中國精算師考試《精算模型》預測試題卷一[單選題]1.設某隨機變量X的生存函數(shù)為：。若=45，則=()。

A.90B.120C.135D.450E.500參考答案：C參考解析：由生存函數(shù)的性質(zhì)S（0）=1，得：b=1。又由，解得：。從而則k=60。所以[單選題]2.設與是兩個相互獨立的隨機變量，如果Z=max（，），Y=min（，），則下列選項錯誤的是()。A.Y的生存函數(shù)是X1與X2生存函數(shù)的乘積B.若與都服從指數(shù)分布，則Y也服從指數(shù)分布C.若與都服從指數(shù)分布，則Z不服從指數(shù)分布D.Z的累積分布函數(shù)為與累積分布函數(shù)的乘積E.Z的密度函數(shù)為與密度函數(shù)的乘積參考答案：E參考解析：A項，SY（y）=P（Y>y）=P[min（X1，X2）>y]=P（X1>y，X2>y）=P（X1>y）?P（X2>y）B項，設X1~exp（λ1），X2~exp（λ2），則有：，即；C項，設X1~exp（λ1），X2~exp（λ2），則：，即Z不服從指數(shù)分布；D項，E項，，所以Z的密度函數(shù)為：[單選題]3.已知生存模型：，，則=()。A.0.023B.0.034C.0.056D.0.067E.0.079參考答案：D參考解析：由已知得：[單選題]4.已知，則f30=()。A.0.5B.0.6C.0.7D.0.8E.0.9參考答案：A參考解析：由已知得：[單選題]5.假設某保險的損失額服從指數(shù)分布：保單規(guī)定免賠額為100元，賠償限額為1000元，賠付比例為0.8。則每次賠償事件的實際平均理賠額為()。A.119.7B.115.7C.113.7D.117.7E.111.7參考答案：A參考解析：X的分布函數(shù)為，由公式得：E（X∧100）=150=72.987E（X∧1000）=150=149.809E（Y*）=[E（X∧1000）－E（X∧100）]=61.457每次賠償事件的實際平均理賠額為：[單選題]6.某險種保單在2010年的損失額X滿足下面的分布性質(zhì)：E（∧d）=－0.025d2+1.475d－2.25，d=10，11，12，…，26假設2011年的保單損失額比2010年提高10％。保單規(guī)定賠償高于免賠額11的全部損失，最高的賠償金額為11，則2011年的平均賠付額比2010年平均賠付額提高了()。A.11.5%B.12.3%C.13.6%D.14.9%E.15.7%參考答案：A參考解析：設X表示2010年的損失額，Y表示2010年的每張保單的賠付額。所以則E（Y）=E（X∧22）－E（X∧11）=（－0.025×222+1.475×22－2.25）－（－0.025×112+1.475×11－2.25）=18.10－10.95＝7.15由于2011年的保單損失額比2010年提高10％，但免賠額和最高賠償金額沒有變化，因此2011年的保單賠付額可以表示為：E（Y＇）=1.1[E（X∧20）－E（X∧10）]=1.1×[（－0.025×202+1.475×20－2.25）－（0.025×102+1.475×10－2.25）]=1.1×（17.25－10）=7.975因此，2011年的每張保單的平均賠付額比2010年的提高了11.5％。[單選題]7.在個體風險模型中，已知一個保險公司保單組合的理賠總額S的分布函數(shù)，如下表所示。已知每張保單的理賠額單位為100。其中一張保單的理賠額分布為。當此保單的理賠額的分布變?yōu)闀r，該保單組合在調(diào)整后的總理賠額不超過500的概率為()。

A.0.69B.0.70C.0.76D.0.79E.0.85參考答案：D參考解析：當保單的理賠額分布為：，根據(jù)卷積公式得：當保單的理賠額分布變?yōu)椋海瑒t有故，[單選題]8.一個投資者購買債券，規(guī)定10年后到期。到期時，其價值為買價的3倍，每一張債券被拖欠不還的概率為30%，如被拖欠，其價值為0，而且不同的債券被拖欠是相互獨立事件。則他至少要購買()張債券，才能保證以95%的概率，使其投資10年后加倍（不計利息）。A.506B.508C.510D.512E.514參考答案：D參考解析：設其購買n張債券，每張花費為A，則10年以后，其價值為一隨機變量X，滿足條件Pr（=0）=0.3，Pr（=3A）=0.7，n張債券的總價值為相互獨立的隨機變量和，即S=++…十且E[S]==0.7×3A×n=2.1An；[S]==0.7×（1－0.7）×9A2n=1.89A2n。又由已知得：Pr（S>2An）=Pr（）≥0.95，由中心極限定理得：>1.645，即n>511.44。故該投資者至少要購買512張債券，才能保證以95%的概率使他的投資10年后加倍。[單選題]9.假定理賠次數(shù)N服從幾何分布，概率分布為，n=0，1，2，…，0；個別理賠額服從參數(shù)為的指數(shù)分布，聚合理賠的矩母函數(shù)等于()。A.B.C.D.E.參考答案：A參考解析：由已知，有故[單選題]10.復合風險模型S的個體索賠額為正整數(shù)，索賠次數(shù)N服從期望為b的泊松分布。已知E（S）=1.68，且S的概率函數(shù)滿足：則b－k=()。A.－0.10B.0.00C.0.05D.0.10E.0.15參考答案：B參考解析：已知λ=b，而復合泊松分布的概率分布的迭代公式：與已知概率函數(shù)作比較得：（1）=0.16，2（2）=k，3（3）=0.72又E（S）=b[p（1）+2p（2）+3p（3）]=1.68，即0.16+k+0.72=1.68，解得：k=0.8。且p（1）+p（2）+p（3）=1，即，解得：b=0.5k+0.4=0.8。故

b－k=0.8－0.8=0。[單選題]11.某保單組合發(fā)生索賠的時刻為t=0.5，1.5，2.5，…，個別理賠額變量服從[0，4]區(qū)間上的均勻分布，安全系數(shù)為0.1，初始準備金為2，保費在整數(shù)時間段的期初交納。在時刻t=2之前該保單組合的破產(chǎn)概率為()。A.0.08B.0.18C.0.22D.0.24E.0.28參考答案：A參考解析：0.5時刻的盈余為1.5時刻的盈余為在t=2之前只有1.5時刻可能發(fā)生破產(chǎn)，故[單選題]12.損失額X取值于非負整數(shù)。現(xiàn)有再保險合同將支付損失額X超過20元以上部分的80%，且最多支付5元。并已知：E[I16]=3.91，E[I20]=3.43，E[I24]=2.90，E[I25]=2.87，E[I26]=2.85，E[I27]=2.60其中Id（X）=max{X－d，0}，則再保險人預計賠付的額度為()。A.0.510B.0.514C.0.518D.0.520E.0.522參考答案：B參考解析：記再保險的支付額為Y，則依題意有：Y=（X－20）×80%≤5，即X≤26.25。故而所以1－FX（26）=E[I26]－E[I27]=2.85－2.60=0.25，故E（Id）=0.8×3.43－0.8×2.60－0.6×0.75=0.514。13~16題的條件如下：考察一個在t=0處有20個個體的樣本，所有的個體均在5周內(nèi)死亡，并只記錄每周的死亡人數(shù)，所觀察的結(jié)果為：2人第1周死亡，3人第2周死亡，8人第3周死亡，6人第4周死亡，1人第5周死亡。[單選題]13.運用上述數(shù)據(jù)估計（1）為____；（2）S（3）為____；（3）q3為____。()A.0.35，0.40，0.8571B.0.40，0.35，0.8571C.0.40，0.8571，0.40D.0.8571，0.35，0.40E.0.8571，0.40，0.35參考答案：B參考解析：由已知作圖如下：（1）；（2）；（3）。[單選題]14.若樣本的生存分布為區(qū)間（0，5]上的均勻分布，則②②和的值分別為()。A.0.008，0.03571B.0.008，0.2C.0.03571，0.2D.0.03571，0.4E.0.2，0.4參考答案：A參考解析：因為生存分布為（0，5]上的均勻分布，所以=3/5－2/5=1/5=0.2；，，；n3=6+1=7。故，。[單選題]15.計算和的估計值分別為()。A.1.14286，0.02381B.1.14286，0.14286C.1.94591，0.14286D.1.94591，0.85714E.1.94591，0.94591參考答案：D參考解析：由已知可得：，，，所以，。[單選題]16.計算和的估計值分別為()。A.0.05，0.0024B.0.10，0.0045C.0.15，0.0064D.0.30，0.0105E.0.40，0.0120參考答案：D參考解析：由已知得：=d3/n=6/20=0.3，故，。[單選題]17.假設索賠額分布為帕累托分布，其密度函數(shù)為隨機20個索賠額樣本為：27、82、115、126、155、161、243、294、340、384、457、680、855、877、974、1193、1340、1884、2558、15743，利用矩估計得到和，則為()。A.835.9621B.841.1076C.785.3923D.963.4513E.678.9543參考答案：B參考解析：由題意可得樣本一階矩及二階矩分別為：由于帕累托分布的密度函數(shù)為：則矩估計方程為：解得：所以[單選題]18.X是密度為的連續(xù)隨機變量，一組隨機樣本的三次觀測為0.2、0.3、0.5，則利用極大似然估計得到的=()。A.0.679B.0.796C.0.865D.0.856E.0.967參考答案：D參考解析：因為，所以其對數(shù)函數(shù)為令，則有[單選題]19.假設索賠額分布為指數(shù)分布，隨機20個索賠額樣本為：27、82、115、126、155、161、243、294、340、384、457、680、855、877、974、1193、1340、1884、2558、15743，則運用中位數(shù)估計法估計參數(shù)為()。A.685.56B.675.75C.606.65D.656.56E.679.54參考答案：C參考解析：樣本的容量為20，則中位數(shù)為又，即。所以，即解得。[單選題]20.一組分組數(shù)據(jù)具有如下性質(zhì)：，運用極大似然估計方法估計指數(shù)分布的參數(shù)為()。A.16.56B.15.56C.16.75D.17.06E.17.56參考答案：D參考解析：由于指數(shù)分布的分布函數(shù)為：所以其對數(shù)似然函數(shù)為：令[單選題]21.365天的索賠數(shù)記錄為：50天沒有索賠，122天有1個索賠，101天有2個索賠，92天有3個索賠，沒有1天發(fā)生4次以上的索賠。假定服從參數(shù)為λ的Poisson模型，則利用最大似然估計得出為____，進行擬合優(yōu)度檢驗，統(tǒng)計量的值為____。()A.3.6542，7.5605B.1.6438，3.1659C.3.6542，5.9915D.1.6435，5.9915E.1.6438，7.5605參考答案：E參考解析：假設索賠次數(shù)為服從參數(shù)為λ的Poisson模型，即，k=1,2,3，…因發(fā)生索賠的實際次數(shù)不超過3次，則似然函數(shù)為：其中是發(fā)生次索賠的天數(shù)，因此取對數(shù)為+A，其中，A是與參數(shù)無關(guān)的常數(shù)令，解得。由公式，計算相應的值，得到下表所以統(tǒng)計量的值為7.5605。[單選題]22.一年內(nèi)每天發(fā)生的事故數(shù)分布如下表所示，考慮如下的假設檢驗：數(shù)據(jù)來自均值為0.6的Poisson分布，將數(shù)據(jù)分為盡可能多的組，并保證每個組期望的觀測數(shù)至少為5。采用擬合優(yōu)度檢驗，則統(tǒng)計量的值為()。A.1.3698B.2.8778C.3.3659D.3.9847E.4.8778參考答案：B參考解析：根據(jù)題目要求，將數(shù)據(jù)分成4組，即將事故數(shù)目為3，4，5的合并成一組。計算相應的值，得到下表。所以由上表可知統(tǒng)計量的值為2.8778。[單選題]23.用200份賠付數(shù)據(jù)擬合一個帕累托分布，給定：（1）對應的極大似然估計是和；（2）以極大似然估計值算得的對數(shù)似然函數(shù)值是-817.92；（3）。若使用似然比檢驗對原假設=1.5和=7.8進行檢驗，則檢驗統(tǒng)計量的值為()。A.3B.4.6C.7D.7.7E.8.1參考答案：D參考解析：帕累托分布的密度函數(shù)和似然函數(shù)分別為：，對數(shù)似然函數(shù)值為：在原假設下，=1.5和=7.8，所以似然比統(tǒng)計量為：[單選題]24.下表是一個包含15個損失數(shù)據(jù)的樣本。已知損失額大小服從（0，）區(qū)間上的均勻分布。記是第個區(qū)間上的損失次數(shù)的期望值，是第j個區(qū)間上損失次數(shù)的實際觀測值。若通過最小化來估計，得到的為()。A.7.2B.7.5C.7.6D.7.7E.8.1參考答案：C參考解析：先計算：則，若最小化T，則令T關(guān)于的一階導數(shù)為0，得出。[單選題]25.Linda將硬幣上拋100次，得到45次正面，她說，0.45是T的“最可能”值，而并無進一步證據(jù)。為此，F(xiàn)rank決定提供進一步證據(jù)。他花費—個下雨天的廠午，將同一枚硬上拋1000次，得到600次正面。Linda承認FLank的結(jié)果應該是更可信的，但她想他可能數(shù)錯了。她給他的結(jié)果的權(quán)4倍于她自己的結(jié)果的權(quán)。按照這個進一步的證據(jù)，Linda的關(guān)于T的“最可能”值（即后驗眾數(shù)）是()。A.0.51B.0.53C.0.55D.0.57E.0.59參考答案：D參考解析：先驗估計m=0.45，試驗結(jié)果為0.6，根據(jù)題意設Linda的權(quán)為x，則有：x+4x=1，解得：x=。故=×0.45+×0.6=0.57。[單選題]26.若假設先驗分布為Bata（a，b）分布，則a和b的值分別為()。A.111.5，138.5B.112.8，137.5C.112.5，138.5D.113.5，138.5E.111.5，137.5參考答案：D參考解析：根據(jù)上題，解得：x=0.2。由于先驗分布服從Bata（a，b）分布，則后驗分布服從Bata（a+600-1，b+1000-600-1）分布，即Bata（a+599，b+399），所以后驗分布的均值為：所以，解得：a=113.5，b=138.5。[單選題]27.下表數(shù)據(jù)是死亡的初始估計。對此，希望用不加權(quán)簡單線性問歸去擬合Gomperz形式。則Gompertz參數(shù)B和C的值為()。A.6.18×10-5,1.0874B.6.18×10-4,1.0874C.6.18×10-3,1.0874D.6.18×10-5,0.1087E.6.18×10-4,0.1087參考答案：A參考解析：由于=，所以=+。由已知可得到如下表所示數(shù)據(jù)。作最小二乘估計：SS=，令。，兩式聯(lián)立即解得：=0.083824，=-9.69115，所以B=6.18×10-5,C=1.0874[單選題]28.對于含n個內(nèi)結(jié)點的一般情形，需要確定的參數(shù)個數(shù)是（

）。A.n-2B.n-1C.nD.n+1E.n+2參考答案：D參考解析：一般情形是存在n個節(jié)點，由n個多項式組成，即全部的光滑性條件可表示為由此可知一共有n+1個參數(shù)。[單選題]29.如果，則為（

）。A.B.C.D.E.參考答案：C參考解析：由中心差分算子與向前差分算子的關(guān)系可知：m=2，則y=x+7-2=x+5。[單選題]30.在觀察到任何理賠以前，你認為理賠額的大小服從參數(shù)為θ=10，=1，2或者3的帕累托分布，三種情況等概率。現(xiàn)在觀察到一個隨機抽取的樣本理賠額為20，則該樣本點下次理賠額大于30的后驗概率為()。A.0.071B.0.128C.0.148D.0.166E.0.524參考答案：C參考解析：設理賠額的隨機變量為X，則[單選題]31.一個完全獨立個體的風險集可分為兩類，每一類擁有相同的樣本數(shù)。在類別1中，每一年的理賠數(shù)服從均值為5的泊松分布；在類別2中，每一年的理賠數(shù)服從參數(shù)為m=8，q=0.55的二項分布。一個隨機選擇的風險個體在第一年有3次理賠，在第二年有r次理賠，在第三年有4次理賠。信度估計在第四年的理賠數(shù)為4.6019。則r=()。A.1B.2C.3D.4E.5參考答案：C參考解析：根據(jù)題意得：則信度因子。信度估計在第四年的理賠數(shù)為4.6019，即可得，所以r=3。[單選題]32.某保險公司售出一個保單組合，過去的經(jīng)驗顯示平均的理賠頻率為0.425，期望值的方差為0.37，方差的均值為1.793。現(xiàn)在從保單組合中隨機選擇一種被保險人，該種類別的被保險人中再選出9個個體，一共有7次理賠。現(xiàn)在從這種類別中再選出5個個體，則這5個個體總理賠數(shù)的信度估計為()。A.2.43B.2.65C.3.17D.3.27E.3.96參考答案：D參考解析：根據(jù)題意得：則信度因子為5個個體理賠頻率的信度估計值為則5個個體總理賠數(shù)的信度估計為5×0.6543=3.27。[單選題]33.已知兩個風險A和B的損失金額服從下表所示的分布。其中風險A發(fā)生損失的概率是風險B的兩倍。如果已知某個風險在某次事故中的損失額為300，則該風險下次損失額的信度估計為()。A.11522.65B.12522.65C.12693.65D.16325.65E.19875.65參考答案：B參考解析：設隨機變量X表示損失金額，則E（X|風險A發(fā)生）=300×0.5+3000×0.3+70000×0.2=15050；E（X|風險B發(fā)生）=300×0.6+3000×0.3+70000×0.1=8080；E（X2|風險A發(fā)生）=3002×0.5+30002×0.3+700002×0.2=98274500；E（X2|風險B發(fā)生）=3002×0.6+30002×0.3+700002×0.1=492754000；（X|風險A發(fā)生）=98274500-150502=756242500；（X|風險B發(fā)生）=492754000-80802=427467600；；；；則信度因子為該風險下次損失額的信度估計為。[單選題]34.考慮一個由團體保單形成的保單組合。對整個保單組合而言，平均每個被保險人的期望純保費為2400。對于不同的團體保單，平均每個被保險人的純保費是不同的，不同假設均值之間的方差為500000。對于同一個團體保單，不同被保險人的純保費也存在差異（用組內(nèi)方差表示），所有團體保單的過程方差的均值為250000000。假設一份團體保單上年的索賠經(jīng)驗如下：被保險人數(shù)為240人，平均每個被保險人的經(jīng)驗純保費為3000。該團體保單下每個被保險人的信度純保費為()。A.2094.36B.2594.58C.2635.46D.2965.32E.3000.00參考答案：B參考解析：題中模型為模型，則E（X）=2400，a=500000，v=250000000的信度因子為該團體保單下每個被保險人的信度純保費為[單選題]35.現(xiàn)已利用Box-Muller方法產(chǎn)生了標準正態(tài)分布隨機數(shù)0.8082，需生成模擬隨機利率的隨機數(shù)Y=，X服從參數(shù)為μ=5，σ2=4的對數(shù)正態(tài)分布，則得到的隨機數(shù)為()。A.27.34B.31.34C.41.34D.51.34E.67.34參考答案：A參考解析：由已知條件得：～N（μ，σ2），x=0.8082，所以X==eμ+0.8082σ～N（μ，σ2）=N（5，22），故。[單選題]36.存在一個隨機樣本，樣本的分布函數(shù)未知，已知樣本標準差的區(qū)間為[2，3]，則使得樣本均值的0.9置信區(qū)間不大于1的最小樣本量為()。A.34B.44C.46D.56E.61參考答案：B參考解析：樣本均值的0.9置信區(qū)間長度為不大于1，即所以由于樣本標準差的區(qū)間為[2，3]，并且樣本均值的0.9置信區(qū)間所需的樣本量為標準差的單調(diào)增函數(shù)，所以當時取得最小樣本量為[單選題]37.假設某個理賠員處理一次索賠時間為0.5個小時或1小時，概率分別為0.5，小的隨機數(shù)對應小的處理時間，隨機數(shù)為0.1，0.6，0.4；用均勻分布隨機數(shù)0.2、0.4、1.1來表示索賠事件在某2個小時時間段內(nèi)發(fā)生的時間。該理賠員在該時段結(jié)束時處理索賠的狀態(tài)為()。A.索賠事件1正在處理中B.索賠事件1已處理完畢，索賠時間2正在處理中C.索賠事件1和2已處理完畢D.索賠事件1，2和3已處理完畢，索賠事件4正在處理中E.索賠事件1，2和3已處理完畢，索賠事件4未處理參考答案：C參考解析：第一次索賠時間為0.2，理賠的時間為0.5小時，時刻為0.7。第2次索賠發(fā)生的時間是0.4，等待理賠員將第一次理賠事件處理完畢，由于0.6>0.5，所以，第二次理賠時間長短為1小時，處理完時刻為1.7。第三次理賠發(fā)生的時刻是1.1，等待理賠員處理完第二次理賠，處理時間長短為0.5，結(jié)束時刻為2.2。所以在時刻2，索賠事件1和2已處理完畢，索賠事件3正在處理中。[單選題]38.假設一個健康險的分布為符合泊松分布，索賠