見，應(yīng)當(dāng)從最壞的可能中去爭取最好的結(jié)果。局中人采取策略，，時(shí)，最壞的贏得結(jié)果分別為；；如果采取策略，無論采取什么策略，的贏得均不會少于2.采取各方案的最大損失為；；；而當(dāng)，當(dāng)采取策略時(shí)，其損失不會超過2。注意到在贏得矩陣中，2即是所在行中的最小元素又是所在列中的最大元素。此時(shí)，只要雙方不改變策略，任一局中人都不可能通過僅變換自己的策略來增大贏得或減小損失。我們稱這樣的局勢為對策問題的一個純局勢，亦稱之為穩(wěn)定點(diǎn)或穩(wěn)定解〔注：又稱之為鞍點(diǎn)〕。定義1〔對策的下值與上值〕稱為矩陣對策的下值〔又稱之為最大最小值〕，稱為矩陣對策的上值〔又稱之為最小最大值〕。定理1對任一矩陣對策問題，有。證明：顯然對每一個，有，同樣，對每一個，有，由和的任意性可知：，證畢。定義2對于兩人對策，假設(shè)有，那么稱具有穩(wěn)定解，并稱為對策問題的值。如果純局勢使得，那么稱為對策問題的鞍點(diǎn)或穩(wěn)定解，贏得矩陣中與相對應(yīng)的元素那么被稱為贏得矩陣的鞍點(diǎn)，與分別被稱為局中人與的最優(yōu)策略。對〔1〕式中的贏得矩陣，容易發(fā)現(xiàn)不存在具有上述性質(zhì)的鞍點(diǎn)。給定一個對策，如何判斷它是否具有鞍點(diǎn)呢？為了答復(fù)這一問題，先引入下面的極大極小原理。定理2設(shè)，記，，那么必有。證明，易見為的最小贏得，為的最小贏得，由于是零和對策，故。定理3零和對策具有穩(wěn)定解的充要條件為。證明〔充分性〕由和的定義可知，存在一行〔例如行〕，為行中的最小元素且存在一列〔例如列〕，為列中的最大元素。故有且，又因，所以，從而得出，為贏得矩陣的鞍點(diǎn)，為的穩(wěn)定解?！脖匾浴臣僭O(shè)具有穩(wěn)定解，那么為贏得矩陣的鞍點(diǎn)。故有從而可得。但根據(jù)定理2，比成立，故必有，證畢。上述定理給出了對策問題有穩(wěn)定解〔簡稱為解〕的充要條件。當(dāng)對策問題有解時(shí)，其解可以不唯一。例4考察下面的兩人對策問題：由于，故本例有鞍點(diǎn)。不難看出，鞍點(diǎn)不止一個，它們?yōu)?，。定?對策問題的解就有以下性質(zhì)：無差異性。假設(shè)與同為對策的解，那么必有?？山粨Q性。假設(shè)與均為對策的解，那么必有和也必為的解。例5研究下面的兩人對策問題：易見，，，，此兩人對策問題具有鞍點(diǎn)。，，，均為此對策問題的鞍點(diǎn)，定理4成立。具有穩(wěn)定解的零和對策問題是一類特別簡單的對策問題，它所對應(yīng)的贏得矩陣存在鞍點(diǎn)，任一局中人都不可能通過自己單方面的努力來改良結(jié)果。然而，在實(shí)際問題遇到的零和對策中更典型的是的情況〔有定理1，此時(shí)必有〕。由于贏得矩陣中不存在鞍點(diǎn)，至少存在一名局中人，在他單方面改變策略的情況下，有可能改善自己的收益。這類不存在鞍點(diǎn)的決策如果只進(jìn)展一次，局中人除了碰運(yùn)氣以外別無方法。但如果這類決策要反復(fù)進(jìn)展屢次，那么局中人固定采用一種策略顯然是不明智的，因?yàn)橐坏κ挚闯瞿銜捎檬裁床呗?，他將會采用對自己最為有利的策略使自己獲得好處〔例如，在石頭、剪刀、布的游戲中，如果某方固定地采用同一種策略，那么失敗的必然是他〕。這時(shí)，局中人均應(yīng)根據(jù)某種概率來選用各種策略，即采用混合策略的方法，使自己的期望收益盡可能大。所謂混合策略是指一個概率向量，即，，決策者以概率取策略。顯然，純策略是混合策略的特殊情況，當(dāng)某一取1，而其余均取0時(shí)，該概率向量對應(yīng)的就是一個純策略?，F(xiàn)設(shè)有個策略，有個策略：：策略，，概率，，：策略，，概率，，分別稱與為方和方的混合策略。即方用概率選用策略，方用概率選用策略，，且雙方每次選用什么策略是隨機(jī)的，不能讓對方看出規(guī)律。記，，那么的期望贏得為其中，為方的贏得矩陣。局中人希望越大越好，與有鞍點(diǎn)的對策問題相似，希望獲得對策值同樣，局中人也會選擇，使得其損失的值最小，即到達(dá)對于需要使用混合策略的對策問題，也具有穩(wěn)定解的對策問題的類似結(jié)果。定義3假設(shè)存在維概率向量和維概率向量，使得對一切維概率向量和維概率向量有那么稱為混合策略對策問題的鞍點(diǎn)，并稱為此矩陣對策的值。1928年，馮.諾伊曼證明了下面的對策論根本定理。定理5任意混合策略對策問題必定存在鞍點(diǎn)，即存在概率向量和，使得即有成立。使用純策略的對策問題〔具有穩(wěn)定解的對策問題〕的鞍點(diǎn)是使用混合策略的對策問題的特殊情況，此時(shí)雙方均以概率1選取其中的某一策略，以概率0選取其余策略。對于對策問題的解，同樣可以證明定理6設(shè)是對策問題的解，那么必有對一切，成立。此外，與純策略的鞍點(diǎn)一樣，混合策略的鞍點(diǎn)也可以不唯一，并同樣有可交換性，即如果，是鞍點(diǎn)，那么，也一定是鞍點(diǎn)。且在所有的鞍點(diǎn)處，對策的值均相等。有時(shí)，對策問題中的策略間可以存在所謂的超優(yōu)性，利用這些超優(yōu)性可以化簡相應(yīng)的對策問題。定義4對于贏得矩陣，如果對所有，均成立，且至少存在一個使得，那么稱行優(yōu)于行〔局中人的策略優(yōu)于〕。同樣，如對一切有，且至少有一個，使得，那么稱列優(yōu)于列〔局中人的策略優(yōu)于〕。易見，假設(shè)一個對策矩陣的第行優(yōu)于第行，那么無論局中人選擇哪種策略，局中人采取策略的獲利總優(yōu)于〔至少不次于〕采取策略的獲利。定理7對于矩陣對策，假設(shè)矩陣的某行優(yōu)于第，，行，那么局中人在選取最優(yōu)策略時(shí)，必取，。令，為從中劃去第，，行后剩下的矩陣，那么的最優(yōu)策略即原對策的最優(yōu)策略，對于中列的最優(yōu)關(guān)系也有類似的結(jié)果。理由這一定理，有時(shí)對策問題可先進(jìn)展化簡，降低矩陣的階數(shù)，從而簡化求解。例6考察對策問題，其贏得矩陣為易見，對來說，策略3絕不會比策略1差。既然如此，自然沒有必要采取策略1。因此，我們可以從贏得矩陣中劃去策略1，這樣做絕不會影響的獲利。這樣，此對策問題的贏得矩陣可簡化為在新的對策問題中，局中人的策略3與策略4的結(jié)果完全一樣，可以任一劃去一個而不影響結(jié)果，。例如，我們劃去策略4。此外，也不會采用策略1，因?yàn)閷λ麃碚f，策略1顯然沒有策略3好。這樣一來，對策問題的贏得矩陣就被簡化為顯然，化簡后的對策問題要比原先的對策問題簡單的多，根據(jù)對稱性，我們甚至不用求解即可看出最優(yōu)解應(yīng)當(dāng)為從而，原對策的最優(yōu)解為，不難發(fā)現(xiàn)，上述簡化方法可應(yīng)用與較方便地求到一個對策問題的解，但不排斥其他解的存在，例如，將改成，得到的同樣也是原對策問題的解。定理8設(shè)是矩陣對策的贏得矩陣，是此對策的值，那么〔1〕是局中人的最優(yōu)混合策略的充分必要條件為，〔2〕〔2〕是局中人的最優(yōu)混合策略的充分必要條件為，〔3〕證明〔1〕和〔2〕的證明類似，我們只證明〔1〕。必要性顯然，只需證明充分性。設(shè)〔2〕式成立，假定此矩陣對策的鞍點(diǎn)為，由鞍點(diǎn)定義，必有現(xiàn)證明是的最優(yōu)策略。任取局中人的一個混合策略，在〔2〕式兩邊同乘以，并關(guān)于從1到相加，并注意到，可得由的任意性，即可得出〔4〕另一方面，由鞍點(diǎn)定義，必有〔5〕與〔5〕說明也是對策的鞍點(diǎn)，從而，也是的最優(yōu)策略。根據(jù)定理5，任何矩陣對策問題都是有解的，雖然很可能是混合策略。但要求得其解仍需動些腦筋。下面我們會看到，求解一般的矩陣對策問題常常需要解一個人線性規(guī)劃，但對一些較為特殊的情況，有時(shí)也可采用其他的方法。例如，對于的對策問題，就可以采用圖解法加以求解?！簿仃嚨膸缀谓夥ā匙屛覀兿葋砜匆粋€簡單實(shí)例：例7、為作戰(zhàn)雙方，方擬派兩架轟炸機(jī)Ⅰ和Ⅱ去轟炸方的指揮部，轟炸機(jī)Ⅰ在前面飛行，Ⅱ隨后。兩架轟炸機(jī)中只有一架帶有炸彈，而另一架僅為護(hù)航。轟炸機(jī)飛至方上空，受到方戰(zhàn)斗機(jī)的阻擊。假設(shè)戰(zhàn)斗機(jī)阻擊Ⅱ，它僅受Ⅱ的射擊，被幾擊中的概率為0.3〔Ⅰ來不及返回設(shè)射擊它〕。假設(shè)戰(zhàn)斗機(jī)阻擊Ⅰ，它將同時(shí)受到兩架轟炸機(jī)的射擊，被擊中的概率為0.7.一旦戰(zhàn)斗機(jī)未被擊落，它將以0.6的概率擊毀其選中的轟炸機(jī)。請為、雙方個選擇一個最優(yōu)策略，即：對于方應(yīng)選擇哪一架轟炸機(jī)裝載炸彈？對于方戰(zhàn)斗機(jī)應(yīng)阻擊哪一架轟炸機(jī)？解先用分析方法來討論一下這一實(shí)例。雙方可選擇的策略集分別為，：轟炸機(jī)Ⅰ裝炸彈，Ⅱ護(hù)航：轟炸機(jī)Ⅱ裝炸彈，Ⅰ護(hù)航，：阻擊轟炸機(jī)Ⅰ：阻擊轟炸機(jī)Ⅱ贏得矩陣，為方采取策略而方采取策略時(shí)，轟炸機(jī)轟炸方指揮部的概率，由題意可計(jì)算出：即易求得，，。由于，矩陣不存在鞍點(diǎn)，應(yīng)當(dāng)求最正確混合策略?，F(xiàn)設(shè)以概率取策略、概率取策略；以概率取策略、概率取策略。先從方來考慮問題。采用時(shí)，方轟炸機(jī)攻擊指揮部的概率的期望值為；而采用時(shí)，方轟炸機(jī)攻擊指揮部的概率的期望值為。假設(shè)，不妨設(shè)，那么方必采用以減少指揮部被轟炸的概率。故對方選取的最正確概率和，必滿足即由此解得，。同樣，可從方考慮問題，得即解得，。方指揮部轟炸的概率的期望值。此題也可以用幾何方式來求解。在軸上取長度為1的線段，左端點(diǎn)為，右端點(diǎn)為。過和各作軸的垂線，稱之為軸Ⅰ和軸Ⅱ。在軸Ⅰ上取、，它們到軸的距離分別為和，表示在采取策略〔即〕時(shí)在方分別采取策略和下的贏得，如圖1所示。圖1現(xiàn)設(shè)以概率采取策略，假設(shè)采取策略，那么的期望贏得為。對應(yīng)的不同取值，恰好構(gòu)成連接兩個的直線段。類似的地，連接兩個的直線段恰好對應(yīng)當(dāng)取而以概率采取策略時(shí)的贏得。設(shè)兩直線段相交于，并設(shè)對應(yīng)于。假設(shè)以小于的取策略，那么可以采取使的期望贏得減?。环粗僭O(shè)，那么又可以采取而使的贏得減小。故的最正確混合策略為以概率取，以概率取〔注：的最正確混合策略可類似用幾何方法求得〕。借助于幾何方法也可以解或的混合策略的對策。但當(dāng)且時(shí)，采用幾何方法求解就變得非常麻煩。根據(jù)馮.諾伊曼的對策學(xué)根本定理，矩陣對策的解〔即鞍點(diǎn)〕必存在，關(guān)鍵在于要找到尋求鞍點(diǎn)的較好方法。即要找到方法來尋找點(diǎn)，使得，，成立。1951年，Dantzig與Kuhn、Tucher等人指出，兩人零和問題的求解等價(jià)于解線性規(guī)劃，從而發(fā)現(xiàn)了求解兩人零和對策問題的有效方法。其根本原理如下：根據(jù)定理8，是矩陣對策的鞍點(diǎn)的充要條件為且其中。不妨設(shè)，作變換，，那么〔這種變換是標(biāo)準(zhǔn)化方法，目的是去掉變量，解題時(shí)也可以不作這種標(biāo)準(zhǔn)化處理〕。為方便起見，仍用記，記，于是，對局中人，其目的為尋找使得盡可能地大，故其要求求解的問題為〔6〕同理，局中人要求求解的問題為〔7〕〔6〕與〔7〕均為線性規(guī)劃，故為了求得最優(yōu)策略，局中人、均需求解線性規(guī)劃。順便指出，線性規(guī)劃問題〔6〕與〔7〕是一對對偶規(guī)劃，它們之間存在著極為密切的聯(lián)系。例如，這兩個線性規(guī)劃事實(shí)上只需求解其中之一即可，另一個的解可以十分方便地通過線性規(guī)劃的對偶理論導(dǎo)出，沒有必要再行求解。看下面的兩人零和對策問題：設(shè)矩陣對策的贏得矩陣為，，，不存在鞍點(diǎn)對局中人來說，需求解的線性規(guī)劃為其最優(yōu)解為，，，，故局中人的最優(yōu)策略為對局中人來說，需求解的線性規(guī)劃為其解為，，，〔注意成立〕，故局中人的最優(yōu)策略為以上方法是在的假設(shè)條件下得出的，當(dāng)此條件不成立時(shí)可對矩陣的每一元素加一個常數(shù)使成立，此時(shí)兩個對策問題有一樣的最優(yōu)混合策略，對策值之間的關(guān)系是。當(dāng)然，矩陣對策和矩陣對策也可用線性規(guī)劃來求解，例如，對前面討論過的例7，我們可求線性規(guī)劃同樣可得的最優(yōu)混合策略為，。類似求解線性規(guī)劃也可得方最優(yōu)混合策略：，。非零和對策除了零和對策外，還存在另一類對策問題，局中人獲利之和并非常數(shù)。例9現(xiàn)有一對策問題，雙方獲利情況見表四。、表四方方1231234〔8，2〕〔3，4〕〔1，6〕〔4，2〕〔0，9〕〔9，0〕〔6，2〕〔4，6〕〔7，3〕〔2，7〕〔8，1〕〔5，1〕假設(shè)、雙方仍采用穩(wěn)妥的方法，發(fā)現(xiàn)如果采取策略4，那么至少可獲利4，而發(fā)現(xiàn)如果采取策略1，那么至少可獲利2。因而，這種求穩(wěn)妥的想法將導(dǎo)致出現(xiàn)局勢〔４，２〕。容易看出，從整體來說，上述結(jié)果并不是最好的，因?yàn)殡p方的總獲利有可能到達(dá)１０。不難知道，依靠單方面的努力不一定能收到良好的效果。看來，對這一對策問題，雙方最好還是握手言和，相互配合，先取得總體上的最大獲利，然后再按照某一個雙方均認(rèn)為較為合理的方式來分享這一已經(jīng)獲利的最大獲利。例９說明，總獲利數(shù)并非常數(shù)的對策問題〔即不能轉(zhuǎn)化為零和對策的問題〕，是一類存在著合作根底的對策問題。當(dāng)然，這里還存在著一個留待解決而又十分關(guān)鍵的問題：如何分享總獲利，如果不能到達(dá)一個雙方〔或各方〕都能承受的“公平〞的分配原那么，那么合作仍然不可能實(shí)現(xiàn)。怎樣建立一個“公平〞的分配原那么是一個較為困難的問題。例１０〔防坦克地雷場的布設(shè)〕實(shí)戰(zhàn)中，攻方為了增強(qiáng)攻擊力，大量使用攻擊力強(qiáng)、防御鞏固的坦克；守衛(wèi)為了抵御對方攻擊，需要有殺傷敵方的有效手段，較好的對策之一是布設(shè)防坦克地雷場。1分析評價(jià)防坦克地雷場的重要指標(biāo)是戰(zhàn)斗效力，而布雷密度是根本因素之一。只要有足夠多的地雷，用較高密度的地雷場對付敵方進(jìn)攻總是行之有效的。但在實(shí)際戰(zhàn)斗中，地雷不太可能是足夠多的〔因?yàn)榭偸窃蕉嘣胶谩场，F(xiàn)假設(shè)：防坦克地雷數(shù)量有限；通過偵察、分析，敵方可能采用，，，進(jìn)攻策略之一；〔3〕通過敵情分析，確定了防御正面的寬度，并根據(jù)我方地雷數(shù)量，設(shè)計(jì)了，，，種布雷方案。問采取哪一種方案或什么樣的混合策略能有效擊毀敵方的坦克？本例在過去一般是憑借指揮員的作戰(zhàn)經(jīng)歷定性決定的，現(xiàn)用矩陣對策方法進(jìn)展定量擇優(yōu)。由于平安性原因，每兩輛坦克之間一般要保持50米的間距，因而進(jìn)攻正面拉地很寬，如一個梯隊(duì)20兩坦克，進(jìn)攻正面約為1千米寬。因?yàn)橹挥杏邢薅鄠€防御正面，用有限個進(jìn)攻策略來描述敵方的進(jìn)攻狀態(tài)是非常接近實(shí)際情況的。對對方來講，布雷密度通常可分成0.5，1，1，5.2等有限多個等級。按常規(guī)做法，在防御正面上一般采用同一種技術(shù)密度。為了提高殺傷率，現(xiàn)將一個防御正面分成幾段，各段允許采用不同密度。2對策要用矩陣對策決策，關(guān)鍵問題是如何列出守方的贏得矩陣。由效率評定試驗(yàn)可得出在各種布雷密度下的殺傷率表，如表五所示。表五布雷密度0.511.52殺傷率0.640.870.950.98根據(jù)上表，在確定方案后即可根據(jù)各段不同密度針對敵方的進(jìn)攻策略計(jì)算出坦克的殺傷率。為了便于理解，作為實(shí)例分析下面兩種情況：情況1設(shè)守方只有1500個防坦克地雷，欲布設(shè)在攻方必經(jīng)的2千米攻擊正面上。攻方一個坦克梯隊(duì)的20輛坦克展開成1千米寬的陣面，但既可能從左側(cè)進(jìn)攻〔策略〕也可能從右側(cè)進(jìn)攻〔策略〕。守方設(shè)計(jì)了三種布雷方案，，，〔圖2〕。試求守方的贏得矩陣和最優(yōu)策略。圖2容易求得守方的贏得矩陣為這是一個有鞍點(diǎn)的矩陣，鞍點(diǎn)為。守方只要按方案布雷，那么不管攻方從哪一側(cè)進(jìn)攻，總可毀傷對方47.5%的坦克。情況2攻方一梯隊(duì)20輛坦克可從左側(cè)〔〕、中路〔〕或右翼〔〕進(jìn)攻，展開成1千米布陣。守方只有2000個防坦克地雷，初步提出三種布雷方案，如圖3所示。試求守方采用何種布雷方案較好。圖3對情況2，可求得守方的贏得矩陣為此時(shí)，矩陣中不存在鞍點(diǎn)，對策無穩(wěn)定解，應(yīng)采用混合策略?？梢郧蟮?，此時(shí)守方如按照0.166，0.456，0.378的比例采取策略，，布雷，平均可毀傷對方大約83.5%的坦克。從本例中看出，在決策問題里，策略的設(shè)計(jì)至關(guān)重要，它直接影響到贏得矩陣。策略的設(shè)計(jì)并沒有包含在決策問題的求解中。事實(shí)上，僅當(dāng)策略設(shè)計(jì)完成后，即策略集合給定后，決策問題才被給定，從而才能被求解。因而，在用對策論方法研究實(shí)際課題時(shí)，應(yīng)當(dāng)特特別注意策略的設(shè)計(jì)。這一局部工作既具有一定的創(chuàng)造性又在很大程度上影響到結(jié)果，對它研究也是十分有趣的。玫瑰有約問題一、問題的提出目前，許多城市大齡青年的婚姻問題已引起了婦聯(lián)、工會和社會團(tuán)體組織的關(guān)注。某單位現(xiàn)有20對大齡青年男女，每個人的根本條件都不一樣，如外貌、性格、氣質(zhì)、事業(yè)、財(cái)富等。每項(xiàng)條件通?？梢苑譃槲鍌€等級A、B、C、D、E，如外貌、性格、氣質(zhì)、事業(yè)可分為很好、好、較好、一般、差；財(cái)富可分為很多、多、較多、一般、少。每個人的擇偶條件也不盡一樣，即對每項(xiàng)根本條件的要求是不同的。該單位擬根據(jù)他〔她〕們的年齡、根本條件和要求條件進(jìn)展?fàn)烤€搭橋。下面給出20對大齡青年男女的年齡、五項(xiàng)根本條件和要求條件〔如表1和表2〕。一般認(rèn)為，男青年至多比女青年大5歲，或女青年至多比男青年大2歲，并且要至少滿足個人要求5項(xiàng)條件中的2項(xiàng)，才有可能配對成功。該單位希望根據(jù)每個人的情況和要求，建立數(shù)學(xué)模型解決以下問題：〔1〕在盡量滿足個人要求的條件下，給出一種最正確的配對方案，并使得配對成功率盡可能的高；〔2〕給出一種20對男女青年可同時(shí)配對的最正確方案，使得全部配對成功的可能性最大；〔3〕如果20對男女青年雙方都相互了解了對方的條件和要求，讓每個人做出一次選擇，只有當(dāng)男女雙方相互選中對方時(shí)才認(rèn)為能夠配對成功，每人只有一次選擇時(shí)機(jī)。請問20對男女青年應(yīng)該如何選擇，使得自己配對成功的可能性最大？按你的選擇方案最多能配對成功多少對？表1男青年的根本條件和要求條件男青年根本條件要求條件外貌性格氣質(zhì)事業(yè)財(cái)富年齡外貌性格氣質(zhì)事業(yè)財(cái)富ACBCA29AACBDCABAD29BABBCBBABB28BAABCCABBD28CABCDDBCAA30CBBBECBCBB28BBCDCABBDC30CBBDCBABCD30ABCCDADCEB28AAACCDBAAA28ABADEBACDA32ABCDBABCAB29BABBCBADEC28ACBBCAABBD30ACCDCABBCC28AABCBDEBAA30AAAEEBABAD28BABBCABACB31BBACCCDAAA29ABAEDABCDE27BCBDB表2女青年的根本條件和要求條件女青年根本條件要求條件外貌性格氣質(zhì)事業(yè)財(cái)富年齡外貌性格氣質(zhì)事業(yè)財(cái)富ACCDA28BABADBABAD25CBBABCBAEA26BACBCABBCD27AABBABDCEC25ABCBBACBCA26BABBCDCBAB30CBAACABAEC31BABABAAACE26CBBBABCDBB27BBAACABBCB28CBABCBECEA26AABBEEACBB26CABCCBBCAA25BAABDCBAAC29BABBBBACDC28BABBAAEEDA25AADACAABBC28CABACBACCE25BBBAADBACD29BBABB注：表中的要求條件一般是指不低于所給的條件二、問題的分析該問題是現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)際問題，主要就是確定合理配對方案，使得在盡量滿足個人要求的條件下，使配對成功率盡可能高。由于每個人的根本條件和要求都是給定的，雙方彼此是知道的，而且相互之間有很大的差異，如果完全按照要求條件來組合配對，那么其成功的可能性是很小的。一對男女能否配對成功，主要是取決于相互之間的好感的程度——“滿意度〞，單方面的高滿意度也不一定能配對成功。任意一對男女的配對可以看成一個隨機(jī)事件，按某一概率可能配對成功，或不成功。在這里雙方的滿意度主要反映出了一個人對另一個人的客觀和主觀的看法，因此，滿意度的定義成為解決問題的一個關(guān)鍵。所謂的“成功率〞，就是男女雙方最終配對成功的概率。實(shí)際上，可以用他們相互之間的滿意度來間接刻畫。相互的滿意度越高，雙方配對成功的概率就越大。對于問題〔1〕，要使配對成功率盡可能的高，也就是給出一種方案，使得20對男女的配對后的滿意度之和最高。對于問題〔2〕，要使20對男女青年同時(shí)配對，使得全部同時(shí)配對成功的可能性〔概率〕最大。對于問題〔3〕，因?yàn)槊總€人只能選擇一次，能否配對成功主要取決于雙方是否選中對方，即要看雙方彼此的滿意度如何。實(shí)際中，假設(shè)一個男青年對一個女青年的滿意度最高，但對的滿意度不一定最高，即假設(shè)選擇，但不一定選擇。因此與不一定能配成對，反之亦然?，F(xiàn)在的問題是誰選誰，使配對成功的可能性最大呢？這個問題實(shí)際上是男女雙方在彼此根本了解的情況下，在保證自己一定滿意度的條件下做出自己的選擇，也需要猜想對方會做出什么的選擇。因此，這個問題可以轉(zhuǎn)化為男女雙方的對策問題，即轉(zhuǎn)化為求男女雙方的非零和對策的納什平衡點(diǎn)的問題。三、模型的假設(shè)與符號說明1.模型的假設(shè)〔1〕他們所給出的男女青年的評價(jià)是客觀真實(shí)的；〔2〕每個人在選擇對方時(shí)都是理智的；〔3〕五項(xiàng)條件在選擇對方時(shí)所起的作用是均等的。2.符號的約定與分別表示男青年與女青年，表示第個男青年與第個女青年配對時(shí)取值1，否那么為0；與分別表示第個女青年與男青年的第項(xiàng)根本條件的量化指標(biāo)；與分別表示第個女青年與男青年的第項(xiàng)要求條件的量化指標(biāo)；表示第個女青年對第個男青年的第項(xiàng)條件的滿意度；表示第個男青年對第個女青年的第項(xiàng)條件的滿意度；表示第個女青年對第個男青年的綜合滿意度；表示第個男青年對第個女青年的綜合滿意度；表示第個男青年與第個女青年的綜合相互滿意度；表示第個男青年與第個女青年配對成功的概率；表示所給方案的使配對成功的總概率；，表示所有男青年、女青年對異性青年的滿意度矩陣；表示男〔女〕青年的要求條件等級距離最高等級A的檔數(shù)；表示男〔女〕青年的根本條件等級高出對方所要求條件等級的檔數(shù)。其中；；。四、模型的準(zhǔn)備1.條件的量化處理對于每個人的外貌、性格、氣質(zhì)、事業(yè)和財(cái)富五項(xiàng)條件的五個等級A、B、C、D和E分別作量化處理，根據(jù)層次分析中關(guān)于條件等級差的度量標(biāo)準(zhǔn)，對A、B、C、D、E分別賦權(quán)值為9，7，5，3，1。于是根據(jù)表2和表3可以得到男女青年的根本條件量化矩陣和要求條件量化矩陣〔或稱權(quán)值矩陣〕分別記為(1)2.條件過濾由于問題是明確要求“男青年的年齡至多比女青年大5歲，而女青年的年齡至多比男青年大2歲〞，以及“至少滿足個人要求5項(xiàng)條件中的2項(xiàng)〞。在20對男女青年中所有可能的配對中，首先應(yīng)將不滿足這些根本條件的情況過濾掉。由〔1〕式用Mａｔｌａｂ編程進(jìn)展過濾可以過濾掉58對組合。3.滿意度確實(shí)定〔1〕對單項(xiàng)條件的滿意度要確定與第〔；〕項(xiàng)條件的滿意度。首先要注意到兩個事實(shí)：其一，如果的根本條件比的要求條件差的越多，那么對的第項(xiàng)條件的滿意度就越小，反之亦然。也就是說，如果一方的實(shí)際條件比對方期望〔要求〕的條件差距越大，那么對方對另一方失望就越大，即滿意度就越小。其二，如果的根本條件比的要求條件高，那么對的第項(xiàng)條件的滿意度就會增加，但增加不會太多。即當(dāng)一方的實(shí)際條件高于對方期望〔要求〕的條件時(shí)，那么對方對另一方的好感〔相對要求條件〕增加就不會太大。根據(jù)上面的兩個事實(shí)，先以女青年對男青年的第項(xiàng)條件的滿意度為例。假設(shè)的實(shí)際條件比的要求差，那么對該項(xiàng)指標(biāo)的滿意度將迅速減小，減小的速度一般會與的要求條件相差的檔數(shù)有關(guān)，二者會成一定的比例關(guān)系。當(dāng)?shù)膶?shí)際條件比的要求條件差的很大〔例如，三個檔次以上〕時(shí)，那么認(rèn)為對“失去信心〞，即滿意度為0。假設(shè)的實(shí)際條件比的要求條件還要好，那么對的這項(xiàng)條件的滿意度會略有增加，但增加的不會太大。根據(jù)實(shí)際情況，一般認(rèn)為如果男青年的條件到達(dá)女青年的要求條件時(shí)，那么，會以９０％的可能承受，此時(shí)即可以認(rèn)為對的第項(xiàng)條件滿意度＝0.9。下面首先給出對的第項(xiàng)條件滿意度的定義：〔2〕如果的第項(xiàng)條件的要求為，根據(jù)的第項(xiàng)的不同情況，對的第項(xiàng)條件的滿意度的取值如圖1。圖1的要求為時(shí)，對的滿意度同理定義對的第項(xiàng)條件的滿意度如下：〔3〕〔2〕綜合滿意度一對男女青年相互之間的綜合滿意度主要取決于對雙方的各項(xiàng)條件的滿意度和〔；〕。由假設(shè)，可定義男青年對女青年的綜合滿意度為〔4〕由〔1〕，〔3〕，〔4〕式計(jì)算可得到結(jié)果。同理，定義女青年對男青年的綜合滿意度為〔5〕由〔1〕，〔4〕，〔6〕式可以計(jì)算出結(jié)果?！?〕相互滿意度男青年與女青年的相互滿意度定義為經(jīng)過計(jì)算可得到男女青年相互之間的滿意度。五、模型的建立與求解問題〔1〕：關(guān)鍵問題的要求，欲使得在盡量滿足個人要求的條件下，使配對成功率盡可能的高。事實(shí)上，我們可以用20對男女青年的滿意度指標(biāo)之和來刻畫總的配對成功的成功率，于是我們將問題歸結(jié)為所有20對男女青年如何配對能使得有最大值，即問題的模型為，ｓ．ｔ〔6〕這是一個0—1規(guī)劃問題，用匈牙利方法〔或LINGO軟件〕求解可得最優(yōu)配對方案如表3。最優(yōu)值〔總滿意度〕為。表3問題〔1〕的最優(yōu)配對方案男B1B2B3B4B5B6B7B8B9B10女G4G18G15G20G2G5G3G13G17G9滿意度0.84990.90950.88740.80160.89300.77770.83490.83600.64650.9327男B11B12B13B14B15B16B17B18B19B20女G16G10G7G1G6G19G14G11G8G12滿意度0.82960.82240.75680.92990.86740.77960.89720.90750.87840.7133問題〔2〕：要使20對男女青年同時(shí)配對，使得全部配對成功的可能性最大。記20對男女青年可同時(shí)配對成功的概率為，即問題為求由于，那么問題等價(jià)于求一個20對男女青年同時(shí)配對的方案使目標(biāo)函數(shù)有最大值，其約束條件與〔6〕式一樣。令，考慮相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù),約束條件不變，同理求解可得最優(yōu)的配對方案如表4，其最優(yōu)值為。表4問題〔2〕的最優(yōu)配對方案男B1B2B3B4B5B6B7B8B9B10女G2G18G6G14G19G5G3G13G11G20滿意度0.88120.90950.86120.86990.82230.77770.83490.83600.75770.8506男B11B12B13B14B15B16B17B18B19B20女G1G17G7G12G15G9G16G8G4G10滿意度0.84350.73390.75680.80750.83790.85010.81200.83980.85320.7259問題〔3〕：根據(jù)問題的分析可以建立該問題的對策模型。假設(shè)有兩個虛擬的局中人，男青年和女青年，其策略集分別為；；指標(biāo)集為；。局中人和局中人采用純策略和的贏得分別為對的滿意度和對的滿意度，于是可以得到二局中人的贏得競爭分別為和。因此，我們可以構(gòu)造出了一個二人非零和雙矩陣對策模型。按照每個人的條件量化的原那么，對于每個人來說，自己在每個異性心目中的地位——滿意度的大小都是可以估算出來的，即對策雙方的贏得矩陣是的。對策雙方不應(yīng)該追求自己的最高贏得，要保證配對成功率，只有選擇對策雙方都能承受的策略，即確保男女雙方相互選中對方，才是最理智的行為。于是，根據(jù)假設(shè)〔2〕，問題就是求對策的納什平衡點(diǎn)的問題了。所謂的納什平衡點(diǎn)：在對策，，中，假設(shè)有策略對，即，使得(7)那么稱為對策〔在純策略意義下〕的一個非合作的平衡點(diǎn)〔或納什平衡點(diǎn)〕。在這里我們就是求對策，；，，的納什平衡點(diǎn)，即意味著男青年和和女青年配對成功。按照〔7〕式所確定的算法，分部求平衡點(diǎn)，直到?jīng)]有純策略意義下的平衡點(diǎn)為止。編程實(shí)現(xiàn)求解，可以得到最正確的配對成功為10對，具體如表5。表5問題〔3〕的最優(yōu)配對方案男B1B3B5B10B12B14B15B17B18B19女G15G18G19G9G2G6G4G14G11G8滿意度0.85070.90990.82230.93270.88750.91750.84590.89720.90750.8784模糊數(shù)學(xué)方法模糊數(shù)學(xué)是研究和處理模糊現(xiàn)象的一種數(shù)學(xué)方法，它也同其他的學(xué)科一樣，主要是來源于實(shí)際的需要．在社會實(shí)踐中，模糊概念〔或現(xiàn)象〕無處不在．例如：在日常生活中的好與壞、大與小、厚與薄、快與慢、長與短、輕與重、高與低、貴與賤、軟與硬、深與淺、美與丑、黑與白、早與晚、生與熟、動與靜、窮與富、疏與密等等都包含著一定的模糊概念．隨著科學(xué)技術(shù)的開展，各學(xué)科領(lǐng)域?qū)εc這些模糊概念有關(guān)的實(shí)際問題往往都需要給出定量的分析，因此，這就要求人們研究和處理這些模糊概念〔或現(xiàn)象〕的數(shù)學(xué)方法．模糊數(shù)學(xué)是一個較新的現(xiàn)代應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)科，它是繼經(jīng)典數(shù)學(xué)、統(tǒng)計(jì)數(shù)學(xué)之后開展起來的一個新的數(shù)學(xué)學(xué)科．統(tǒng)計(jì)數(shù)學(xué)是將數(shù)學(xué)的應(yīng)用范圍從確定性的領(lǐng)域擴(kuò)大到了不確定性的領(lǐng)域，即從必然現(xiàn)象到偶然現(xiàn)象，而模糊數(shù)學(xué)那么是把數(shù)學(xué)的應(yīng)用范圍從確定性領(lǐng)域擴(kuò)大到了模糊領(lǐng)域，即從準(zhǔn)確現(xiàn)象到模糊現(xiàn)象．我們知道，在各學(xué)科領(lǐng)域中，所涉及的各種量總是可以分為確定性的和不確定性的兩大類，模糊數(shù)學(xué)就是研究屬于不確定性，而又具有模糊性的量變化規(guī)律的一種數(shù)學(xué)方法．實(shí)際中，我們處理現(xiàn)實(shí)對象的數(shù)學(xué)模型可以分為三大類：第一類是確定性的數(shù)學(xué)模型，即模型的背景具有確定性，對象之間具有必然的關(guān)系．第二類是隨機(jī)性的數(shù)學(xué)模型，即模型的背景具有隨機(jī)性和偶然性．第三類是模糊性模型，即模型的背景及關(guān)系都具有模糊性．我們這里所說的模糊數(shù)學(xué)建模方法就是針對實(shí)際中具有模糊性的問題，建立數(shù)學(xué)模型所需要的模糊數(shù)學(xué)的理論和知識．第一節(jié)模糊數(shù)學(xué)的根本概念1.1模糊集與隸屬函數(shù)1.模糊集與隸屬函數(shù)的概念一般來說，我們對通常集合的概念并不陌生，如果將所討論的對象限制在一定的范圍內(nèi)，并記所討論的對象全體構(gòu)成的集合為，稱之為論域，在此，總是假設(shè)問題的論域是非空的．如果是論域，那么的所有子集組成的集合稱為的冪集，記作．例如：，那么．為了與模糊集相區(qū)別，在這里稱通常的集合為普通集．對于論域的每一個元素和某一個子集，有或，二者有且僅有一個成立．于是，對于子集定義映射，即那么稱之為集合的特征函數(shù)，集合可以由特征函數(shù)唯一確定．所謂論域上的模糊集是指：對任意總以某個程度〔〕屬于，而非或．也可以將普通集的特征函數(shù)的概念推廣到模糊集，即模糊集的隸屬函數(shù)．定義1.1設(shè)是一個論域，如果給定了一個映射，，那么就確定了一個模糊集，其映射稱為模糊集的隸屬函數(shù)，稱為對模糊集的隸屬度．使的點(diǎn)稱為模糊集的過渡點(diǎn)，即是模糊性最大的點(diǎn)．對一個確定的論域可以有多個不同的模糊集，記上的模糊集的全體為，即，那么就是論域上的模糊冪集，顯然是一個普通集合，且.2.模糊集的表示法對于有限的論域，是上的任一個模糊集，其隸屬度為，那么模糊集的表示形式有〔1〕Zadeh表示法，這里“〞不是分?jǐn)?shù)，“+〞也不表示求和，只是符號，它表示點(diǎn)對模糊集的隸屬度是．〔2〕序偶表示法．〔3〕向量表示法．對于論域?yàn)闊o限集的情況，那么上的模糊集可以表示為，這里“〞不是積分號，“〞也不是分?jǐn)?shù)．3.模糊集的運(yùn)算模糊集與普通集有一樣的運(yùn)算和相應(yīng)的運(yùn)算規(guī)律．定義1.2設(shè)模糊集 ，其隸屬函數(shù)為，．〔1〕假設(shè)對任意，有，那么稱包含，記；〔2〕假設(shè)且，那么稱與相等，記為．定義1.3設(shè)模糊集，其隸屬函數(shù)為，，那么稱與為與的并集與交集；稱為的補(bǔ)集或余集．它們的隸屬函數(shù)分別為，，，其中“〞和“〞分別表示取大算子和取小算子．并和交運(yùn)算可以直接推廣到任意有限的情況，同時(shí)也滿足普通集的交換律、結(jié)合律、分配律等運(yùn)算．1.2隸屬函數(shù)確實(shí)定方法我們知道，模糊數(shù)學(xué)的根本思想是隸屬程度的思想．應(yīng)用模糊數(shù)學(xué)方法建立數(shù)學(xué)模型的關(guān)鍵上建立符合實(shí)際的隸屬函數(shù)．然而，如何確定一個模糊集的隸屬函數(shù)至今還是尚未完全解決的問題．這里僅介紹幾種常用確實(shí)定隸屬函數(shù)的方法．1.模糊統(tǒng)計(jì)方法模糊統(tǒng)計(jì)方法可以算是一種客觀方法，主要是基于模糊統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)的根底上根據(jù)隸屬度的客觀存在性來確定的．所謂的模糊統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)必須包含下面的四個要素：〔1〕論域；〔2〕中的一個固定元素；〔3〕中的一個隨機(jī)變動的集合〔普通集〕；〔4〕中的一個以作為彈性邊界的模糊集，對的變動起著制約作用．其中，或，致使對的隸屬關(guān)系是不確定的．假設(shè)我們做次模糊統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)，那么可計(jì)算出對的隸屬頻率＝．事實(shí)上，當(dāng)不斷增大時(shí)，隸屬頻率趨于穩(wěn)定，其頻率的穩(wěn)定值稱為對的隸屬度，即．2.指派方法指派方法是一種主觀的方法，它主要依據(jù)人們的實(shí)踐經(jīng)歷來確定某些模糊集隸屬函數(shù)的一種方法．如果模糊集定義在實(shí)數(shù)域上，那么模糊集的隸屬函數(shù)稱為模糊分布．所謂的指派方法就是根據(jù)問題的性質(zhì)主觀地選用某些形式的模糊分布，再依據(jù)實(shí)際測量數(shù)據(jù)確定其中所包含的參數(shù)．常用的模糊分布如表1表1常見的模糊分布〔〕偏小型〔〕中間型〔〕偏大型矩形分布梯形分布正態(tài)分布次拋物型分布型分布柯西型分布實(shí)際中，根據(jù)問題對研究對象的描述來選擇適當(dāng)?shù)哪：植迹⌒湍：植家话氵m合于描述像“小〞、“少〞、“淺〞、“淡〞、“疏〞、“青年〞等偏向小的程度的模糊現(xiàn)象．偏大型模糊分布一般適合于描述像“大〞、“多〞、“深〞、“濃〞、“熱〞、“密〞、“老年〞等偏向大的程度的模糊現(xiàn)象.而中間型模糊分布一般適合描述像“中〞、“適中〞、“不太多〞、“不太少〞、“不太深〞、“不太濃〞、“暖和〞、“中年〞等處于中間狀態(tài)的模糊現(xiàn)象．但這些方法所給出的隸屬函數(shù)都是近似的，應(yīng)用時(shí)需要對實(shí)際問題進(jìn)展分析，逐步地進(jìn)展修改完善，最后得到近似程度更好的隸屬函數(shù)．3.其他方法實(shí)際中，用來確定模糊集的隸屬函數(shù)的方法是多種多樣的，主要是根據(jù)問題的實(shí)際意義來確定．譬如，在經(jīng)濟(jì)管理、社會管理中，可以直接借助于已有的“客觀尺度〞作為模糊集的隸屬度。如果論域表示機(jī)器設(shè)備，在上定義模糊集“質(zhì)量穩(wěn)定〞，那么可用產(chǎn)品的“正品率〞作為的隸屬度．如果表示家庭，在上定義模糊集“家庭貧困〞，那么可以用Engel系數(shù)作為的隸屬度．另外，對于有些模糊集而言，直接給出隸屬度有時(shí)是很困難的，但可以利用所謂的“二元比照排序法〞來確定，即首先通過兩兩比擬確定兩個元素相應(yīng)隸屬度的大小排出順序，然后用數(shù)學(xué)方法加工處理得到所需要的隸屬函數(shù)．第二節(jié)模糊關(guān)系與模糊矩陣2.1模糊關(guān)系與模糊矩陣的概念定義2.1設(shè)論域、，那么稱乘積空間上的一個模糊子集為從到的模糊關(guān)系．如果的隸屬函數(shù)為，那么稱隸屬度為關(guān)于模糊關(guān)系的相關(guān)程度．由于模糊關(guān)系就是乘積空間上的一個模糊子集，因此，模糊關(guān)系同樣具有模糊集的運(yùn)算及性質(zhì)．設(shè)，，是由到的模糊關(guān)系，其隸屬函數(shù)為，對任意的有，記，那么就是所謂的模糊矩陣，于是有下面的一般性定義．定義2.2設(shè)矩陣且，那么稱為模糊矩陣．特別地，如果，那么稱為布爾〔Bool〕矩陣.當(dāng)，或時(shí)，那么相應(yīng)的模糊矩陣為，或，那么分別稱為模糊行向量和模糊列向量．2.2模糊等價(jià)與模糊相似定義2.3假設(shè)模糊關(guān)系，且滿足〔1〕自反性：；〔2〕對稱性：；〔3〕傳遞性：〔或．那么稱是上的一個模糊等價(jià)關(guān)系，其隸屬度函數(shù)表示的相關(guān)程度．當(dāng)論域?yàn)闀r(shí)，上的模糊等價(jià)關(guān)系可表示為階模糊等價(jià)矩陣．定義2.4設(shè)論域?yàn)?，為單位矩陣，如果模糊矩陣滿足：〔1〕自反性：；〔或；〔2〕對稱性：〔或；〔3〕傳遞性：〔或〕．那么稱為模糊等價(jià)矩陣．實(shí)際中，要建立一個模糊等價(jià)關(guān)系或模糊等價(jià)矩陣往往是困難的，這主要是由于傳遞性難以滿足．但是，對于滿足自反性和對稱性的模糊關(guān)系與模糊矩陣，那么分別稱為模糊相似關(guān)系與模糊相似矩陣．2.3截矩陣與傳遞矩陣定義2.5設(shè)為模糊矩陣，對任意的．〔1〕如果令，那么稱為的截矩陣．〔2〕如果令，那么稱為的強(qiáng)截矩陣．很顯然，對任意的，截矩陣是布爾矩陣．定義2.6設(shè)是階的模糊矩陣，如果滿足〔或〕，那么稱為模糊傳遞矩陣．將包含的最小的模糊傳遞矩陣稱為的傳遞包，記為．事實(shí)上，對于任意的模糊矩陣，那么．特別地，當(dāng)為模糊相似矩陣時(shí)，那么存在一個最小的自然數(shù)，使得，對任意自然數(shù)都有，此時(shí)一定為模糊等價(jià)矩陣．第三節(jié)模糊聚類分析方法在許多工程技術(shù)和經(jīng)濟(jì)管理中，常常需要對某些指標(biāo)按一定的標(biāo)準(zhǔn)〔相似的程度、親疏關(guān)系等〕進(jìn)展分類處理．例如，根據(jù)生物的某些性態(tài)對其進(jìn)展分類、根據(jù)空氣的性質(zhì)對空氣質(zhì)量進(jìn)展分類，以及工業(yè)上對產(chǎn)品質(zhì)量的分類、工程上對工程規(guī)模的分類、圖像識別中對圖形的分類、地質(zhì)學(xué)中對地質(zhì)土壤的分類、水資源中的水質(zhì)分類等等。這種對客觀事物按一定標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)展分類的數(shù)學(xué)方法主要就是聚類分析法，而模糊聚類分析法就是根據(jù)事物的某些模糊性質(zhì)進(jìn)展分類的一種數(shù)學(xué)方法．下面給出模糊聚類分析方法的一般步驟．3.1數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化一、獲取數(shù)據(jù)：設(shè)論域?yàn)樗璺诸愌芯康膶ο?，每個對象又由個指標(biāo)表示其性態(tài)，即，于是，可以得問題的原始數(shù)據(jù)矩陣為．二、數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)化處理：在實(shí)際問題中的數(shù)據(jù)可能有不同的性質(zhì)和不同的量綱，為了使原始數(shù)據(jù)能夠適合模糊聚類的要求，需要將原始數(shù)據(jù)矩陣做標(biāo)準(zhǔn)化的處理，即通過適當(dāng)?shù)臄?shù)據(jù)變換和壓縮，將其轉(zhuǎn)化為模糊矩陣．常用的方法有以下兩種：〔1〕平移——標(biāo)準(zhǔn)差變換如果原始數(shù)據(jù)之間有不同的量綱，那么可以采用這種變換后使每個變量的均值為0，標(biāo)準(zhǔn)差為1，即可以消除量綱的差異的影響。即令，其中，．〔2〕平移——極差變換如果經(jīng)過平移——標(biāo)準(zhǔn)差變換后還有某些，那么還需對其進(jìn)展平移——極差變換，即令．顯然所有的，且也不存在量綱因素的影響，從而可以得到模糊矩陣．3.2建立模糊相矩陣設(shè)論域，，即數(shù)據(jù)矩陣為，如果與的相似程度為，那么稱之為相似系數(shù)，確定相似系數(shù)有多種不同的方法．〔1〕數(shù)量積法：對于，令，那么取顯然．假設(shè)出現(xiàn)有某些，可令，那么有．也可以用平移——極差變換將其壓縮到上，即可以得到模糊相似矩陣．〔2〕夾角余弦法：令，，那么．〔3〕相關(guān)系數(shù)法：令，，其中，，那么．注：中的樣本屬于同一個樣本空間．〔4〕指數(shù)相似系數(shù)法：令，其中，．那么．注：中的樣本屬于不同的樣本空間，即．〔5〕最大最小值法：令，那么．〔6〕算術(shù)平均值法：令，那么．〔7〕幾何平均值法：令，那么．〔8〕絕對值倒數(shù)法：令其中為使得所有確實(shí)定常數(shù)，那么．〔9〕絕對值指數(shù)法：令，，那么．〔10〕海明距離法：令，其中為使得所有確實(shí)定常數(shù)．那么．〔11〕歐氏距離法：令，其中為使得所有確實(shí)定常數(shù)．那么．〔12〕切比雪夫距離法：令，其中為使得所有確實(shí)定常數(shù)．那么．〔13〕主觀評分法：設(shè)有個專家組成專家組，讓每一位專家對所研究的對象與相似程度給出評價(jià)，并對自己的自信度作出評估．如果第位專家關(guān)于對象與的相似度評價(jià)為，對自己的自信度評估為，那么相關(guān)系數(shù)定義為，那么．綜上所述，以上給出了實(shí)際中能夠使用的一些方法，具體地選擇要根據(jù)具體問題的性質(zhì)和使用的方便來確定．3.3聚類所謂的聚類方法就是依據(jù)模糊矩陣將所研究的對象進(jìn)展分類的方法，對于不同的置信水平，可得不同的分類結(jié)果，從而可以形成動態(tài)聚類圖．常用的方法可以分為兩類，一類是基于模糊等價(jià)矩陣的聚類方法，另一類是直接聚類方法．〔1〕傳遞閉包法用上節(jié)的方法所建立的模糊矩陣一般只是一個模糊相似矩陣，即不一定是模糊等價(jià)矩陣．為此，首先需要由來構(gòu)造一個模糊等價(jià)矩陣，根據(jù)傳遞閉包的性質(zhì)，可以用平分法求出的傳遞包，即為一模糊等價(jià)矩陣．然后，由大到小取一組值，確定相應(yīng)的截矩陣，那么可以將其分類，同時(shí)也可構(gòu)成動態(tài)聚類圖．〔2〕布爾矩陣法設(shè)論域?yàn)?，是上的模糊相似矩陣，對于確定的水平要求中元素的分類．首先，由于模糊相似矩陣作出其截矩陣，即為布爾矩陣．然后，依據(jù)中的1元素可以將其分類．如果為等價(jià)矩陣，那么也為等價(jià)矩陣，即可以直接將其分類．如果不是等價(jià)矩陣，那么首先按一定的規(guī)那么將改造成一個等價(jià)的布爾矩陣，然后再進(jìn)展分類．例如：0元素和1元素互換方法等．〔3〕直接聚類法所謂直接聚類法是一種直接由模糊相似矩陣求出聚類法的方法，具體步驟如下：1〕取〔最大值〕，對每個作相似類：，即將滿足的與視為一類，構(gòu)成相似類．相似類與等價(jià)類有所不同，不同的相似類可能有公共元素，即可能有，實(shí)際中，對于這種情況可以將與合并為一類，即可得到水平上的等價(jià)分類．2〕取為次大值，從中直接找出相似程度為的元素對〔，〕〔即〕，并相應(yīng)地將對應(yīng)于的等價(jià)分類中與所在的類合并為一類，即可得到水平上的等價(jià)分類．3〕依次取，按第2〕步的方法依次類推，直到合并到成為一類為止，最后可以得到動態(tài)聚類圖．第四節(jié)模糊模式識別方法將事物的整體劃分為假設(shè)干類型而得到一組標(biāo)準(zhǔn)模式，對于一個確定的對象識別它屬于哪一類的問題稱為模式識別．如果整體被劃分的類型與被識別的對象之中至少有一個是用模糊集表示的模式識別問題，那么稱為模糊模式識別．實(shí)際中有很多問題都屬于這一類問題，例如：自動分揀機(jī)對信件上郵政編碼的識別；醫(yī)生針對病人的主要病癥診斷過程；根據(jù)學(xué)生的德、智、體等因素對學(xué)生進(jìn)展分類；對某種產(chǎn)品等級的分類，以及指紋識別和汽車車牌的識別等問題．這里主要介紹兩種最根本的模糊模式識別方法―――最大隸屬原那么和擇近原那么．4.1模式識別中的最大隸屬原那么定義4.1設(shè)論域上的個模糊子集，，，，其隸屬度函數(shù)為，而模糊向量集合族集對于普通向量，那么稱為對模糊向量集合族的隸屬度．實(shí)際中向量對模糊向量集合族的隸屬度也可以定義為．1.最大隸屬原那么設(shè)在論域上有個模糊子集，，，〔即個模糊模式〕一起構(gòu)成一個標(biāo)準(zhǔn)模式庫，假設(shè)對任一個，存在〔〕使得，那么可視為相對隸屬于。2.最大隸屬原那么設(shè)在論域上確定一個標(biāo)準(zhǔn)模式，對于個待識別的對象，如果有某個滿足〔〕，那么優(yōu)先隸屬于。4.2模式識別中的擇近原那么設(shè)論域，由上的個模糊子集，，，〔即個模式〕構(gòu)成一個標(biāo)準(zhǔn)模式庫，對上的另一個模糊子集與中的哪一個最貼近？這時(shí)另一類模糊識別問題，主要是研究兩個模糊集的貼近程度。1.貼近度的概念設(shè)論域上的個模糊子集，那么定義為與的內(nèi)積；類似的定義為與的外積。定義4.2設(shè)有論域上的模糊子集，那么稱為與的貼近度。顯然，如果與的貼近度越大，那么說明與越貼近，而且貼近度有以下性質(zhì)：〔1〕；〔2〕，〔〕實(shí)際中，可以用貼近度來描述模糊集之間的貼近程度，但是，根據(jù)所研究問題的性質(zhì)，還可以給出其他形式的貼近度定義。2.單個特性的擇近原那么設(shè)論域上的個模糊子集，，，〔個模式〕構(gòu)成一個標(biāo)準(zhǔn)模式庫｛，，，｝，模糊子集為待識別的模式，假設(shè)存在〔〕使得，那么與最貼近，或者說把可歸并到類。3.多個特性的擇近原那么根據(jù)實(shí)際問題的需要，依據(jù)對象的多個特性的模式識別問題，即要研究兩個模糊向量集合族的貼近度問題，可以有多種不同的定義，常用的有以下幾種形式：對于論域上的兩個模糊向量集合族=〔，，，〕，=〔，，，〕，那么與的貼近度可定義為〔1〕；〔2〕；〔3〕，其中，且；〔4〕，其中，且；〔5〕，其中，且。實(shí)際中，選擇哪一種形式，完全根據(jù)實(shí)際問題的需要確定，也可以用其他更適宜的形式。多個特性的擇近原那么：設(shè)由論域上的個模糊子集，，，構(gòu)成一個標(biāo)準(zhǔn)模式庫｛，，，｝，每個模式都可用個特性描述，即。待識別的模式為。如果兩個模糊向量集合族的貼近度最小值為，并有自然數(shù)〔〕使得，那么模式隸屬于。最后值得我們注意的是模式識別與模糊聚類分析的關(guān)系和區(qū)別。首先，二者都是研究模糊分類問題的方法，但二者既有關(guān)聯(lián)，又有差異。模糊聚類分析所研究的對象是一組樣本，沒事先確定的模式標(biāo)準(zhǔn)，只是根據(jù)對象的特征進(jìn)展是黨的分類。而模糊模式識別所討論的問題事先假設(shè)干標(biāo)準(zhǔn)模式，或標(biāo)準(zhǔn)模式庫，據(jù)此，對要待識別點(diǎn)地對象進(jìn)展識別，看它應(yīng)屬于那一類。因此，模糊聚類分析是一種無標(biāo)準(zhǔn)模式的分類方法，而模糊模式識別是一種有標(biāo)準(zhǔn)模式的分類方法。另一方面，模糊聚類分析與模糊模式識別也是有關(guān)系的。實(shí)際中，我們用模式聚類分析法進(jìn)展判別、預(yù)測的過程，事實(shí)上就是模糊聚類與模糊識別綜合運(yùn)用的過程。模糊識別中的標(biāo)準(zhǔn)模式就是在模糊聚類分析過程中得到的，即模糊聚類為模糊識別提供了標(biāo)準(zhǔn)模式庫。9.5模糊綜合評判方法模糊綜合評判是模糊決策中最常用的一種有效方法。在實(shí)際中，常常需要對一個事物做出評價(jià)〔或評估〕，一般都涉及多個因素或多個指標(biāo)，此時(shí)就要求我們根據(jù)這些因素對事物做出綜合評價(jià)，這就是所謂的綜合評判，即綜合評判就是要對受多個因素影響的事物〔或?qū)ο蟆匙龀鋈娴脑u價(jià)，故模糊綜合評判又稱為模糊綜合決策或模糊多元決策。傳統(tǒng)的評判方法有總評分法和加權(quán)評分法?？傇u分法：根據(jù)評判對象的評價(jià)工程，首先，對每個工程確定出評價(jià)的等級和相應(yīng)的評分?jǐn)?shù)，并將所有工程的分?jǐn)?shù)和，然后，按總分的大小排序，從而確定出方案的優(yōu)劣。加權(quán)評分法：根據(jù)評判對象的諸多因素〔或指標(biāo)〕所處的地位或所起的作用一般不盡一樣。因此，引入權(quán)重的概念，求諸多因素〔指標(biāo)〕評分的加權(quán)和。其中為第個因素〔指標(biāo)〕的權(quán)值。5.1模糊綜合評判的一般方法1.模糊綜合評判的一般方法設(shè)為研究對象的種因素〔或指標(biāo)〕，稱之為因素集〔或指標(biāo)集〕。為諸因素〔或指標(biāo)〕的種評判所構(gòu)成的評判集〔或評語集、評價(jià)集決策集等〕，它們的元素個數(shù)和名稱均為可根據(jù)實(shí)際問題的需要和決策人主觀確定。實(shí)際中，很多問題的因素評判集都是模糊的，因此，綜合評判應(yīng)該是上的一個模糊子集，其中為評判對模糊子集的隸屬度：，即反映了第種評判在綜合評價(jià)中所起的作用。綜合評判依賴于各因素的權(quán)重，即它應(yīng)該是上的模糊子集，且，其中表示第種因素的權(quán)重。于是，當(dāng)權(quán)重給定以后，那么相應(yīng)地就可以給定一個綜合評判。2.模糊綜合評判的一般步驟〔1〕確定因素集；〔2〕確定評判集；〔3〕確定模糊評判矩陣：首先，對每一個因素做一個評判，那么可以得到的一個模糊映射，即，。然后，由模糊映射可以誘導(dǎo)出模糊關(guān)系，即。因此，可以確定出模糊評判矩陣。而且稱〔,,〕為模糊綜合評判模型，,,稱為該模型的三要素。〔4〕綜合評判：對于權(quán)重，用模型取最大——最小合成運(yùn)算，可以得到綜合評判〔或，〕注：關(guān)于評判集的權(quán)重確實(shí)定在綜合評判中起重要的作用，通常情況下可以由決策人憑經(jīng)歷給出，但往往帶有一定的主觀性。要從實(shí)際出發(fā)，或更客觀地反映實(shí)際情況可采用專家評估法、加權(quán)統(tǒng)計(jì)法和頻數(shù)統(tǒng)計(jì)法，或更一般的模糊協(xié)調(diào)決策法、模糊關(guān)系方法等來確定。5.2綜合評判模型的構(gòu)成如果模糊綜合評判模型為〔,,〕，對于權(quán)重，模糊評判矩陣為，那么用模型運(yùn)算得綜合評判為，其中〔〕。事實(shí)上，由于，對于某些情況可能會出現(xiàn)，即。這樣可導(dǎo)致模糊評判矩陣中的許多信息的喪失，即人們對某些因素所作的評判信息在決策中未得到充分的利用。從而導(dǎo)致綜合評判結(jié)果失真。為此，實(shí)際中可以對模型進(jìn)展改良?！?〕模型法：對于和，那么用模型運(yùn)算得，即〔〕。〔2〕模型法：對于和，那么用模型運(yùn)算得，即〔〕?！?〕模型法：對于和，那么用模型運(yùn)算得，即〔〕。在實(shí)際運(yùn)用中，主因素〔即權(quán)重最大的因素〕在綜合中起主導(dǎo)作用時(shí)，那么可首選“主因素決定型〞模型；當(dāng)模型失效時(shí)，再來選用“主因素突出型〞和；當(dāng)需要對所有因素的權(quán)重均衡時(shí)，可選用加權(quán)平均模型。在模型的選擇時(shí)，還要特別注意實(shí)際問題的需求。5.3多層次模糊綜合評判對于實(shí)際中的許多問題往往都是涉及因素多，各因素的權(quán)重分配較為均衡的情況，此時(shí)，可采用