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三角形五心定律

三角形的重心，外心，垂心，心里和旁心稱之為三角形的五心。

三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，心里定理，旁心定理的總

稱.

重心定理：三角形的三條邊的中線交于一點(diǎn)。該點(diǎn)叫做三角形的重心。三中線交

于一點(diǎn)可用燕尾定理證明，十分簡單。（重心原是一個(gè)物理看法，對于等厚度的質(zhì)量均勻的三角形薄片，其重心恰為此三角形三條中線的交點(diǎn)，重心因此得名）

重心的性質(zhì)：

1、重心到極點(diǎn)的距離與重心到對邊中點(diǎn)的距離之比為2︰1。

2、重心和三角形隨意兩個(gè)極點(diǎn)構(gòu)成的3個(gè)三角形面積相等。即重心到三條邊的距離與

三條邊的長成反比。

3、重心到三角形3個(gè)極點(diǎn)距離的平方和最小。

4、在平面直角坐標(biāo)系中，重心的坐標(biāo)是極點(diǎn)坐標(biāo)的算術(shù)均勻數(shù)，即其重心坐標(biāo)為

X1+X2+X3）/3，（Y1+Y2+Y3）/3）。

以重心為起點(diǎn)，以三角形三極點(diǎn)為終點(diǎn)的三條向量之和等于零向量。

外心定理：三角形外接圓的圓心，叫做三角形的外心。

外心的性質(zhì)：

1、三角形的三條邊的垂直均分線交于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為該三角形的外心。

2、若O是△ABC的外心，則∠BOC=2∠A（∠A為銳角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠

為鈍角）。

3、當(dāng)三角形為銳角三角形時(shí)，外心在三角形內(nèi)部；當(dāng)三角形為鈍角三角形時(shí)，外心在

三角形外面；當(dāng)三角形為直角三角形時(shí)，外心在斜邊上，與斜邊的中點(diǎn)重合。

4、外心到三極點(diǎn)的距離相等

垂心定理：三角形的三條高（所在直線）交于一點(diǎn)，該點(diǎn)叫做三角形的垂心。

垂心的性質(zhì)：

1、三角形三個(gè)極點(diǎn)，三個(gè)垂足，垂心這7個(gè)點(diǎn)可以獲得6個(gè)四點(diǎn)圓。

2、三角形外心O、重心G和垂心H三點(diǎn)共線，且OG︰GH=1︰2。（此直線稱為三角形的歐拉線（Eulerline））（除正三角形）

3、垂心到三角形一極點(diǎn)距離為此三角形外心到此極點(diǎn)對邊距離的2倍。

4、垂心分每條高線的兩部分乘積相等。

定理證明

已知：ABC中，AD、BE是兩條高，AD、BE訂交于點(diǎn)O，連接CO并延伸交AB于點(diǎn)F，

求證：CF⊥AB

證明：連接DE

1

∵∠ADB=∠AEB=90度

∴A、B、D、E四點(diǎn)共圓

∴∠ADE=∠ABE

又∵∠ODC=∠OEC=90度

∴O、D、C、E四點(diǎn)共圓

∴∠ACF=∠ADE=∠ABE

又∵∠ABE+∠BAC=90度

∴∠ACF+∠BAC=90度

CF⊥AB

因此，垂心定理成立！

心里定理：三角形內(nèi)切圓的圓心，叫做三角形的心里。

心里的性質(zhì)：

1、三角形的三條內(nèi)角均分線交于一點(diǎn)。該點(diǎn)即為三角形的心里。

2、直角三角形的心里到邊的距離等于兩直角邊的和與斜邊的差的二分之一。

3、P為ABC所在空間中隨意一點(diǎn)，點(diǎn)0是ABC心里的充要條件是：向量P0=(a×向

量PA+b×向量PB+c×向量PC)/(a+b+c).

4、O為三角形的心里，A、B、C分別為三角形的三個(gè)極點(diǎn)，延伸AO交BC邊于N，則有

AO:ON=AB:BN=AC:CN=(AB+AC):BC

5、(歐拉定理)⊿ABC中，R和r分別為外接圓為和內(nèi)切圓的半徑，O和I分別為其外心

和心里，則OI^2=R^2-2Rr．

6、（內(nèi)角均分線分三邊長度關(guān)系）

△ABC中，0為心里，∠A、∠B、∠C的內(nèi)角均分線分別交BC、AC、AB于Q、P、R，

則BQ/QC=c/b,CP/PA=a/c,BR/RA=a/b.

7、心里到三角形三邊距離相等。

旁心定理：三角形的旁切圓（與三角形的一邊和其余兩邊的延伸線相切的圓）的

圓心，叫做三角形的旁心。

旁心的性質(zhì)：

1、三角形一內(nèi)角均分線和其余兩極點(diǎn)處的外角均分線交于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為三角形的旁

心。

2、每個(gè)三角形都有三個(gè)旁心。

3、旁心到三邊的距離相等。

如圖，點(diǎn)M就是△ABC的一個(gè)旁心。三角形隨意兩角的外角均分線和第三個(gè)角的內(nèi)角均分線的交點(diǎn)。一個(gè)三角形有三個(gè)旁心，并且必定在三角形外。

2

附：三角形的中心：只有正三角形才有中心，這時(shí)重心，心里，外心，垂心，四心合一。

五星定理巧記歌

三角形五心歌（重外垂內(nèi)旁）

三角形有五顆心，重外垂內(nèi)和旁心，五心性質(zhì)很重要，認(rèn)真掌握莫記混．重心

三條中線定訂交，交點(diǎn)地點(diǎn)真奇巧，交點(diǎn)命名為“重心”，重心性質(zhì)要明

了，

重心切割中線段，數(shù)段之比聽分曉；長短之比二比一，靈巧運(yùn)用掌握好．外心

三角形有六元素，三個(gè)內(nèi)角有三邊．作三邊的中垂線，三線訂交共一點(diǎn)．此點(diǎn)定義為外心，用它可作外接圓．心里外心莫記混，內(nèi)切外接是重點(diǎn)．垂心

三角形上作三高，三高必于垂心交．高線切割三角形，出現(xiàn)直角三對整，直角三角形有十二，構(gòu)成六對相像形，四點(diǎn)共圓圖中有，