復合函數求導原則第1頁，課件共33頁，創作于2023年2月復合函數的微分法和隱函數的微分法呢？這主要是對于沒有具體給出式子的所謂抽象函數如它是由復合而成的由于f

沒有具體給出一元復合函數的微分法則就無能為力了，為此還要介紹多元復合函數的微分法和隱函數的微分法。第2頁，課件共33頁，創作于2023年2月一、鏈式法則證第3頁，課件共33頁，創作于2023年2月第4頁，課件共33頁，創作于2023年2月上定理的結論可推廣到中間變量多于兩個的情況.如以上公式中的導數稱為全導數.上定理還可推廣到中間變量不是一元函數而是多元函數的情況：第5頁，課件共33頁，創作于2023年2月鏈式法則如圖示第6頁，課件共33頁，創作于2023年2月稱為標準法則或這個公式的特征：⑴函數有兩個自變量x

和

y故法則中包含兩個公式；第7頁，課件共33頁，創作于2023年2月⑵由于在復合過程中有兩個中間變量u

和

v故法則中每一個公式都是兩項之和，這兩項分別含有⑶每一項的構成與一元復合函數的鏈導法則類似，即“函數對中間變量的導數乘以中間變量對自變量的導數”多元復合函數的求導法則簡言之即：“分道相加，連線相乘”

第8頁，課件共33頁，創作于2023年2月第9頁，課件共33頁，創作于2023年2月特殊地其中即令兩者的區別區別類似第10頁，課件共33頁，創作于2023年2月注此公式可以推廣到任意多個中間變量和任意多個自變量的情形如則從以上推廣中我們可以得出：所有公式中兩兩乘積的項數等于中間變量的個數，而與自變量的個數無關第11頁，課件共33頁，創作于2023年2月關于多元復合函數求偏導問題這是一項基本技能，要求熟練掌握，尤其是求二階偏導數，既是重點又是難點。對求導公式不求強記，而要切實做到徹底理解。注意以下幾點將會有助于領會和理解公式，在解題時自如地運用公式①用圖示法表示出函數的復合關系②函數對某個自變量的偏導數的結構（項數及項的構成）第12頁，課件共33頁，創作于2023年2月的結構是求抽象的復合函數的二階偏導數的關鍵③弄清仍是復合函數且復合結構與原來的

f(u,v)完全相同即仍是以u,v

為中間變量，以x,y

為自變量的復合函數因此求它們關于x,y

的偏導數時必須使鏈式法則第13頁，課件共33頁，創作于2023年2月在具體計算中最容易出錯的地方是對再求偏導數這一步是與

f(u,v)具有相同結構的復合函數易被誤認為僅是u

的函數，從而導致漏掉原因就是不注意④求抽象函數的偏導數時，一定要設中間變量⑤注意引用這些公式的條件外層函數可微（偏導數連續）內層函數可導⑥的合并問題視題設條件第14頁，課件共33頁，創作于2023年2月解第15頁，課件共33頁，創作于2023年2月解例3設均滿足復合函數求偏導數的條件計算（兩重復合問題）解由鏈式法則第16頁，課件共33頁，創作于2023年2月故同理可得第17頁，課件共33頁，創作于2023年2月解令記同理有第18頁，課件共33頁，創作于2023年2月于是二、全微分形式不變性第19頁，課件共33頁，創作于2023年2月全微分形式不變形的實質：無論是自變量的函數或中間變量的函數，它的全微分形式是一樣的.第20頁，課件共33頁，創作于2023年2月利用全微分形式不變性，在逐步作微分運算的過程中，不論變量間的關系如何錯綜復雜，都可以不加辨認和區分，而一律作為自變量來處理且作微分運算的結果對自變量的微分來說是線性的從而為解題帶來很多方便，而且也不易出錯第21頁，課件共33頁，創作于2023年2月例5設各函數滿足求導條件求解一變量間的關系如下圖所示第22頁，課件共33頁，創作于2023年2月這里變量間的關系比較混亂用全微分來解由全微分定理注意到

x,z

是獨立自變量解二第23頁，課件共33頁，創作于2023年2月由全微分定義注解法二在實際計算中顯得十分靈便且不易出錯故第24頁，課件共33頁，創作于2023年2月三、小結1、鏈式法則（分三種情況）（特別要注意課中所講的特殊情況）2、全微分形式不變性（理解其實質）第25頁，課件共33頁，創作于2023年2月思考題第26頁，課件共33頁，創作于2023年2月思考題解答第27頁，課件共33頁，創作于2023年2月練習題第28頁，課件共33頁，創作于2023年2月