2022-2023學年南京師范大學附屬中學秦淮科技高中高一下五月月考試卷一．選擇題（共8小題，每題5分，共40分）1．設復數z＝，則的虛部是（）A．i B．﹣i C．1 D．﹣12．在△ABC中，內角A、B滿足sin2A＝sin2B，則△ABC的形狀是（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形3．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．若c＝4，a＝4，A＝45°，則sinC等于（）A． B． C． D．4．已知向量，且，則tan（π+α）＝（）A． B． C． D．5．下列說法正確的是（）A．若與共線，則＝或者＝﹣ B．若?＝?，則＝ C．若△ABC中，點P滿足2＝+，則點P為BC中點 D．若，為單位向量，則＝6．已知直線a、b是兩條不重合的直線，α、β是兩個不重合的平面，則下列命題正確的是（）A．若a⊥α，a⊥β，則α∥β B．若a∥α，b∥β，α∥β，則a∥b C．若a⊥b，b⊥α，a∥β，則α∥β D．若α∥β，a與α所成角和b與β所成角相等，則a∥b7．設a＝sin250°，b＝﹣cos50°，c＝，則a，b，c的大小關系為（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．a＜c＜b8．如圖，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側棱長為2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，點D是A1B1的中點，F是側面AA1B1B（含邊界）上的動點．要使AB1⊥平面C1DF，則線段C1F的長的最大值為（）A． B． C． D．二．多選題（共4小題，每題5分，共20分）9．設z1，z2，z3為復數，z1≠0，下列命題正確的是（）A．若，則z1＝z2 B．|z1z2|＝|z1||z2| C．若，則|z1z2|＝|z1z3| D．10．已知向量，，則下列命題正確的是（）A．的最大值為 B．若，則 C．若是與共線的單位向量，則 D．當取得最大值時，11．△ABC的內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，則下列說法正確的是（）A．斜三角形ABC中，tanAtanBtanC＝tanA+tanB+tanC B．若A＝30°，b＝4，a＝3，則△ABC有兩解 C．若acosB﹣bcosA＝c，則△ABC一定為直角三角形 D．若a＝4，b＝5，c＝6，則△ABC外接圓半徑為12．如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點P在線段B1C上運動，則（）A．直線BD1⊥平面A1C1D B．三棱錐P﹣A1C1D的體積為定值 C．異面直線AP與A1D所成角的取值范圍是 D．直線C1P與平面A1C1D所成角的正弦值的最大值為三．填空題（共4小題，每題5分，共20分）13．已知復數z滿足（1+i）z＝2﹣i（i為虛數單位），則|z+i|＝．14．正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，直線DB1與平面ABCD所成角的正弦值為．15．等邊△ABC中，已知AB＝1，點M在線段BC上，且滿足BM＝2CM，N為線段AB的中點，CN與AM相交于點P，則cos∠MPN＝．16．已知在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若2bcosC＝ccosB，則＝，的最小值為．四．解答題（共6小題，共70分）17．（10分）（1）若復數z＝（m2+2m﹣3）+（m2+5m+6）i是純虛數，求實數m的值；（2）若復數z滿足z+（z+）i＝（1+i）（3﹣i），求復數z．18．（12分）如圖所示，PA⊥矩形ABCD所在的平面，M、N分別是AB、PC的中點．（1）求證：MN∥平面PAD．（2）求證：MN⊥CD．19．（12分）在①b+bcosC＝csinB，②S△ABC＝，③（3b﹣a）cosC＝ccosA，三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并解決問題．在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足_____．（1）求cosC的值；（2）若點E在AB上，且＝2，CE＝，BC＝3，求sinB．20．（12分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為菱形，∠BAD＝60°，Q為AD的中點．（1）若PA＝PD，求證：AD⊥平面PQB；（2）若平面PAD⊥平面ABCD，且PA＝PD＝AD＝2，點M在線段PC上，且PM＝3MC，求三棱錐P﹣QBM的體積．21．（12分）某公司欲生產一款迎春工藝品回饋消費者，工藝品的平面設計如圖所示，該工藝品由直角△ABC和以BC為直徑的半圓拼接而成，點P為半圈上一點（異于B，C），點H在線段AB上，且滿足CH⊥AB．已知∠ACB＝90°，AB＝1dm，設∠ABC＝θ．（1）為了使工藝禮品達到最佳觀賞效果，需滿足∠ABC＝∠PCB，且CA+CP達到最大．當θ為何值時，工藝禮品達到最佳觀賞效果；（2）為了工藝禮品達到最佳