空氣動力學第二章流體運動學和動力學基礎（12學時）*本章講授內容比教材第二章多第2章流體運動學和動力學基礎

2.1描述流體運動的方法2.1.1兩種描述方法2.1.2歐拉法的加速度表達式2.1.3流線、流管、流面與流量2.2流體微團運動的分析2.3理想流體運動微分方程組2.3.1連續方程2.3.2Euler運動微分方程組2.3.3Bernoulli積分及其物理意義2.3.4Bernoulli方程的應用2.4流體運動的積分方程2.4.1Lagrange型積分方程2.4.2Reynolds輸運方程2.4.3Euler型積分方程2.5環量與渦2.5.1環量與渦的概念2.5.2環量與渦量的關系2.5.3渦的誘導速度2.5.3理想流中的渦定理2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課2.1描述流體運動的方法2.1.1拉格朗日方法與歐拉方法連續介質假設：流體是由質點組成，無空隙地充滿所占據的空間。對于無數多的流體質點，當其發生運動時，如何正確描述和區分各流體質點的運動行為，將是流體運動學必須回答的問題。描述流體運動的方法有兩種。2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課2.1描述流體運動的方法1、Lagrange方法（拉格朗日方法，質點法）

Lagrange(1736-1813)，法國數學家、物理學家，分析力學的創始人，曾被拿破侖稱為“數學科學高聳的金字塔”。在該方法中，觀察者著眼于個別流體質點的流動行為，通過跟蹤每個質點的運動歷程，從而獲得整個流場的運動規律。（跡線的概念）描述剛體運動常用的方法漂流瓶2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課x(a,b,c,t),y(a,b,c,t),z(a,b,c,t)

其中，a,b,c為流體質點的標識符，用于區分和識別各質點，可理解為某個時刻質點存在的空間位置坐標。

t表示時間。a.b.c.t稱為拉格朗日變數。

a.b.c給定，表示指定質點的軌跡。

t給定，表示在給定時刻不同質點的空間位置。

(警察抓小偷的方法)xyz·(a,b,c)2.1描述流體運動的方法2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課質點法—觀察者著眼于個別流體質點，所獲取的第一手資料是流體質點的軌跡2.1描述流體運動的方法2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課對于給定流體質點，速度表達式是流體質點的加速度為2.1描述流體運動的方法2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課流體質點的其它物理量也都是a,b,c,t的函數。跡線方程為2.1描述流體運動的方法2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課2、Euler方法（歐拉方法，空間點法，流場法）

Euler(1707-1783)，瑞士數學家、物理學家，提出變分原理，建立了理想流體運動方程。在該方法中，觀察者相對于坐標系是固定不動的，著眼于不同流體質點通過空間固定點的流動行為，通過記錄不同空間點流體質點經過的運動情況，從而獲得整個流場的運動規律。（引出流線概念）2.1描述流體運動的方法漂流瓶->水位測量2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課2.1描述流體運動的方法 歐拉LeonhardEuler（1707－1783年）瑞士數學家.歐拉是世界史上最偉大的數學家之一.他從19歲就開始著書，直到76歲高齡仍繼續寫作.幾乎每個數學領域，都可以看到歐拉的名字.如初等幾何的歐拉線、多面體的歐拉定理、立體解析幾何的歐拉變換公式、四次方程的歐拉解法、數論中的歐拉函數、微分方程的歐拉方程、級數論中歐拉常數、變分學的歐拉方程、復變函數論歐拉公式等。

1755年歐拉建立了理想不可壓流體運動的微分方程組（歐拉方程）。六年后，拉格朗日引入流函數的概念，建立了理想流體無旋運動所滿足的動力學條件，提出求解這類運動的復位勢法（第三章內容）。2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課其中，x,y,z為空間點的坐標。

t表示時間。x.y.z.t稱為歐拉變數。

x.y.z給定，t變化，表示不同時刻不同流體質點通過同一空間點的速度。

t給定，x.y.z變化，表示給定時刻，不同流體質點通過不同空間點的速度，給定速度場。

(守株待兔，看門房式的工作方法)2.1描述流體運動的方法2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課2.1描述流體運動的方法2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課應指出，空間點速度本質上指的是t瞬時恰好占據該空間點的流體質點所具有的速度。一個布滿了某種物理量的空間稱為場。流體流動所占據的空間稱為流場。如果物理量是速度，描述的是速度場。如果是壓強，稱為壓強場。在高速流動時，氣流的密度和溫度也隨流動有變化，那就還有一個密度場和溫度場。這都包括在流場的概念之內。2.1描述流體運動的方法速度、壓力、溫度都不是物性參數，而是流動參數2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課如果場只是空間坐標的函數而與時間無關則稱為定常場,否則為非定常場。對于定常速度場的表達為：一個速度場2.1描述流體運動的方法2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課用歐拉法來描述流場時，觀察者直接測量到的是速度，那么在流體質點的運動過程中，質點的速度變化是如何引起的，怎樣正確表示流體質點的加速度呢，以下面例子說明之。2.1描述流體運動的方法2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課參看下圖，第1圖表示流體質點從A流到B速度不變；第2圖表示流體質點從A流到B點，因水位下降引起速度減小；第3圖表示流體質點從A流到B點，因管道收縮引起速度增加；第4圖表示流體質點從A流到B點，因水位下降和管道收縮引起速度的變化。水位下降表示流場的非定常性，管道收縮表示流場的不均勻性。由此可見，一般情況下引起流體質點速度的變化來自于兩方面的貢獻：其一是流場的不均勻性，其二是流場的非定常性。2.1描述流體運動的方法進入較冷的山洞的同時，有朋友用雪球砸到脖子2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課設速度函數具有一階連續的偏導數，現在來求加速度。設某一流體質點在t時刻位于流場中M點，經過微分時段位于N點，根據加速度定義有2.1.2歐拉法的加速度表達式當地隨時間的變化，非定常性當時隨空間的變化，非均勻性2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課根據泰勒級數展開，流場非定常性引起的速度變化為2.1.2歐拉法的加速度表達式2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課由于流場不均勻性引起的速度變化為2.1.2歐拉法的加速度表達式M點為(x,y,z)，N點為(x+Δx,y+Δy,z+Δz)2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課由于流場不均勻性引起的速度變化為2.1.2歐拉法的加速度表達式2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課綜合起來，得到流體質點的全加速度為2.1.2歐拉法的加速度表達式哈密頓算子：2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課等式右邊第1項表示速度對時間的偏導數，是由流場的非定常性引起的，稱為局部加速度，或當地加速度；右邊第2項表示因流體質點位置遷移引起的加速度，稱為遷移加速度，位變加速度，或對流加速度。二者的合成稱為全加速度，或隨體加速度。寫成分量形式為2.1.2歐拉法的加速度表達式2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課算子表示隨流體質點運動的導數，稱隨體導數。除速度外，對流場中其它變量也成立。如對于壓強p，有2.1.2歐拉法的加速度表達式2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課如果流動參數是一維空間流程坐標s和時間

t的函數，速度場為v（s,t）。則全加速度表示為：vs2.1.2歐拉法的加速度表達式2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課根據上述分析，可得出以下各圖中的加速度表達式。2.1.2歐拉法的加速度表達式2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課在某一瞬時t，從流場中某點出發，順著這一點的速度指向畫一個微分段到達鄰點，再按鄰點在同一瞬時的速度指向再畫一個微分段，一直畫下去，當取微分段趨于零時，便得到一條光滑的曲線。在這條曲線上，任何一點的切線方向均與占據該點的流體質點速度方向指向一致，這樣曲線稱為流線。在任何瞬時，在流場中可繪制無數條這樣的流線。流線的引入，對定性刻畫流場具有重要意義。2.1.3流線、流管、流面與流量時間t固定2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課由于流線上各點的切線方向與該點的速度方向一致，則流線上的切線方向的三個余弦dx/ds，dy/ds，dz/ds必和流速分量與合速度組成的三個方向余弦相同。表示為微分的關系是稱為流線微分方程2.1.3流線、流管、流面與流量在拉格朗日體系下的跡線方程：（歐拉體系下）2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課流線是反映流場瞬時流速方向的曲線。其是同一時刻，由不同流體質點組成的。與跡線相比，跡線是同一質點不同時刻的軌跡線。根據流線的定義，可知流線具有以下性質：（1）在定常流動中，流體質點的跡線與流線重合。

在非定常流動中，流線和跡線一般是不重合的。（2）在定常流動中，流線是流體不可跨越的曲線。

（虛擬邊界）2.1.3流線、流管、流面與流量2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課（3）在常點處，流線不能相交、分叉、匯交、轉折，

流線只能是一條光滑的曲線。也就是，在同一

時刻，一點處只能通過一條流線。（4）在奇點和零速度點例外。2.1.3流線、流管、流面與流量2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課與流線密切相關的，是流管和流面兩個概念。流管是由一系列相鄰的流線圍成。在三維流動里，經過一條有流量穿過的封閉曲線的所有流線圍成封閉管狀曲面稱為流管。2.1.3流線、流管、流面與流量2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課由流線所圍成的流管也正像一根具有實物管壁一樣的一根管子，管內的流體不會越過流管流出來，管外的流體也不會越過管壁流進去。

流面是由許多相鄰的流線連成的一個曲面，這個曲面不一定合攏成一根流管。當然流管的側表面也是一個流面。不管合攏不合攏，流面也是流動不會穿越的一個面。2.1.3流線、流管、流面與流量2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課流量是單位時間內穿過指定截面的流體量（體積、質量或重量），例如穿過上述流管中任意截面A的體積流量、質量流量和重量流量可分別表為其中，是局部速度向量，是密度，

是微元面積的法線向量2.1.3流線、流管、流面與流量2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課2.2流體微團運動的分析2.2.1流體微團的基本運動形式在理論力學中，研究對象是質點和剛體（無變形體），它們的基本運動形式可表示為：（1）質點運動（無體積大小的空間點）只有平移運動（平動）；（2）剛體運動（剛體具有一定體積大小，但無變形）

除平移運動外，還有整體的旋轉運動（轉動）2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課2.2.1流體微團的基本運動形式

在流體力學中，研究對象是質點和不斷變化形狀與大小的變形體，就變形體而言，其運動形式除包括了剛體的運動形式外，還有變形運動。變形運動包括兩種，其一是引起體積大小變化的邊長伸縮線變形運動，其二是引起體積形狀變化的角變形運動。由此可得變形體的基本運動形式包括：（1）平動（2）轉動（3）線變形運動（4）角變形運動2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課2.2.1流體微團的基本運動形式

平動轉動（角平分線轉動）線變形運動角變形運動（角平分線不動）2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課2.2.1流體微團的基本運動形式

為便于分析，在流場中任取一平面微團分析。根據泰勒級數展開，微分面四個頂點的速度可表示如下。2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課2.2.1流體微團的基本運動形式

（1）各頂點速度相同的部分，為微團的平動速度。

（u,v,w）（2）線變形速率線變形運動是指微元體各邊

長發生伸縮的運動。線變形速率定義為單位

時間單位長度的線變形量。如對于AB邊長，

在微分時段內邊長的增加量為2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課2.2.1流體微團的基本運動形式

由此得到x方向的線變形速率(單位時間、單位長度)為同理，在y方向的線變形速率為2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課2.2.1流體微團的基本運動形式

平面微團的面積變化率為div

散度2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課2.2.1流體微團的基本運動形式

（3）角變形速率與旋轉角速度在微分時段內，AB與AC兩正交邊夾角的變化與微分平面的角變形和轉動有關。在微分時段內，AB邊的偏轉角度為（逆時針為正）2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課2.2.1流體微團的基本運動形式

在微分時間內，AC邊的偏轉角度為（順時針為負）2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課2.2.1流體微團的基本運動形式

平面微團夾角的總變化量可分解為像剛體一樣角平分線的轉動部分和角平分線不動兩邊相對偏轉同樣大小角度的純角變形部分。如圖所示。2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課2.2.1流體微團的基本運動形式

設在微分時段內，平面微團角平分線轉動角度為α，邊線的純角變形量為β，則由幾何關系可得解出可得2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課2.2.1流體微團的基本運動形式

定義，平面微團的旋轉角速度（單位時間的旋轉角度）為平面微團的角變形速率（單位時間單邊角變形量）為注意負號和1/22010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課2.2.1流體微團的基本運動形式

對于三維六面體微團而言，其運動形式同樣可分為：平動、轉動和變形運動，類似平面微團很容易導出相關公式。此處不再推導，以下直接給出。流體微團平動速度：2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課2.2.1流體微團的基本運動形式

流體微團線變形速率：

流體微團角變形速率（剪切變形速率）：流體微團旋轉角速度：2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課2.2.2流體微團速度分解定理

德國物理學家Helmholtz（1821-1894）1858年提出的流場速度的分解定理，正確區分了流體微團的運動形式。設在流場中，相距微量的任意兩點，按泰勒級數展開給出分解。在速度為2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課2.2.2流體微團速度分解定理

在點處，速度為2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課2.2.2流體微團速度分解定理

按泰勒級數展開有式中第一項和M0點的速度相同，是微團的整體移動速度。第二、三項是角速度；第四項是線變形率；第五、六項是角變形率。說明微團運動同時包含平動，轉動和變形（線變形和角變形）。微團運動＝平動＋線變形（拉伸）＋角變形＋角速度（轉動）2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課2.2.2流體微團速度分解定理

2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課

2.2.2流體微團速度分解定理

應指出的是，實際流體微團的運動可以是一種或幾種運動的組合。如，（1）對于均速直線運動，流體微團只有平動，

無轉動和變形運動。（2）無旋流動，流體微團存在平動、變形運動，但無轉動。

（3）旋轉容器內的流體運動，流體微團存在平

動和轉動，但無變形運動。2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課2.2.2流體微團速度分解定理

應指出的是，剛體的速度分解定理和流體微團的速度分解定理除了變形運動外，還有一個重要的差別。剛體速度分解定理是對整個剛體都成立，因此它是整體性定理；而流體速度分解定理只是對流體微團成立，因它是局部性定理。譬如，剛體的角速度是刻畫整個剛體轉動的一整體特征量，在剛體上任意一點都是不變的，而流體的旋轉角速度是刻畫局部流體微團轉動的一個局部性特征量，在不同點處微團的旋轉角速度不同。2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課2.2.3散度及其意義

回顧：二維情況下，平面微團的面積變化率三個相互垂直方向的線變形率之和在向量分析中稱為速度V的散度，符號為divV，即散度在流體力學里表示流體微團的相對體積膨脹率（單位時間單位體積的增長量）。散度可以看成是哈密頓算子和速度的向量點乘2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課2.2.3散度及其意義

為說明此點可取一簡單的矩形微元六面體來看，設六面體的三邊原長分別是Δx,Δy,Δz，原來體積是（ΔxΔyΔz），經過Δt時間后三個邊長分別變為：2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課2.2.3散度及其意義

則相對體積膨脹率（單位時間單位體積的增長量）為：2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課2.2.3散度及其意義

質量守恒：流體微團在運動中不論它的形狀怎么變，體積怎么變，它的質量總是不變的。而質量等于體積乘密度，所以在密度不變的不可壓流動里，微團的體積不變，其速度的散度必為零。如果是密度有變化的流動，那么散度一般地不等于零。2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課2.2.4旋度和位函數

業已知道，流體微團繞自身軸的旋轉角速度的三個分量為ωx，ωy，ωx，合角速度可用矢量表示為這個值在向量分析里記為（1/2）rotV，稱為V的旋度。旋度可以看成是哈密頓算子和速度的向量叉乘的二分之一xyzωxωyωz2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課2.2.4旋度和位函數

一個流場，如果各處的ω都等于零，這樣的流場稱為無旋流場，其流動稱為無旋流。否則為有旋流場，其流動稱有旋流。根據數學上Stokes定律如果是無旋流場，那么其旋度為零，由此得到說明此時速度場的曲線積分與路徑無關，僅是坐標位置的函數。2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課在數學分析里，上式是式成為全微分的必要和充分條件之所以提出無旋場的概念，是因為無旋場在作理論研究時有很大的意義。無旋流多了一個的限制條件。這個條件可以寫為：2.2.4旋度和位函數

2.2.4旋度和位函數

上式中這個函數稱為速度勢函數或速度位，其存在的充分必要條件是無旋流動。在數學上表示下列微分代表某個函數的全微分，即2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課2.2.4旋度和位函數

速度勢函數僅是坐標位置和時間的函數。即速度勢函數與速度分量的關系為說明速度勢函數在某個方向的偏導數等于速度矢量在那個方向的分量。類比徹體力的勢函數SxyzuVvwvs2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課2.2.4旋度和位函數

一個無旋流場一旦知道了它的位函數的具體函數，按這個式子就可以算出流場上任何一點的流速來。對于無旋場而言，問題由求解具有三個分量的速度場，變為求解一個位函數

位函數的絕對值沒有太大意義但其差值有意義。對于無旋流，沿一條連接A、B兩點的曲線進行速度的線積分，結果只與二端點的Φ值之差有關而與積分路徑無關。即：2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課2.2.4旋度和位函數

例2.1設有一個二維流場其速度分布的式子是

,問這個流動是有旋的還是無旋的？有沒有速度位存在？流線方程是什么？變形率的是什么？解：流體微團繞z軸的旋轉角速度為流動無旋，存在速度勢函數。

流線方程為2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課2.2.4旋度和位函數

積分得常數C取一系列的值畫得一系列的流線，見下圖。流體微團線變形率：角變形率：2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課2.2.4旋度和位函數

考察矩形微團ABCD，在如圖流場中將從左上方流向右下方，由于流動無旋微團不轉動；由于相對體積膨脹率為零，x方向線段有縮短，y方向線段必有拉伸，流動過程中矩形微團面積保持不變；流體微團無角變形。A’’B’’C’’D’’A’B’C’D’DCABxy02010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課2.3理想流體運動微分方程組

2.3.1連續方程

連續方程是質量守恒定律在流體力學中具體表達形式。以下針對一個微分六面體推導微分形式的連續方程。由于連續方程僅是運動的行為，與動力無關，因此適應于理想流體和粘性流體。現在流場中劃定一個邊長分別為dx，dy，dz的矩形六面體，這個體的空間位置相對于坐標系是固定的，不隨時間變化，被流體所通過。2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課2.3.1

連續方程

1.選取一個形狀為六面體的微元做為控制體2.假設六面體中心點坐標為（x，y，z）。在t時，過中心點流體微團的三個分速是u，v，w，密度是ρ。在t瞬時，過該點處通過垂直于x軸單位面積的流體流量為ρu（又稱為密度流），如果把這個量看作為空間和時間的函數，則根據泰勒級數展開，在dt時段內，從ABCD面進入的流體質量為：xzyABCDA’B’C’D’質量流量的定義？2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課2.3.1連續方程

3.在dt時段內，從A’B’C’D’面流出的流體質量為4.在dt時段內，由x面儲存在在微分六面體的流體質量為（凈流入量）2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課2.3.1連續方程

5.同理可得，在dt時段內，由y,z面儲存在微分六面體的流體質量為

6.由此可得，在dt時段內由所有側面流入到微分六面體的凈流體總質量為2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課2.3.1連續方程

7.由于ρ是空間位置和時間的函數，在dt時段內，由于密度變化引起微分六面體質量的增加量為8.根據質量守恒定律，在dt時段內從側面凈流入微分六面體的總質量應等于六面體內流體質量因密度隨時間變化的引起增量。即2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課2.3.1連續方程

上式兩邊同除以dxdydzdt，整理得到微分形式的連續方程。即:2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課2.3.1連續方程

連續方程的物理意義是：流體微元控制體密度的局部增長率與微元控制體單位體積流出的質量流量之和等于零。

等于微元控制體上單位體積流出的質量流量的原因在于，因為有高斯公式：（顯然當密度不變時，可將散度看成單位體積流出的體積流量）

2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課2.3.1連續方程

對于不可壓縮流體，連續方程變為不可壓連續方程的物理意義是：不可壓縮流動流體微元的相對體積膨脹率保持為零，或從微元控制體流出的單位體積流量為零。1.不可壓指的是每個質點的密度在流動過程中保持不變，但是這個流體質點和那個流體質點的密度可以不同，即流體可以是非均值的，因此不可壓縮流體的密度并不一定處處都是常數，例如變密度平行流動。不可壓、均值與密度為常數的關系*2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課2.3.1連續方程

2.而均值流體的定義是▽ρ＝0，即密度在空間上處處均勻，但不能保證隨時間不變化。3.只有既為不可壓縮流體，同時又是均值時，流體的密度才處處都是同一個常數。由不可壓條件得到，由均值流體條件得到

從而有。于是=C，即流體密度既不隨時間變化，也不隨位置發生遷移變化，在整個流場中是個常數。4.反過來，=C的流體必然滿足不可壓條件，是不可壓流體。2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課連續方程是流動首先應該滿足的基本關系。例如，速度場：滿足不可壓連續方程，能夠代表一個三維不可壓縮流動。則不能夠代表一個三維不可壓縮流動。而速度場：此外，還可以根據某方向的速度分布和連續方程，確定出其他方向的速度分布。2.3.1連續方程

例：設不可壓縮流體在xoy

平面內流動，速度沿x軸方向的分量u=Ax(A

為常數)，求速度在

y

軸方向的分量v。解：對于不可壓縮流動，密度的隨體導數由微分形式連續方程：2.3.1連續方程

如果流動非定常，上式中函數f(x)則應為f(x，t)。而函數f(.)

的形式可任取。因此v

有無窮多個解。如果設v在x

軸上的分布為0即f(x)

＝0

，則：2.3.2Euler運動微分方程組

歐拉運動微分方程組是在不計流體粘性前提下推導出來的，該方程實質上是微分形式的動量方程。在流場中劃出一塊三邊分別的為dx，dy，dz的微元矩形六面體的流體微團來看，不計粘性力，表面力沒有切向力，僅有法向力（壓力）一種。xyz·Pdxdydz2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課設六面體中心點坐標為(x,y,z)，相應該點處的流體要素為:1)壓強p(x,y,z,t)2)單位徹體力fxfyfz

3)速度u,v,w

4)密度ρ。

*暫不考慮溫度在微元體的左面，壓力為在微元體的右面，壓力為2.3.2Euler運動微分方程組

xyz·Pdxdydz微元六面體質量力在x方向的分力為根據牛頓定律：x

方向合外力等于質量乘以x方向加速度，得2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課2.3.2Euler運動微分方程組

兩邊同除以微元體積的質量dxdydz，取極限得到x方向的運動方程。為：請注意，這里寫成全加速度形式，是因為在上述分析過程中，在微分時段內跟隨流體微團建立的。或者可表示為：同理可得其它兩個方向的運動方程。綜合起來，有2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課2.3.2Euler運動微分方程組

上三式即為笛卡兒坐標系下理想流體運動的歐拉方程（1755年，歐拉）。表明了流體質點的加速度等于質量力減去壓力梯度。寫成另一種形式，為：矢量形式2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課歐拉方程規定了理想流的壓強變化與速度變化和徹體力之間的關系。我們不妨把速度的變化和徹體力的存在看作是壓強之所以有變化的原因，這兩個使壓強起變化的因素是彼此獨立的，對于壓強的作用是分開來計算的。

對于如圖的一維理想流動，利用牛頓定律很容易證明歐拉方程為：sV2.3.2Euler運動微分方程組

2.3.2Euler運動微分方程組

如果把加速度項重新組合，把加速度的遷移部分改寫，把角速度配成顯式，這樣的方程稱為格羅米柯-蘭姆型方程。如x方向的方程，有2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課2.3.2Euler運動微分方程組

由此可得“格羅米柯形式”為寫成矢量形式為2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課這個方程本質上仍是在理想流體運動方程。其好處是在方程中顯示了旋轉角速度項。便于分析無旋流動。

對于理想流體，可以無旋運動也可以有旋運動。只是對于理想流體，微團在運動過程中不會受到切向力的作用，因而流體微團在運動過程中不會改變它的旋度，如原來旋度為零的（即無旋流）在運動過程也保持無旋流；原來有旋的，繼續保持為有旋流，且其旋度不變。2.3.2Euler運動微分方程組

2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課對于理想正壓流體，在質量力有勢條件下，假設為定常流動，有：這樣格羅米柯方程變為：現在流場中，任取一條光滑曲線dS，并將上式投影到曲線上，有：

2.3.3Bernoulli積分方程及其物理意義這就是Bernoulli積分，或伯努利方程。上式表明，對于理想正壓流體的定常流動，在質量力有勢條件下，單位體積流體微團沿著這條特定曲線s的勢能、壓能和動能之和不變，即總機械能不變。（1738年,Bernoulli）2.3.3Bernoulli積分方程及其物理意義這樣在曲線上，下式成立：如果上式右邊項為零，有2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課2.3.3Bernoulli積分方程及其物理意義Bernoulli積分成立的條件，是（1）沿著任意一條流線，Bernoulli積分成立。這是因為，在此情況下（2）沿著任意一條渦線，Bernoulli積分成立。這是因為，在此情況下2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課（3）在以下條件下，Bernoulli積分與所取的曲線無關，在整個流場中積分常數不變，等于同一個常數。

(a)靜止流場，

(b)無旋流場，有勢流動,

(c)流線與渦線重合，即螺旋流動,2.3.3Bernoulli積分方程及其物理意義注意Bernouli方程的適用范圍2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課對于不可壓縮流體，在不計質量力情況下，Bernoulli積分

變為：如果質量力只有重力，Bernoulli積分變為2.3.3Bernoulli積分方程及其物理意義如果兩邊同除以g，最后得到的能量方程形式為上式表示不可壓縮流體，在質量力為重力作用下的能量方程。表明：單位重量流體所具有的勢能、壓能和動能之和不變。2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課2.3.3Bernoulli積分方程及其物理意義y-----表示單位重量流體相對于基準面高度，稱為位置水頭；p/γ

----表示單位重量流體在絕對真空管中上升的高度，稱為壓強水頭；V2/2g---表示單位重量流體垂直上拋所能達到高度，稱為速度水頭；H---表示沿流線單位重量流體具有的總能量，稱總水頭。y1y2H1H2靜力水頭線總水頭線12yx與靜力學中的平衡液體基本方程進行對比2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課2.3.4Bernoulli方程應用例.求如圖光滑容器中小孔的出流速度v，假設小孔中心距自由面深為h解.由于是小孔出流，因此自由面的水位下降速度v0與小孔的出流速度相比可以忽略不計，流動可以假設是定常的。假設不計粘性損失。沿小孔中心點處一根流線列伯努利方程，由于是小孔，中心點處速度可以近似代表小孔速度vhpapa2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課2.3.4Bernoulli方程應用此式也可是將流動看成是一維流動的結果，從而（由于實際上粘性不可忽略，實際速度將略低于上述理論值,有：，其中cv叫做速度系數，實驗表明cv＝0.97）2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課測量低速氣流的速度時，用的風速管就是根據上述原理設計并由上式去計算風速的。風速管的構造很簡單，見右下圖。2.3.4Bernoulli方程應用2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課2.3.4Bernoulli方程應用總壓孔對準來流，來流撞在孔上速度降為零，相應的壓強達到了總壓p0

，而靜壓空處感受到的是靜壓。測量時不必分開量總壓和靜壓，只要把二者接在一根U形測壓計的兩支上，看二者的差（p0-p）就行了。2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課2.3.4Bernoulli方程應用例.在海平面上，直勻流流過一個機翼，遠前方直勻流的靜壓p=p∞＝101200牛/米2，流速=100米/秒。已知A，B，C三點的速度分別是VA=0，VB=150米/秒，VC=50米/秒，空氣在海平面的ρ=1.255千克/米3

。假設流動無旋，求A、B、C三點的壓強直勻流對機翼的繞流2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課2.3.4Bernoulli方程應用解:流動是無旋的，伯努利常數全流場通用。根據遠前方的條件得這就是通用于全流場的常數。于是2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課2.3.4Bernoulli方程應用例有一種二維的繞其固定軸線的旋轉流動，其υθ正比于半徑r，即υθ=kr，如圖。試證伯努利常數C是r的函數。證:先沿著流線寫出伯努利方程 對半徑取導數：一種旋轉流動2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課2.3.4Bernoulli方程應用法向壓力差必須平衡微團的離心力，故有左側的第二項是AD面和BC面上的壓力在r向的投影。略去微量的高次項，得代入的式子，并將代入，得2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課2.3.4Bernoulli方程應用如果速度場是試證明，能量方程的積分常數對整個流場是不變的。Bernouli方程的積分常數，在什么情況下在整個流場范圍內不變？2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課2.3.4Bernoulli方程應用該流場實際上是一個無旋流場，能量方程積分常數不變。對于在流場中一個集中的旋渦，分渦核和渦核外的誘導流場。在渦核內流體質點像剛體一樣繞渦軸旋轉，其周向速度與r成正比，在渦核外的誘導流場是無旋運動，其周向速度與r成反比。2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課2.4流體運動的積分方程2.4.1基本概念流體動力學是研究產生流體運動的原因。為此，我們必須解決三個方面的問題：（1）流體的運動學問題；（2）作用于流體上各種力的特征；（3）控制流體運動的普遍規律（質量守恒、牛頓第二定律（動量守恒）、動量矩守恒、能量守恒等）2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課流體動力學方程是將這些描述物質運動的普遍規律，應用于流體運動的物理現象中，從而得到聯系流體運動各物理量之間的關系式，這些關系式就是流體動力學的基本方程，如果關系式是以積分形式給出，稱為流體動力學積分方程，如果是以微分形式給出，稱為微分方程。在流體動力學積分方程中，具體包括：

（1）連續方程；（2）動量方程；（3）動量矩方程；（4）能量方程2.4.1基本概念2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課1、系統(System)定義：系統是指包含著確定不變物質的任何集合體，稱為系統。在流體力學中，系統是指由任何確定流體質點組成的團體。系統的基本特點（1）系統邊界隨流體一起運動；（2）在系統的邊界上沒有質量的交換；（3）在系統的邊界上受到外界的表面力；（4）在系統的邊界上存在能量的交換。2.4.1基本概念2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課2.4.1基本概念例如，F=ma，F指作用于系統上所有外力的合力。a指系統的平均加速度。系統對應于Lagrange觀點，即以確定的流體質點系統作為研究對象，研究系統各物理量的關系。2、控制體（ControlVolume）定義：被流體所流過，相對于某個坐標系而言，固定不變的任何體積稱為控制體。控制體的邊界，稱為控制面。控制體是不變的，但占據控制體的流體質點隨時間是變化的。控制體的基本特點2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課（1）控制體的邊界相對于坐標系而言是固定的；（2）在控制面上可以發生質量交換，即流體可以流進、流出控制面；（3）在控制面上受到外界作用于控制體內流體上的力；（4）在控制面上存在能量的交換。例如，F=ma，F指作用于控制體邊界面上所有作用于流體上外力的合力。控制體對應Euler觀點，即以通過確定的體積流體質點作為研究對象，研究控制體內流體各物理量的關系。2.4.1基本概念2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課2.4.1Lagrange型積分方程

現任取一體積，邊界表面積為S0的確定系統作為考察對象。（1）連續方程（質量守恒）表示，在系統內不存在源和匯的情況下，系統的質量不隨時間變化。2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課2.4.1Lagrange型積分方程（2）動量方程表示：系統的動量對時間的變化率等于外界作用于系統上的所有外力的合力。（3）動量矩方程表示：系統對某點的動量矩對時間的變化率等于外界作用于系統上所有外力對同一點力矩之和。2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課（4）能量方程表示：單位時間內由外界傳入系統的熱量Q與外界對系統所做的功W之和等于該系統的總能量E對時間的變化率。傳給系統的熱量：熱傳導和熱輻射。單位時間內，由系統表面傳入的總熱傳導量為2.4.1Lagrange型積分方程2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課單位時間內，系統所吸收的熱輻射總量為單位時間內，由質量力和表面力所做的功為2.4.1Lagrange型積分方程最后的能量方程形式為2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課2.4.2Reynolds輸運方程如要將Lagrange型積分方程改造成為適合于控制體的形式，首先必須解決隨體導數在控制體上的表示形式。設對于任意函數，在系統上的積分式為2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課與前面各物理量對應起來，取不同的變量組合，I代表不同的物理量積分。即當=1時，N=M代表系統的質量；當時，N=K代表系統的動量；當時，N=Mr代表系統的動量矩；當時，N=E代表系統的能量。

(被積函數隨時間的變化+系統體積隨時間的變化)引起的2.4.2Reynolds輸運方程2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課為了區分系統和控制體；對于體積和面積帶下標為0的是針對系統的，無下標的是針對控制體的。設在t時刻某流體系統與控制體重合，在t+t時刻該系統的體積和位置均發生了變化。在t時刻，系統的體積為，在t+t時刻該系統的體積變為，如用表示兩者的公共部分，則有2.4.2Reynolds輸運方程2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課在t時段內，某函數的增量為（表示物理量的隨體變化增量）2.4.2Reynolds輸運方程2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課分解上式，有

2.4.2Reynolds輸運方程（物理量的隨體導數）（體積不變，物理量隨時間變化引起的）（體積變化引起物理量的變化）2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課由于2.4.2Reynolds輸運方程對于時間變化項，有2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課對于第3項的體積變化量2.4.2Reynolds輸運方程（流入控制體的物理量）對于第2項的體積變化量（流出控制體的物理量）2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課2.4.2Reynolds輸運方程最后合起來，得到Reynolds輸運方程為通過控制面凈流出量為2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課2.4.2Reynolds輸運方程這就是表示系統隨體導數的Reynolds輸運方程。各項物理意義為（1）--表示控制體內物理量隨時間的變化率，表征了流場的非定常特性。（2）--表示單位時間內，通過控制面流出物理量的凈增量，是由于流場的不均勻性引起的。綜合起來，表示系統的隨體導數等于單位時間內控制體內物理量隨時間引起的增量與通過控制面流出物理量的凈增量之和。2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課Euler型積分方程是對控制體建立的積分方程。利用Reynolds輸運方程，可很容易獲得。（1）連續方程（質量守恒）如果取=1，得到連續方程在控制體內無源和匯的情況下，單位時間內從控制體流出的質量等于控制體內質量的減小量。2.4.3Euler型積分方程2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課（2）動量方程單位時間內，在控制體內動量的增量加上通過控制面流出的凈動量等于外界作用于控制體上所有外力之和。2.4.3Euler型積分方程2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課（3）動量矩方程

單位時間內，控制體內動量矩的增量加上通過控制面流出的凈動量矩等于外界作用于控制體上所有外力矩之和。2.4.3Euler型積分方程2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課（4）能量方程單位時間內，控制體內總能量的增量加上通過控制面流出的凈總能量等于傳給控制體內流體的熱量加上所有力對控制體內流體所做的功。2.4.3Euler型積分方程2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課對于理想流體、質量力有勢、絕熱定常流動，可將能量方程進行簡化。對于絕熱流動在質量力有勢的情況下2.4.3Euler型積分方程2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課對于定常流動，由連續方程可得2.4.3Euler型積分方程對于理想流體，有對于定常流動，有2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課代入能量方程中，得到對于不可壓流體的絕熱定常流動，有2.4.3Euler型積分方程2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課對于如圖的第二類控制體（機翼被包含在控制體之內），我們將動量方程作些變換和說明，得到更常用的形式。設機翼受力在三個方向的分量為Fx、Fy和Fz。機翼對控制體流體的作用力的三個分量為－Fx、－Fy和－Fz。2.4.3Euler型積分方程2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課2.4.3Euler型積分方程我們將控制體外部取得離機翼足夠遠，這樣即使翼面附近有粘性力，到了S面上也沒有粘性力了只有壓力的作用，從而x方向表面力為：控制體內的x方向質量力為：控制體內流體在x方向所受的合外力為：(n,x)np2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課2.4.3Euler型積分方程控制體內x方向的動量隨時間變化率及凈流出控制面的動量流量為：注：上面的表達中，連接S和S1雙層面上的面積分為0由動量積分方程，可得2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課2.4.3Euler型積分方程積分形式動量方程的一個重要方面在于人們往往不需要知道控制體中的流動細節，只需要知道控制面邊界處的流動屬性來求作用力，這個作用力可以包含摩擦力的影響在內，例如用上述方程來求物體受到的阻力等。上述方程常常用于定常流動的氣體中，用于定常流時上式中的當地變化率一項等于零，用于氣體則質量力可以忽略。2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課2.4.3Euler型積分方程例．有一種尾跡詳測法可以用來測量一個二維物體的型阻（型阻是由粘性直接間接造成的物體阻力）。我們來看一看要測哪些量，并怎樣使用積分形式的動量方程。2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課2.4.3Euler型積分方程解：取控制面S，如圖。在物體的前方相當遠的地方氣體流基本上還沒有受到物體的影響還是直勻流。在物體后面一定距離的地方，那里的氣流的靜壓已經和來流的靜壓沒有什么區別了，但尾跡區速度分布仍然受到影響如圖。動量法測型阻

p1、v1p2、v22010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課2.4.3Euler型積分方程上下兩根連結流線取在遠離物體的地方，在那里流速和靜壓都和原來的來流值一樣。在這個S面上作用的靜壓既然都是同一個值，那末壓力做面積分的結果必是零。

設流動定常，時間導數不存在。在氣流中徹體力項也略去不計。根據動量方程，只需計算越過控制面的動量流量即可，設翼型受到的阻力為Fx。2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課2.4.3Euler型積分方程下面舉一簡單例子說明如何綜合應用動量方程與動量矩方程例：求寬度為b的二維不可壓定常射流對固定斜板（與水平成θ角）的（1）板對流體的作用力（2）射流寬度比b1/b2（3）力的作用點設不計重力和流動損失。θb,vb1,v1b2,v22010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課2.4.3Euler型積分方程解：由于是自由射流，射流開始處及1、2截面處壓強均為大氣壓。分別沿上下兩根流線列不計重力的伯努利方程可得：v1=v2=v（或認為流動均勻無旋，伯努利常數全場成立）由質量方程可知：Q＝Q1＋Q2

或b=b1+b2（1）求作用力如圖建立坐標系，取控制體如圖，假設控制體受力為R，由y向動量方程：（注意控制面上大氣壓無合力）2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課2.4.3Euler型積分方程可見θ＝900時受力最大斜板受力與此大小相等方向相反。（2）求射流寬度比b1/b2由x向動量方程：θb,vb1,v1b2,v22010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課2.4.3Euler型積分方程考慮到：v1=v2=v，有上式與b=b1+b2

聯立得：故得射流寬度比：由于速度相等，這也是流量比Q1/Q22010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課2.4.3Euler型積分方程（3）求力的作用點e

設力的作用點距y軸的距離為e，設順時針方向為矩的正方向，由動量矩方程θb,vb1,v1b2,v2xyRe2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課2.4.3Euler型積分方程僅當θ＝900

時合力的作用點才通過射流中心2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課2.5環量與渦

自然界和工程中的渦現象龍卷風2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課自然界和工程中的渦現象2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課自然界和工程中的渦現象海洋表面的旋渦2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課自然界和工程中的渦現象云層中的旋渦2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課自然界和工程中的渦現象點燃火柴產生的渦2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課自然界和工程中的渦現象翼尖渦2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課自然界和工程中的渦現象三角翼的前緣渦2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課自由渦自然界和工程中的渦現象2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課自然界和工程中的渦現象園盤繞流尾流場中的旋渦園球繞流尾流場中的旋渦2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課自然界和工程中的渦現象園柱繞流尾流場中的旋渦有攻角機翼繞流尾流場中的旋渦2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課自然界和工程中的渦現象三元機翼繞流（集中自由渦））三元機翼（翼端繞流）2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課自然界和工程中的渦現象震蕩翼型的脫落渦2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課自然界和工程中的渦現象三維魚游尾流模擬（渦脫落）

2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課自然界和工程中的渦現象二維圓柱繞流的卡門渦街2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課自然界和工程中的渦現象三維圓柱繞流的卡門渦街2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課自然界和工程中的渦現象二維平板繞流的卡門渦街形成過程2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課2.5.1環量與渦的概念研究流動的問題，還有兩面個極重要的概念，一個叫環量，一個叫做渦。環量的定義

在流場中任取一條封閉曲線，速度沿該封閉曲線的線積分稱為該封閉曲線的速度環量。像力做功的計算方法一樣，也形象地稱速度環量為速度繞封閉曲線的速度功。速度環量的符號不僅決定于流場的速度方向，而且與封閉曲線的繞行方向有關，規定積分時逆時針繞行方向為正，即封閉曲線所包圍的區域總在行進方向的左側。2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課2.5.1環量與渦的概念沿曲線AB作速度的線積分沿閉曲線速度的線積分

如果把一個速度向量分成三個坐標軸方向的三個分量u,v,w,把線段ds也分解成dx,dy,dz三個方向的三個線段，有2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課2.5.1環量與渦的概念于是環量表達式為如果流動是無旋的，存在位函數Φ，那末上式中的ux,vy,wz都可以用Φ的偏導數表達。2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課2.5.1環量與渦的概念說明在無旋流動中，沿著任意一條封閉曲線的速度環量均等于零。但是對于有旋流動，上述結論并不成立。繞任意一條封閉曲線的速度環量一般等于零。

渦量概念是指流場中任何一點微團角速度之二倍，如平面問題中的2ωz

，稱為渦量，渦量是個純運動學的概念。在有旋流動中的速度環量是1869年Thomson首先引進的。2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課2.5.1環量與渦的概念在三維流里，流體微團可以有三個方向的角速度ωx,ωy,ωz,三者合為一個合角速度是2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課2.5.1環量與渦的概念旋轉軸線都按右手定則確定。合角速度是個向量，它的三個方向余弦是ωx/ω,ωy/ω,ωz/ω。

像流線一樣，在同一瞬時，如在流場中有一條曲線，該線上每一點的渦軸線都與曲線相切，這條曲線叫渦線。渦線的微分方程是（給定時刻，t為參量）。渦線2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課2.5.1環量與渦的概念給定瞬間，通過某一曲線（本身不是渦線）的所有渦線構成的曲面稱為渦面。由封閉的渦面組成的管狀渦面稱為渦管。渦面渦管渦線是截面積趨于零的渦管。渦線和渦管的強度都定義為繞渦線或渦管的一條封閉圍線的環量。2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課2.5.1環量與渦的概念渦量在一個截面上的面積分稱為渦通量（渦強），在平面問題中，渦通量就是在三維空間問題中，渦通量就是式中的S

是任意形狀空間曲面，dS的為曲面的微元面積。nγ空間問題的渦通量平面問題的渦通量2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課2.5.2環量與渦量的關系在有旋流動中，速度環量與渦量是否存在聯系，如果存在關系如何。為回答這個問題，首先考察二維流場。在二維流場中，任取封閉曲線，然后把該封閉曲線所圍成的面積用兩組坐標的平行線分割成一系列微小面積，做每一塊微小面積的速度環量并求和，得到總的速度環量。2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課2.5.2環量與渦量的關系對于微元ABCD，速度環量為2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課2.5.2環量與渦量的關系繞整個封閉曲線的速度環量為上式為二維問題中的格林公式。沿平面上一封閉圍線l做速度的線積分，所得的環量等于曲線所圍面積上每個微團角速度的2倍乘以微團面積之和，即等于通過面積S的渦通量。2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課2.5.2環量與渦量的關系如果圍線內沒有渦，那末沿圍線的環量必是零。如果把圍線放大一些，盡管面積放大了，但只要包進去的面積里沒有渦，那么環量值并不會改變。但是速度環量等于零，不能說明圍線內無渦。推廣到三維空間中的封閉曲線L上，計算的速度環量仍等于二倍角速度乘圍線所包的面積，但這面積應取其在與渦線相垂直的平面上的投影值。沿一塊有限大的曲面S的圍線L的環量仍等于S面上各點的二倍角速度與面積dS點積。即2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課2.5.2環量與渦量的關系其實這公式是斯托克斯公式，描述曲線積分與曲面積分之間的關系。2010年版本北京航空航天大學《空氣動力學》國家精品課2.5.2環量與渦量的關系三維流中環量與渦的關系nγ即沿空間封閉曲線L的環量，等