2023屆高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)練習(xí)

證明不等式之泰勒展式和拉格朗日中值定理

【典型例題】

例L已知函數(shù)/(：。)=Ina,xe~x-]-asinx,a>0.

(1)若①=0恰為/(1)的極小值點(diǎn).

(i)證明：

(ii)求/(⑼在區(qū)間(-oo,7c)上的零點(diǎn)個(gè)數(shù);

-M-f(x)

(2)右Q=1,J----…(1-—)(1+—

X'Tl7t八7171

上2個(gè)4上6

又由泰勒級(jí)數(shù)知：以比.=1一3+&—而+…+H—,neN”?證明：!+上7++…

(2%)!I22232

+—+?■?=—

n26

例2.已知函數(shù)/(c)=x2+lnx-ax.

(1)求函數(shù)/Q)的單調(diào)區(qū)間；

⑵若對(duì),￡[(),+8)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍;

(3)當(dāng)a=1時(shí),設(shè)g(rr)=—x—1.若正實(shí)數(shù)兒"?滿足拓+不=1,X\,x2C(0,+°°)(電/g),證

明：g(/h2i+，2的)<49(詞+蒞。(6).

例3.英國數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)了如下公式：sin①=2—$+*―*+…，其中介!=1X2X3X4X??.XTI,此

3!5!7!

公式有廣泛的用途，例如利用公式得到一些不等式：當(dāng)/C(0,4;)時(shí)，sinx<x,sinx>x—'；,sin.7?

Vc.Q+E...

3!+5!’-

⑴證明：當(dāng)/C(0,與時(shí)，迦生><；

/<Zz￡1

(2)設(shè)/(7)=msinz,若區(qū)間［a,”滿足當(dāng)/(c)定義域?yàn)椋踑,b］時(shí)，值域也為［a,b］,則稱為/(⑼的“和

諧區(qū)間”，

(i)小=1時(shí)，/3)是否存在“和諧區(qū)間”？若存在，求出了(工)的所有“和諧區(qū)間”，若不存在，請(qǐng)說明理

由；

(日)小=一2時(shí)，/(1)是否存在“和諧區(qū)間”？若存在，求出/Q)的所有“和諧區(qū)間”，若不存在，請(qǐng)說明

理由.

例4.給出以下三個(gè)材料：

①若函數(shù)/(X)可導(dǎo)，我們通常把導(dǎo)函數(shù)于,⑺的導(dǎo)數(shù)叫做〃工)的二階導(dǎo)數(shù)，記作r(x).類似地，二階

導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做三階導(dǎo)數(shù)，記作((0,三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做四階導(dǎo)數(shù)……

一般地，九一1階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做八階導(dǎo)數(shù)，記作=Lfi)⑸]',

②若72€N*,定義71!=72X(?2—1)X伍—2)X…X3X2義1.

③若函數(shù)/(⑼在包含電的某個(gè)開區(qū)間(a,b)上具有71階的導(dǎo)數(shù),那么對(duì)于任一/C(a,b)有g(shù)(0=f(x?

3

)+零4-黝)+您％-婚+1件■Q-x0)+…+處件■(,-x?r，

我們將g(⑸稱為函數(shù)/3)在點(diǎn)方=益處的n階泰勒展開式.例如，y=e'在點(diǎn)力=0處的九階泰勒展

開式為1+%+工r2+???-!--%”.

2n!

根據(jù)以上三段材料,完成下面的題目：

(1)求出力Q)=sinz在點(diǎn)%=()處的3階泰勒展開式gi(rr),并直接寫出加2)=cose在點(diǎn)x=0處的3

階泰勒展開式92(。)；

(2)比較⑴中力(0與.㈤的大小.

(3)已知g=不小于其在點(diǎn)4=0處的3階泰勒展開式，證明：%>0時(shí)，e'+sinc+cos%>2+2x.

例5.利用拉格朗日(法國數(shù)學(xué)家，1736-1813)插值公式，可以把二次函數(shù)F(rr)表示成F(c)二

d(x-b)Q-c)?(x-a)(x-c)+f(x-a)(x-b)

的形式.

(a—fe)(a—c)(b—a)(b—c)(c—a)(c—b)

⑴若。=l,b=2,c=3,d=4,?</,把93)的二次項(xiàng)系數(shù)表示成關(guān)于/的函數(shù)G(7),并求G(/)的

值域(此處視e為給定的常數(shù)，答案用e表示)；

d(b2—c2)+e(c2—a2)+f(a2—b2)

⑵若aVbVc,d>(),eV(),/>(),求證：a+bVVb+c.

d(b—c)+e(c—a)+f(a—b)

例6.用拉格朗日中值定理證明不等式：號(hào)+

例7.已知函數(shù)/⑴=mx3+nx\m>nER,m0)的圖象在(2,/⑵)處的切線與⑦軸平行.

⑴求出a的關(guān)系式并求/(⑼的單調(diào)減區(qū)間；

⑵證明:對(duì)任意實(shí)數(shù)0V電<gvI，關(guān)于2的方程:/㈤-/3)-/(句=0在3,詞恒有實(shí)數(shù)解；

X'2-Xl

(3)結(jié)合(2)的結(jié)論，其實(shí)我們有拉格朗日中值定理:若函數(shù)/(n)是在閉區(qū)間［a,b］上連續(xù)不斷的函

數(shù)，且在區(qū)間(a,b)內(nèi)導(dǎo)數(shù)都存在，則在(a,5)內(nèi)至少存在一點(diǎn)打,使得f(g)="?―于⑹.如我們所

學(xué)過的指、對(duì)數(shù)函數(shù)，正、余弦函數(shù)等都符合拉格朗日中值定理?xiàng)l件.試用拉格朗日中值定理證明：

當(dāng)0VaV6時(shí)，仁包<111-<憶生(可不用證明函數(shù)的連續(xù)性和可導(dǎo)性).

baa

例8.已知/(0=-^-x：i—2x2+cx+4,g(x)=ex-e2~,l+f(x),

o

(i)若f3)在％=i+3處取得極值，試求c的值和八⑻的單調(diào)增區(qū)間；

(2)如圖所示,若函數(shù)"=/(0的圖象在［a,b］連續(xù)光滑,試猜想拉格朗日中值定理：即一定存在，e

(a,b),使得/'(c)=粵二&1,利用這條性質(zhì)證明：函數(shù)”=g(0圖象上任意兩點(diǎn)的連線斜率不小于

b-a

2e-4.

bx

【同步練前】

一、單選題

2?51_2n-l

1.十八世紀(jì)早期，英國數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)了公式sinx=,—今+?一條+…+(—1)17三-+…，

3!5!7!(2n—1)!

(其中a：ER,nETV*,n\=1x2x3X---Xn,0!=1)，現(xiàn)用上述公式求1—+_---F(-1.)11

(2三2尸+…的值，下列選項(xiàng)中與該值最接近的是0

A.sin57°B.sin3()°C.sin33°D.sin300

2.公元1715年英國數(shù)學(xué)家布魯克?泰在他的著作中陳述了“泰勒公式”，如果滿足一定的條件，泰勒公式

可以用函數(shù)在某一點(diǎn)的各階導(dǎo)數(shù)值構(gòu)建一個(gè)多項(xiàng)式來近似表達(dá)這個(gè)函數(shù).泰勒公式將一些復(fù)雜函數(shù)

近似地表示為簡單的多項(xiàng)式函數(shù),使得它成為分析和研究許多數(shù)學(xué)問題的有力工具，例如：

=若+<+<+《+…+斗+…，其中eR，九€N*,試用上述公式估計(jì)量的近似值為(精確到

o.ooi)()

A.1.647B.1.649C.1.645D.1.646

3.計(jì)算器是如何計(jì)算sina;,cosx,hire,、*等函數(shù)值的呢？計(jì)算器使用的是數(shù)值計(jì)算法，其中一種方

法是用容易計(jì)算的多項(xiàng)式近似地表示這些函數(shù)，通過計(jì)算多項(xiàng)式的值求出原函數(shù)的值，如sina;=/-

條+含一劣+…，cosx=1-?+為一告+…，其中n!=1x2x…xri,英國數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)了這

些公式，可以看出，右邊的項(xiàng)用得越多，計(jì)算得出的sin/和COST的值也就越精確.運(yùn)用上述思想，可

得到sin(守+1)的近似值為()

A.0.50B.0.52C.0.54D.0.56

二、填空題

4.英國數(shù)學(xué)家泰勒(1685—1731)以發(fā)現(xiàn)泰勒公式和泰勒級(jí)數(shù)聞名于世，由泰勒公式，我們得到e=l+

1+4…+；+二鼻彳(其中?為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，九!=nxS-DxS-2)x.

1.Z.OlTb.I九十1)!

..X2X1),其拉格朗日余項(xiàng)是R,k，可以看出，右邊的項(xiàng)用得越多，計(jì)算得到的e的近似值也

(n+1)!

就越精確.若丁近似地表示e的泰勒公式的拉格朗日余項(xiàng)又，足不超過時(shí)，正整數(shù)門的

(n+l)!1000

最小值是

三、解答題

5.給出以下三個(gè)材料:①若函數(shù),f(z)可導(dǎo)，我們通常把導(dǎo)函數(shù)-3)的導(dǎo)數(shù)叫做/(0的二階導(dǎo)數(shù)，記作

1r(立).類似地，二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做三階導(dǎo)數(shù)，記作尸3),三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做四階導(dǎo)數(shù)……一般

地，72—1階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做7%階導(dǎo)數(shù)，記作產(chǎn))3)=>4.②若nCAT,定義n!=nx

(n-1)x(n-2)x-x3x2xL③若函數(shù)/Q)在包含坊的某個(gè)開區(qū)間(a,b)上具有九階的導(dǎo)數(shù)，那

23

么對(duì)于任一xG(a,b)有g(shù)(a;)=/(?))+'Q-魏)+-xu)+(x-x0)+—

+亡￡(/一猶)“，我們將g(口稱為函數(shù)”口在點(diǎn)二=卻處的九階泰勒展開式例如，,在點(diǎn)憶

n!

=0處的九階泰勒展開式為1+/+???+1/'.根據(jù)以上三段材料,完成下面的題目：

2n!

(1)求出力(1)=sinx在點(diǎn)⑦=()處的3階泰勒展開式gi(i),并直接寫出力(8)=COST在點(diǎn)力=0處的

3階泰勒展開式S(％)；

(2)比較⑴中力⑺與g1Q)的大小.

(3)證明：eJ：+sinx+cosx>2+2x.

6.在高等數(shù)學(xué)中，我們將y=/（z）在/=g，處可以用一個(gè)多項(xiàng)式函數(shù)近似表示，具體形式為：〃/）=

f（x?）+f'（Xo）（x—Xo）+'；（「一曲2~1-卜，二；“（￡一%"+…（其中/⑹3）表示/（?）的n次導(dǎo)

數(shù)），以上公式我們稱為函數(shù)/（①）在X=而處的泰勒展開式.

（1）分別求e",sin力，cosz在工=0處的泰勒展開式；

（2）若上述泰勒展開式中的z可以推廣至復(fù)數(shù)域,試證明：e'*+l=0.（其中i為虛數(shù)單位）；

（3）若VcW（0,￡），easi,,I>x+1恒成立，求a的范圍.（參考數(shù)據(jù)ln-1七0.9）

7.英國數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)了如下公式：sin：］;=%—/+芻一3+…，其中介!=1X2X3X4X…x九,此公

3!5!7!

式有廣泛的用途，例如利用公式得到一些不等式：當(dāng)xE（0號(hào)）時(shí)，sin.T<x,sinx>/一百，sineV/

_Q.x'}

一方而…，

⑴證明:當(dāng)z€他與）時(shí)，迦￡>。；

Z<Zz￡1

⑵設(shè)/（c）=msin/,若區(qū)間［a,b］滿足當(dāng)/（切定義域?yàn)椋踑,b］時(shí)，值域也為［a,b］,則稱為/⑺的“和

諧區(qū)間

⑴m=l時(shí)，/Q）是否存在“和諧區(qū)間”？若存在，求出/（c）的所有“和諧區(qū)間”，若不存在，請(qǐng)說明理

由；

陵）M=-2時(shí)，/（c）是否存在“和諧區(qū)間”？若存在，求出/（工）的所有“和諧區(qū)間”，若不存在，請(qǐng)說明

理由.

8.計(jì)算器是如何計(jì)算simc,COST,e1,Inx,6等函數(shù)值的？計(jì)算器使用的是數(shù)值計(jì)算法，其中一種方法

是用容易計(jì)算的多項(xiàng)式近似地表示這些函數(shù),通過計(jì)算多項(xiàng)式的值求出原函數(shù)的值,如

?x3.x5x7.

slnx=:z;__+___+...,

1X2,x4x(>

cosx=l--+---+-,

其中n!=1*2,3.....n.

英國數(shù)學(xué)家泰勒(B.Taylor,1685—1731)發(fā)現(xiàn)了這些公式，可以看出，右邊的項(xiàng)用得越多，計(jì)算得到

(09)3

的sin/和cosz的值也就越精確.例如，我們用前三項(xiàng)計(jì)算sin().9,就得到sin0.910.9-----—+

o!

像這些公式已被編入計(jì)算器內(nèi)，計(jì)算器利用足夠多的項(xiàng)就可確保其顯示值是精確的.

試用你的計(jì)算器計(jì)算sin0.9,并與上述結(jié)果進(jìn)行比較.

9.給出以下三個(gè)材料:①若函數(shù)/Q)可導(dǎo)，我們通常把導(dǎo)函數(shù),f'Q)的導(dǎo)數(shù)叫做/(0的二階導(dǎo)數(shù)，記作

r(x).類似地，二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做三階導(dǎo)數(shù),記作尸(6),三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做四階導(dǎo)數(shù)……一般

地，n—1階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做n階導(dǎo)數(shù)，記作/"(T)=[/(n-l,(o;)]，,n>4.②若nEN",定義n!=nx

(n-1)x(n-2)X-X3X2X1.③若函數(shù)/Q)在包含以的某個(gè)開區(qū)間(a,6)上具有九階的導(dǎo)數(shù)，那

23

么對(duì)于任一xG(a,b)有g(shù)(a;)=/(?))+'Q-魏)+-xu)+(x-x0)+—

/我們將為函數(shù)點(diǎn)立=6處的九階泰勒展開式.例如，工在點(diǎn)

71!

6=0處的九階泰勒展開式為1+力+4/H--1--

2n\

根據(jù)以上三段材料,完成下面的題目：

⑴求出fi(T)=sine在點(diǎn)出=()處的3階泰勒展開式0(c),并直接寫出/2(x)=COST在點(diǎn)虞=0處的

3階泰勒展開式仍3)；

(2)比較(1)中力Q)與g(c)的大小.

(3)已知"=e”不小于其在點(diǎn)2=0處的3階泰勒展開式，證明：eT4-sinx+cosx>2+2i.

10.已知函數(shù)/（%）=Ina,xe~x+asinXfa>0.

（1）若①=0恰為/（力）的極小值點(diǎn).

①證明：y<a<l；

②求/（x）在區(qū)間（一8,冗）上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；

⑵若a=l,以m=（1—三）（1+三）（1一件~）（1一導(dǎo)）（1+子）.?.（

1--）（1+意卜?，又由泰勒

x'兀八兀八2兀八3兀八3兀/'72兀

級(jí)數(shù)矢口：cosx=1-+弓-+…+()'—F…(rieN*)，證明：士+4+占+…H--^7+'t?=

2!4!6!(2n)!'I22232n2

6

11.英國數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)了如下公式：sin,r=+?--,cosx=1—今+與~—今+…，其中

3!5!7!2!4!6!

）=1x2x3x4x5x…xm這些公式被編入計(jì)算工具，計(jì)算工具計(jì)算足夠多的項(xiàng)就可以確保顯示值

的精確性.比如，用前三項(xiàng)計(jì)算cos0.3,就得到cos0.3x1-噂+粵=0.9553375.試用你的計(jì)算工

2!4!

具計(jì)算cos0.3,并與上述結(jié)果比較.

四、雙空題

12.記嚴(yán)）3）為函數(shù)/（%?）的九階導(dǎo)數(shù)且嚴(yán)）（工）=[f（切'，.嚴(yán)‘⑺=[嚴(yán)7（初'（九二3,九6N*）.若嚴(yán)心）

存在，則稱階可導(dǎo).英國數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)：若/（⑼在外附近九+1階可導(dǎo)，則可構(gòu)造1（c）=

/3。）+華叱3—,。）+小幽3—，。）2+…+Q—g）"（稱為n次泰勒多項(xiàng)式）來逼近/（，）

1!2!72!

在g附近的函數(shù)值.據(jù)此計(jì)算/（力）=e"在g=0處的3次泰勒多項(xiàng)式為TM=

/（X）=—^在No=—1處的10次泰勒多項(xiàng)式中/的系數(shù)為

X

證明不等式之泰勒展式和拉格朗日中值定理

【典型例題】

例1.已知函數(shù)/(：。)=Ina,xe~x-Vasinx,a>0.

(1)若①=0恰為/(1)的極小值點(diǎn).

(i)證明：［va<l；

(ii)求/(⑼在區(qū)間(-oo,7c)上的零點(diǎn)個(gè)數(shù);

-M-f(x)

(2)右Q=1,J----…(1-—)(1+—

X'TlTt，'7171

上2個(gè)4上6(-l)VnH—,neN”?證明：!+上7++…

又由泰勒級(jí)數(shù)知：以比.=1一3+&—而+…+

(2%)!I22232

,1,_M

【解析】解：⑴證明:(i)由題意得：f(x)=lna(l-x)e~x+acosx(a>0),

因?yàn)榱?0為函數(shù)/(%)的極值點(diǎn)，所以f(0)=lna+a=0,

令g(z)=\nx+x(x>0),則g{x}=—+1>0,g{x)在(0,+<?)上單調(diào)遞增,

x

因?yàn)間(l)>0,g(4)=InJ+J=In尊<0,

所以g(①)=Ina:+x(x>0)在上有唯一的零點(diǎn)Q,

所以VaVl;

(ii)由(i)知：Ina=—a,f(x)=a(sinx-xe~x),f\x)=a[cosx—(1—x)e~x],

①當(dāng)iG(—8,0)時(shí)，由Q>0,—1<costW1,1—T>1,e-x>1得：/'(6)<0,

所以『3)在(一8,o)上單調(diào)遞減J3)>/(o)=0,

所以/(X)在區(qū)間(一8,0)上不存在零點(diǎn)；

②當(dāng)/G(0,兀)時(shí)，設(shè)九(①)=COST—(1—力)已一”,則〃Q)=(2—x)e-r—sinx,

T若c€(。￡]，令小㈤=(2—x)e~x—sinx,則m!(x)=(x—3)e-x—cosx<0,

所以a(c)在(0，目上單調(diào)遞減，因?yàn)閙(0)=2>0,m(-y]=(2—y)e~2—KO;

所以存在aE卜)6)，滿足m(a)=0,

當(dāng)cG(O,tz)時(shí),m(x)=h!(x)>0,h(x)在(0,a)上單調(diào)遞增;

當(dāng)力C時(shí)，m(j:)=/i/(.r)<0,h{x)在(a,]]上單調(diào)遞減；

2°若①E(1,2]，令p(0=(2-x)e\xG(1，2]，則”3)=Q—3)e-x<0,

所以中3)在區(qū)間管,2］上單調(diào)遞減，所以此)<^(y)=(2-y)e^7<-^-,

又因?yàn)閟inx>sin2=sin(兀-2)>sin-^-=,

所以成立)=(2—x)e-a:—sinrc<0,h(x)在(爭21上單調(diào)遞減；

3°若7c(2,兀),則h!(x)=(2—x)e-3—sinx<0,h{x}在(2,兀)上單調(diào)遞減;

由1°2°3°得，h(x)在(0,a)上單調(diào)遞增，無(土)在(a,兀)單調(diào)遞減,

因?yàn)閔(a)>/i(0)=0,h(7t)=(7t—l)e-,t—1<0,

所以存在夕e(a,兀)使得“3)=0,

所以當(dāng)力e(0,￡)時(shí)JQ)=h[x)>o,f(G在(0,6)上單調(diào)遞增J3)>/(o)=o,

當(dāng)①e(￡,兀)時(shí)JQ)="C)VOJ?在<,TU)上單調(diào)遞減，

因?yàn)閒⑻>/(0)=O,/(TC)Vo,所以/3)在區(qū)間(￡㈤上有且只有一個(gè)零點(diǎn)；

綜上，/3)在區(qū)間(一8,兀)上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2個(gè)；

/2

(2)因?yàn)樾托┎??①

Xn9F2

對(duì)cosx=1—

35(-i)Vn-1

兩邊求導(dǎo)得：一段皿=一點(diǎn)+言一言+…++?1?,

(2n-l)!

(―l)f21

x

sine+—H---F+…，

1!3!5!(2n-l)!

力2X4

所以我工1--+—+???++…②

X35(2n-l)!

比較①②式中小的系數(shù)，得:得=-十佶+《+《+…+±+…

2232n2

2

所以今+卷+]+…1兀~

+???=

n~9

例2.已知函數(shù)/(re)=ar'+lnc—am

(1)求函數(shù)/(6)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若/(尤)&2/,對(duì)ce[0,+8)恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(3)當(dāng)a=1時(shí)，設(shè)g(:r)=xe^~!w—x—1.若正實(shí)數(shù)一”不滿足九+不=1,(0)+8)Qhg),證

明：g(Alx1+A2X2)<力?(為)+，2。(Z2).

【解析】解：(1)/'(x)—2x+——a———““'],x>0,△=a2—8,

xx

①a&20時(shí)，/'(立)>0恒成立，

故函數(shù)/(①)在(0,+8)遞增，無遞減區(qū)間，

②a>22時(shí)J'Q)>OnO<cV或q。+?百

故函數(shù)/3）在（0,忙乎亙），（旦呼王，+8）遞增，在尸產(chǎn)石,烏土半巨）遞減,

綜上，a<22時(shí)，函數(shù)/Q）在（0,+8）遞增，無遞減區(qū)間，

a>2V2時(shí)，函數(shù)/㈤在（0,吁彳口）,（婦乎+oo）遞增，在（a一仔i,且士李二）遞

減，

(2)/3)V2",對(duì)3G[0,+8)恒成立，

即cC[0,+oo)時(shí)，a些一①恒成立，

x

令F(c)=①&—C,(2>0),則嚴(yán)(c)=1_嗎_J

令G(x)=1—\nx—x2(x>0),

則Gr(x)=———2x<0,G(c)在(0,+oo)遞減且G⑴=0,

x

xG(0,1)時(shí),G(rc)>0,Ff(x)>0,F(x)遞增，

當(dāng)/e(1,+8),G(x)vo,尸3)vo,F(x)遞減,

?.?p3)max=F(l)=-1,

綜上，Q的范圍是[-1,+8).

(3)證明：當(dāng)。=1時(shí)，g(G=既—ani)_￡-1=xex-lnx-x-1=ex-x-1,

gf(x)=e"-1>0(x>0),不妨設(shè)0〈^〈色，

下先證:存在￡w(%①2)，使得g(x2)-g(ci)=gf(6⑶一詞,

構(gòu)造函數(shù)83)=g(c)—g(cl)—必到一(c—cl),

X'2-X\

顯然HQi)=H(X2),且H'(c)=g'(c)-)-9(6)一〈⑶),

X-2-X\

則由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，存在￡e⑶，X2),使得H'(B=g'傍)-)-9(切-“◎)=0,

X'2-g

即存在月e31,x-2）,使得g（x2）-g（x!）=g'（好（①一偽）,

又g'(?)=ex-1為增函數(shù),

???9(必)-9(電)=9'(f)(a：2-xi)>g'(g)(g-刈),即g(x2)>gQJ+g'(xj(x2-xi),

設(shè)x3—zliXi4-/l2X2(/li4-/l2=0),則xi—x3—(1—4)21一辦g,g—g=(1—不)g—不皿,

/.g(xi)>g(x3)+g'(g)(電一C3)=g(g)+g'(鈾)[(1一九)電一小此]①，

g(xi)>g(a：3)+g'(禽)(電一例)=g(g)+g'(?3)[(1-矽冽一九±i]②,

由①x4+②x得，Gg3i)+/l2p(?2)>g(x^)=g(AiXi+A2x^),

即g(AiXi+A2X2)<Aig(xi)+/㈤).

例3.英國數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)了如下公式：sin①…，其中介!=1X2X3X4X??.XTI,此

3!5!7!

公式有廣泛的用途，例如利用公式得到一些不等式：當(dāng)/C(0,4;)時(shí)，sinx<x,sinx>x—'；,sin.7?

Vc.Q+E...

3!+5!’-

⑴證明：當(dāng)/C(0,與時(shí)，迦生><；

/<Zz￡1

(2)設(shè)/(7)=msinz,若區(qū)間［a,”滿足當(dāng)/(c)定義域?yàn)椋踑,b］時(shí)，值域也為［a,b］,則稱為/(⑼的“和

諧區(qū)間”，

(i)小=1時(shí)，/(⑼是否存在“和諧區(qū)間”？若存在，求出了(工)的所有“和諧區(qū)間”，若不存在，請(qǐng)說明理

由；

(m)巾=一2時(shí)，/3)是否存在“和諧區(qū)間”?若存在，求出/(力)的所有“和諧區(qū)間”，若不存在，請(qǐng)說明

理由.

【解析】(1)證明：由已知當(dāng)①e(0,y)時(shí)，sine>c一百，

得sine>]__>1_____（2）_]__>_L

X>16>16T24>2,

所以當(dāng)ce(0,春)時(shí)，聞曳>［.

\2'X2

⑵⑴m=1時(shí)，假設(shè)存在，則由-1&/(力)知一lWaVd,注意到1V餐

故［a,b］q［-g,，所以/(n)在［a,b］單調(diào)遞增，

于是｛d=；'即a，b是方程sin”="的兩個(gè)不等實(shí)根'

易知不是方程的根，

由已知，當(dāng)立6(°噂)時(shí)，sineV1,

令*=T,則有1W(―|-,0)時(shí),sin(—t)<—t,即sint>t,

故方程sin，=1只有一個(gè)實(shí)根0,故/(⑦)不存在和諧區(qū)間.

(u)m=-2時(shí),假設(shè)存在,則由-2&f3)42知一2&aVb<2,

若Q,b>0,則由［a,b］G［0,元)，知『3)&0,與值域是［a,“￡［0,兀)矛盾,

故不存在和諧區(qū)間，

同理，a,b<0時(shí)，也不存在，

下面討論aW046,

若則［0,］］=［。向，故/3)最小值為-2,于是a=-2,

所以[―^^]U[a,b],

所以/(力最大值為2,故6=2,

此時(shí)/3)的定義域?yàn)閇-2,2],值域?yàn)閇-2,2],符合題意.

若bV，，當(dāng)a4—，時(shí)，同理可得a=-2,b=2,舍去，

當(dāng)a>—時(shí),/(⑼在[a,b]上單調(diào)遞減，

所以產(chǎn)"S，于是a+b=-2(sina+sinb),

{b=-2sina

若b>-a即a+b>0,則sin&>sin(-a),故sinb+sina>0,—2(sina+sin&)<0,

與Q+b=-2(sina+sinb)矛盾;

若b<—a,同理，矛盾，

所以b>—a，即寺=sinb,

由(I)知當(dāng)ze(o,1)時(shí),sinx>

因?yàn)閎e[(),1■),所以b=0,從而，a=0,從而a=b,矛盾，

綜上所述，/3)有唯一的和諧區(qū)間[-2,2].

例4.給出以下三個(gè)材料?：

①若函數(shù)/(⑼可導(dǎo)，我們通常把導(dǎo)函數(shù)/'(立)的導(dǎo)數(shù)叫做/(⑼的二階導(dǎo)數(shù)，記作/”3).類似地，二階

導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做三階導(dǎo)數(shù)，記作/'(⑹,三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做四階導(dǎo)數(shù)……

一般地，九一1階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做71階導(dǎo)數(shù)，記作#")(力=[#1)㈤匕n》4.

②若riCN*,定義？I!=7IX(TI——2)x…x3x2xl.

③若函數(shù)/Q)在包含xn的某個(gè)開區(qū)間(a,b)上具有n階的導(dǎo)數(shù),那么對(duì)于任一xC(a,b)有g(shù)(x)=/(郵

)+華九-叫)+隼％-詞2+*”一詞3+…+華兒一詞”，

我們將g(x)稱為函數(shù)/(c)在點(diǎn)力=為處的n階泰勒展開式.例如，y=e在點(diǎn)x=0處的九階泰勒展

開式為1+x+(/+…-I--^rx1.

2n!

根據(jù)以上三段材料,完成下面的題目：

(1)求出八(二)=sinx在點(diǎn)力=0處的3階泰勒展開式g/c),并直接寫出f2(x)=cosx在點(diǎn)力=0處的3

階泰勒展開式仍3)；

(2)比較⑴中力㈤與X3)的大小.

(3)已知y=e’不小于其在點(diǎn)c=0處的3階泰勒展開式，證明：/)()時(shí)，er4-sinx+cosx>2+2x.

【解析】(1)解：因?yàn)?3)=sin%,則&Q)=cosc,力”(％)=—sine,力伸(6)=—cosx,

所以/r(0)=1,/r(0)=0,/r(0)=-1,

故gi(rr)=sinO+,(c-0)+.(a-0產(chǎn)+導(dǎo)(re-0)3,即g\x)=x--j-x3,

同理可得，切3)=1-

(2)解：由⑴可知,/i(rc)=sina?,gi(o:)=a;-/E3,

令九Q)=力(1)—Q\{x)=sinx—力+-7-a;3,則九'(⑦)=cos力-1+4nJ

62

則ti\x)=-sini+x,ti\x)=1—cosx>0,

所以九"3)在R上單調(diào)遞增,又/z"(0)=0,

故當(dāng)出V0時(shí),h!\x)<0,故八'3)單調(diào)遞減，

當(dāng)力>0時(shí)，九"3)>0,故〃Q)單調(diào)遞增，

所以片3)的最小值為磯o)=1—1+0=0,所以43)>o,

故九(c)在A上單調(diào)遞增，又九(0)=0,

所以當(dāng)出V0時(shí)，h(x)V0,當(dāng)①>0時(shí),h(x)>0,

綜上所述，當(dāng)x<o時(shí)，力3)vg】3);當(dāng)％=0時(shí)，力3)=?(+);當(dāng)。>0時(shí)J3)>g[3).

2

⑶證明：令以①)=/2(^)—g2(c)=COST—1+-1-x,則(p[x)=-sinx+x,

所以(p\x)=1—cosx>0.則63)在R上單調(diào)遞增，又d(0)=0,

所以9(力)在(—8,0)上單調(diào)遞減，在(0,+oo)上單調(diào)遞增，

所以w(c)>0(0)=0,即cosx>1——x2,

因?yàn)間=e*在點(diǎn)刀=0處的3階泰勒展開式為：1+x4--^-x2+-^-a;3,

所以1+2+#+共,

1

又《=sine在％=()處的3階泰勒展開式為：c——

1Q

當(dāng)⑦>0時(shí)，sinx>刀——X6,

6

__3

所以當(dāng)力>0時(shí)，e^+sini:+cosx>1+①+^力'+；。'+6—^-x+l—^力2>2+2xy

故ex+sinx+COSN>2+2x(x>0).

例5.利用拉格朗日(法國數(shù)學(xué)家，1736—1813)插值公式，可以把二次函數(shù)F(z)表示成F(c)=

dQ-b)(i-c)eQ-Q)(1-c)/(LQ)(力-b)的形代

(a—6)(a—c)(6—a)(6—c)(c—a)(c—b)'工

⑴若。=l"=2,c=3,d=4,/，把F(0)的二次項(xiàng)系數(shù)表示成關(guān)于/的函數(shù)G(/),并求G(/)的

值域(此處視e為給定的常數(shù)，答案用e表示)；

/、什卡、T1d(fe2—c2)+c(c2—a2)+/(a2—fe2)

(2)右aVbVc,d>(),eV0,/>0,求證：a+bV—；———<b+c.

d\b—c)+e(c—a)+f((i—b)

【解析】(1)解：由題意GU)=-一/——-+-一2一-+-——七一M」a

(a—b)(Q—c)(b—a)(b—c)(c—a)(c—b)—1X(—2)

-1-x-(---1-)--1--2-x--1=—2Jf—e+2，

又/>e,所以G(f)>1e—e+2=—1e+2,

當(dāng)e44時(shí)，G(/)>—Je+2>0〃UG(/)的值域是(一^e+2,+8)；

當(dāng)e>4時(shí),—~e+2V0,所以G(/)的值域是(—~e+2,0)U(0,+°°).

(2)證明：因?yàn)閍VbVc,d>0,e<0,/>0,

所以d(b—c)+e(c—a)+/(Q—b)VO,

(a+b)[d(b—c)+e(c—a)+f(a—6)]=d(b—c)(a+b)+e(c—a)(a+b)+f(a2—b2)

=d(b—c)([(&+c)+(a—c)]+e(c—a)[(c+a)+(b—c)]+f(a2—b2)

=d(b2-c2)+e(c2—a2)+f(a2—b2)+d(b—c)(a—c)+e(c—a)(b—c),

因?yàn)閍VbVc,d>0,e<0,/>0,

所以d(b—c)(a—c)>0,e(c—a)(6-c)>0,

所以(a+b)[d[b—c)+e(c—a)+f(a—b)]>d(b2—c2)+e(c2—(x2)+f((i2—b2),

防辦-4-h^或6'-/)+e(c2-a2)+f(a2-b2)

d(b—c)+e(c—a)+/(a—b)

(b+c)[d(b—c)+e(c—a)+f(Q—fe)]=d(b2—c2)+e(c—a)(b+c)+f(a—b)(b+c)

22

—d(b—c)+e(c—a)(c—a+b—Q)+f(a—b)(Q+b+c—a)

22

=d(t)2—c)+e(c'一Q2)+/(or—b)+e(c—a)(b—a)+/(Q—b)(c—Q),

因?yàn)镼VbVc,d>0,e<0,/>0,

所以e(c—a)(b—a)<0,/(a—b)(c—a)<0,

所以(b+c)[d(b—c)+e(c-a)+/(a-&)]<d(62—c2)+e(c2—a2)+/(a2—d2),

、d(，一?)+e(c2-6)+/(居一:)

斤d(b—c)+e(c—a)+/(a—b)'

綜上，原不等式成立.

例6.用拉格朗日中值定理證明不等式：<ln（l+c）Vx{x>0）.

1+4

【解析】證明：設(shè)g（。=lnt,tG（a,6）,

則g3）符合拉格朗日中值定理的條件，即存在女￡（Q,b）,

，同=吟2,

0—a

因?yàn)間'⑴=3,由土E（a，b）,0VaV匕，

可知g'(t)e(=,-b-a>0,

\baf

即5<g%)=吟出〈工

bb—aa

丁板1-g(b)—g(a)\nb—Ina-1

可付b—a=b—a

即有"包Vin。V上工，

baa

令他~=l+c,可得出=上一1,

aa

即有~r^—Vln(l4-x)<x(x>0).

1+x

2

例7.已知函數(shù),f（i）=mx\nx（rn>nER9m￥0）的圖象在（2,/（2））處的切線與切軸平行.

（1）求出館的關(guān)系式并求/Q）的單調(diào)減區(qū)間；

（2）證明:對(duì)任意實(shí)數(shù)0V電V22V1,關(guān)于Z的方程：/⑵->（6）-*的）=0在⑶，詞恒有實(shí)數(shù)解；

X2~Xi

（3）結(jié)合（2）的結(jié)論，其實(shí)我們有拉格朗日中值定理：若函數(shù)/（⑼是在閉區(qū)間［a,b］上連續(xù)不斷的函

數(shù)，且在區(qū)間（a,6）內(nèi)導(dǎo)數(shù)都存在，則在（a向內(nèi)至少存在一點(diǎn)g,使得/'（期）=〃'?1/（”）.如我們所

學(xué)過的指、對(duì)數(shù)函數(shù)，正、余弦函數(shù)等都符合拉格朗日中值定理?xiàng)l件.試用拉格朗日中值定理證明：

當(dāng)0Va<6時(shí)，"2Vin。〈三區(qū)（可不用證明函數(shù)的連續(xù)性和可導(dǎo)性）.

baa

【解析】解：⑴因?yàn)閒'（c）=3mx2+2nx,----------（1分）

由已知有『（2）=0,所以37n+n=0即九=—3m----------（2分）

即f'3）=3，mx2—6mx,由f\x）>0知mx（x—2）>0.

當(dāng)M>0時(shí)得1V0或力>2JQ）的減區(qū)間為（0,2）;--------（3分）

當(dāng)館V0時(shí)得：0<x<2,/（x）的減區(qū)間為（-8,0）和（2,+8）；--------（4分）

綜上所述：當(dāng)zn>0時(shí)，/（c）的減區(qū)間為（0,2）;

當(dāng)?72Vo時(shí)，/（力）的減區(qū)間為（-8,0）和⑵4-oo）；--------（5分）

（2）*.*~"叼）=771（曷+屆+力112-3/1-312）>--------------------（6分）

X2-Xy

?"㈤一0,

X2-Xi

可化為3X2—6X—猶—后—Ci力2+3⑦i+3①2=0,令h(x)=3c2—6c—屑一病—力應(yīng)2+3ah+3宓2------(7分)

則九(g)=(X1-X2)(2XI+X2—3),h(x2)=(以一①1)(處+2①2-3),

即h(xi)h(x2)=一(力1—62)2(2ci+g—3)(21+212—3)又因?yàn)?V⑻VgV1,所以(2處+62—3)<0,(xi

+2x2-3)V0,即h(x!)h(x2)<0,-------------------(8分)

故拉（2）=0在區(qū)間Qi,X2）內(nèi)必有解,

/㈤)一/3)

即關(guān)于/的方程/3)一=0在(?,X2)恒有實(shí)數(shù)解--------(9分)

X2—Xi

(3)令g(x)=Inc,x6(a,b),—(10分)

則5(?)符合拉格朗日中值定理的條件，即存在的€(a,b),

0(b)-0(a)_Inb—Ina

使g'(g)=(11分)

b—ab-a

因?yàn)間'(c)=工，由cE(a,b),0VQVb可知g'(力)€(y-,—),b—a>0(12分)

XUCL

g(b)—g(a)In/?—Ina^n"a

即、vj(助)=

b-ab-ab—aa

,??中b-a

(14分)

oaa

例8.已知/(I)=4d—2d+c2+4,gQ)=ex-e2~x+f(.r),

(i)若/(0在c=i+2處取得極值，試求c的值和/Q)的單調(diào)增區(qū)間；

(2)如圖所示,若函數(shù)y=/(0的圖象在［a,b］連續(xù)光滑，試猜想拉格朗日中值定理:即一定存在cC

要二利用這條性質(zhì)證明：函數(shù)U=gQ)圖象上任意兩點(diǎn)的連線斜率不小于

(Q,b),使得『(c)=

b-a

【解析】解：(1)/'(T)=2T2—4T4-c,(1分)

依題意,有f(1+V2)=0?即c=-2(1+V2)2+4(l+A/2)=-2.