可靠性設計第一節概述可靠性是與故障相對應的的一個概念。可靠性研究開始于美國，起源于軍用電子設備，二戰后，陸續成立了很多可靠性研究的機構。為什么展開可靠性研究：可靠性差帶來的危害。航空航天、軍用器械、民用電子產品，IT產品。最初來源于航空、航天等高科技領域的可靠性設計開始向兵器、船舶、電子、機械、汽車、信息技術等行業滲透。我國加入WTO后，在市場競爭日益激烈的情況下，國內民用企業將從價格、服務這種低層次競爭定向產品質量和可靠性的競爭，從而對質量和可靠性專業人才的需求將不斷增加。因此，一些高校開設了可靠性系統工程專業(如北航)或開設了可靠性設計課程。一些大的企業開始使用大型可靠性設計軟件進行輔助設計(如可靠性系統軟件CARMES2.0(可靠性維修性綜合分析軟件Relex)等)。真正將可靠性設計理論應用于生產實際。形成了一些產品的設計準則及可靠性設計標準，如HB7251-95《直升機可靠性設計準則》、HB7232-95《軍用飛機可靠性設計準則》、GJB2635-96《軍用飛機腐蝕防護設計和控制要求》。可靠性帶來的效益。如運輸包裝，提高使用壽命，提高使用可靠度。第二節定義及度量指標可靠性(5-1)：產品在規定的條件下和規定的時間內完成規定功能的能力可靠度(5-2)：產品在規定的條件下和規定的時間內完成規定功能的概率設有N臺設備，在規定的條件下和規定的時間內，工作t時刻，有n(t)個失效，其可靠度的估計值為R(t)——N~~limR(t)=R(t)即為該產品的可靠度。Ns失效概率(5-3)為F(t)=1-R(t)3)失效概率密度函數An(t)/N乎N為試件的總數，An(t)表示在［t,t+At］時間內失效的件數。隨著N的增大和At的減小，失效概率密度的圖形變成光滑曲線。其和失效概率的關系為F(t)=ftf(t)dt04)失效率：工作到某個時刻尚未失效的產品，在該時刻后單位時間內失效的概率。人(t)=limn(")—n(t)=岫)At->0[N-n(t)]At [N-n(t)]dtN—>3_ /、 f(t)分子分母同時除以N，得到人(t)=。R(t)例某批產品100個，工作了5年有90在工作。到了第六年，又有五個不能工作，第七年又出現10個不能工作的，使計算該產品第五年和第六年時的失效率。95—90 90-80人(5)= =5.26%，人(6)= =11.11%95。 90日4)平均壽命N個產品從開始工作到發生故障的時間分別為t,t,t,t,…,t，則平均壽1234n命為。=NJi=1f(t)=M(t)/N所以0=』31xf(t)dt即失效的產品個數An(t)與失效的時間t相乘等于工作總時間，在0除以產品總數即為平均壽命。0=j3 ')出0Ndt0=j31xf(t)dt=j3tdF(t)=J3tdR(t)000judv=uv-jvduT0=-JtdR(t)=-tR(t)|“+JR(t)dtlimR(t)=0,limtR(t)=0T0=J3R(t)dttT3 tT3 05)失效過程分為(5-5)：早期失效期；隨機失效期；損耗失效期。6)可靠壽命：使可靠度等于給定值r時的產品壽命稱為可靠壽命，即為t,,其中r稱為可靠水平。t的值可通過R(t)=r解出。r r例：某產品的可靠度服從指數分布R(t)=e-N，求r=0.9時的壽命(即r=0.9時產品已經工作的時間)。e外=1—t=ln(1/r)/X=0.105人rr第一節概率分布概率分布(5-4)有：(0-1分布)二項分布；泊松分布；正態分布；對數正態分布；指數分布；離散型隨機變量的分布： 二項分布(貝努利分布)：設試驗E只有兩種結果，抽到合格品或抽到不合格品，這兩種結果分別用事件A與人表示。發生A的概率為P(A)=p，發生A的概率為P(A)=】-p=q(0VPV1)，若以X表示在n重實驗中事件A發生的次數，則X是一個隨機變量，它的可能取值為0,1,2,3,...,虻..工(共n+1種)，此時X所服從的概率分布為二項分布。分布如下：P(X=0)=(1-p)nP(X=1)=C1P(1-p)n-1n000P(X=k)=Ckpk(1-p)n-knP(X=n)=pn由上面的分布來看，上面的n+1項剛好是二項式(p+q)n的展開式的各項。即隨機變量x取值為k的概率P(x=k)=Ckpk(1-p)n-k恰好是(p+q)n的展開式的第k+1項。這就是二項分布的由來。稱隨機變量X服從參數為n,p的二項分布。當n=1時，二項分布變為0-1分布。即P(X=k)=C：pk(\-p)n-k(p為a出現的概率，q為A不出現的概率，Cr=nn!r!(n-r)!)累積分布函數：事件A在n次試驗中發生少于r次的概率為P(x<r)=ECxpxqn一xnx=0例題1：投擲硬幣10次中出現“正面“的概率。根據公式P(r)=Crprqn-r得到：n出現0次的概率：P(0)=C00.500.510-0=0.00110出現1次的概率：P⑴=C10.510.510-1=0.00910出現2次的概率：P(2)=C20.520.51。-2=0.04410出現3次的概率：P(3)=C30.530.510-3=0.11710出現4次的概率：P(4)=C40.540.510-4=0.20510出現5次的概率：P(5)=C50.550.510-5=0.24610出現6次的概率：P(6)=C60.560.510-6=0.20510出現7次的概率：P⑺=C70.570.510-7=0.11710出現8次的概率：P(8)=C80.580.510-8=0.04410出現9次的概率：P(9)=C90.590.510-9=0.00910出現10次的概率：P(10)=C100.5100.510-10=0.00110例題2若將次品率為10%的產品每15個裝一箱，求一箱中有0,1,2,3,...15個的概率。按式P(r)=Crprqn-r(p=0.1，q=0.9，r=0,1,2,3,...15)n分別得到：出現0個概率為:0.201出現1個概率為:0.342出現2個概率為:0.267出現3個概率為:0.128出現4個概率為:0.047出現5個概率為:0.010出現6個概率為:0.002出現7個概率為:0.000出現8個概率為:0.000.出現15個概率為0.000可靠性實驗一般投入N個零件進行實驗T小時，而僅僅允許r個失效。已知產品的可靠

度R(t)=0，不可靠度F(t)=1-R(t)=p，則N個抽檢零件中出現失效產品不多于r個的概率為:P(x<r)=EC[F(t][R(n)x]nx=0因此根據實驗可測得可靠度。或根據實驗檢驗供貨廠家的可靠度是否和提供的可靠度吻合。3.泊松分布：對于二項分布來說，3.當p=q=0.5時，不管n多大，X的分布曲線是對稱的(橫坐標是事件發生的次數，縱坐標是該事件發生的概率)；而當p很小時，此時，n越小，X的分布曲線越不對稱，n越大，X的分布曲線越對稱。當nT8時二項分布趨向于極限分布，即泊松分布。泊松定理：隨機變量X服從參數為n,p的二項分布，其分布律為P(X=k)=Ckpk(1-p)n-k,k=0,1,...,n，式中設nnp=H>0是常數，則有limP(X=k)=limCkpk(1-p)n-knms msRkRke-RTT(k=0,1,...,n)P(X=k)=Ckpk(1-p)n-k=Ck(H)k(1-E)n-knnn證明：n(n-1)...(n—k+1),rr、= (一)k(1-—)n-k(1-R)-k

nTOC\o"1-5"\h\z(1-R)-k

nRk 1 2土[1.(1-_)(1-_)…(1-k! n n對于任意的數k,有:TOC\o"1-5"\h\z1 2 k-1\o"CurrentDocument"lim(1-_)(1-_)…(1-)=1n* n n nlim(1-色)n=e-rnT8 n故得證。對于n很大，p很小的二項分布，可以用柏松分布代替，即rke-r\o"CurrentDocument"Ckpk(1-p)n-k牝n k!H=叩是隨機變量X的均值。柏松分布的各項為:Re-r r2e-r rke-r\o"CurrentDocument"e-r+++…+1! 2! k!（p代表產品失效的概率）第一項表示一個都不失效的概率（二項分布對應為k=0）；第二項表示失效一個的概率；第三項表示失效二個的概率。例題若將次品率為15%的產品每100個裝一箱，求一箱中有0，1，2，3,4，5，6，7個次品的概率及次品在7個以下的概率。解p=0.05,n=100,u=np=5,e-R=0-00674）（查表可得）因此可分別得到次品為0，1，2，3，4，5，6，7個的概率。4. 正態分布（Gauss分布），它是一切隨機現象的概率分布中最常見和應用最廣泛的一種分布。如機械加工中的誤差、測量誤差，打靶時的射擊誤差，同齡男或女的身長，年降雨量等值與其平均值的差值等。離散性隨機變量的分布函數為F（x）=P{X<x}=SP{X=x}=SPxi<x xi<x如果對于隨機變量X的分布函數F（x），存在非負的函數f（x），對于任意的實數x有F(x)=P{X<x}=ff(x)dx—s則稱X為連續型隨機變量，而函數f(x)稱為X的概率密度函數概率密度函數的性質有:f(x)>0丁f(x)dx=1xP{xi<X<x2}=F(x2)—F(xi)=ff(x)dxxii正態分布的定義：正態分布的概率密度為：其中日為位置參數(均值)，b為形狀參數(標準差)則稱X服從參數為日與b2的正態分布，記作X□N(日，b2)。累積分布函數：—(xTL)2fxe2b2dx2正態分布的概率密度函數的性質：(1)曲線y=f(x)對于軸線x=^為對稱⑵當x=H時，f(x)有最大值b、(3)當xT±s時，f(x)T0⑷曲線y=f(x)在x=口±。處有拐點

+卜(5)曲線y=f⑴是以工軸為漸近線，且/⑴應滿足J/(x)d=1—s⑹當給定b值而改變^值時，曲線y=f⑴僅沿著工軸平移，而形狀不變。(7)當給定P值而改變。值時，圖形的對稱軸不變，但圖形形狀改變。由于標準差b的變動引起f⑴的最大值—————和拐點+s位置x=日±b的改變以及性質Jf(X)dx=1，使b愈小時圖形愈高而—s“瘦”b愈大時圖形愈矮而“胖”即分不為之不變，只改變其分散程度。3標準正態分布的定義：日=0,b=1的正態分布稱為標準正態分布引入新變量Z=L代入，、 1，、 1—)=T2——b(x—')2Jxe~2b2dx并令b—s此時標準正態分布的概率密度函數中(z)和累積分布函數中(z)分別為(—s(—s<z<+s)中(z)=」Jze-二dz\/2———s其中通過正態分布表可查得上式的值，正態分布表給出的是用數值積分法求出的①(z)的近似值。例題3：已知乂日"(日,。2)，求P^a<X<b}的值解：P{a<X<b}=』b1e-2(了)2dxa」2eb瑚 1令七^=z，則P{a—X—b}=』二ab-Ua)一已知某軸在精加工后，其直徑的尺寸變動可用正態分布描述，且其均值U=14.90mm，標準差為a=0.05mm.按圖紙規定，軸徑尺寸是14.90土0.1mm=14.80口15.00的產品均為合格品，求合格品的百分數。合格品的百分數應為14.80—14.9 14.80—14.9P{14.80—X—15}=①( 二)—中( 二)0.05 0.05中(2)-①(-2)=95.44%例題4有1000個零件，已知其失效為正態分布，均值為500h，標準差為40h。求：t=400h時，其可靠度、失效概率為多少？經過多少小時后，會有20%的零件失效?=—2.5t-U400—500z= = =—2.5a 40所以累積分布函數為中(-2.5)=0.0062即F(t)=0.0062所以R(400)=1-F(400)=0.9938當F(A)=20%時，由甲(A)=0.2tA=-0.84因此A=tt=-0.084x40+500=466.4ha例題5電車的車門高度是按照使男子碰頭的機會少于1%來設計的。假設穿皮鞋的男子的平均身長為165cm，標準差為6cm，問車門高應設計成多大尺寸。解：設x是設計的車門高度，那么下圖中雙重斜線部分就是男子身高的分布落在大于車門高度的區域,按題意，該部分的面積不能超過1%.根據正態分布表查以Z)=0.01得到Z=2.33例題6設男子的平均身高為165cm,標準差為6cm,女子的平均身高為153cm,標準差為5cm.問在一次偶然相遇的一對男女中，女子高于男子的概率是多少？解:兩個符合正態分布的隨機變量X]口N（四「*2）；X2日N（巳,氣2）,它們的和或差也符合正態分布.即X=X+X N（日+日q2+b2）1 2口1 2 1 2根據題意，男女身長差符合正態分布.均值為10cm,均方差為V52+62=7%cm,因此女子高于男子的身高相當于在該正態分布中的小于0的部分即P（X1<X2）=P（X=X1-X2<0）計算下圖中小于0的部分的面積，將原來的分布化成正態分布，即x—日x—10z= =b7.8將x=0代入上式得到z=—1.28查止態分布表得到中（—技8）=0.1003

即女子高即女子高于男子的概率為10.03%.正態分布的壽命試驗的參數估計n個樣本的失效時間分別是t，,/，…*，則正態分布試驗的數學期望H與標準差12 3n°的估計值分別為：R-1n二—ztnii=1°二=!L藝（t—口）2n—1i1 i=15.對數正態分布：對數正態分布的概率密度為:f（） 1 （1n”2）計算時將變量X變換為ln(X)即可。6. 指數分布：指數分布適合力(t)為常數的情況。其概率密度函數為:f（尤）=人e—人人為失效率（常數）人（t）=；—R（t）=e-人t—F（t）=1—R（t）=1—e-人t1、指數分布人為常數;2、 指數分布的平均壽命。=I*R(t)dt=f00e-海出=—；e-山'二:3、 指數分布具有無記憶性。第四節可靠性設計原理常規設計與概率設計的不同(5-6)：設計變量的性質不同；設計變量運算方法不同；設計準則的含義不同。傳統設計采用安全系數法或許用應力法。其出發點是使作用在危險截面上的工作應力s小于等于許用應力［s］，而許用應力［s］是等于極限應力\im除以大于1的安全系數n而得到的。其缺陷是：首先：試驗表明，大量的設計變量如負荷、極限應力以及材料硬度、尺寸都是隨機變量，都呈現出離散性，都應該依概率取值。其次：常規設計方法關鍵是選取安全系數的值。系數過大，浪費。過小，影響正常使用。受經驗影響，往往不能正確反映設計的安全裕度。應力強度干涉模型。可靠性設計即概率設計，其基本觀點如下：首先：認為零件的強度服從于概率密度為fr(r)的隨機變量，加在零件上的載荷也是服從正態分布的隨機變量，因而導致加在零件上的應力服從于概率密度為fs(s)的隨機變量。其次，零件的強度隨時間推移而退化，均值隨時間推移減小，均方差隨時間推移增大。最后，當零件強度r大于加在零件上的應力時，零件是可靠的，可靠度表示為：R(t)=p(r>S)傳統設計即常規設計方法與可靠性設計即概率設計的不同點：第一，設計變量的性質不同。第二，運算方法不同。第三，可靠性準則的含義不同。可靠性設計準則是設計人員在長期的設計實踐中積累起來的、能提高產品可靠性的行之有效的經驗和方法，并歸納、總結形成具有普遍適用價值的設計原則。它是設計人員進行產品設計時必須遵循的準則，以避免重復發生過去已發生過的故障或設計缺陷。可靠性設計準則一般是針對某個具體產品制定的。但也可以將產品的可靠性設計準則的共性部分上升為某類產品的可靠性設計準則。如：HB7251-95《直升機可靠性設計準則》、HB7232-95《軍用飛機可靠性設計準則》、GJB2635-96《軍用飛機腐蝕防護設計和控制要求》可靠度的確定方法：

首先：氣表示應力隨機變量s落在某一假定應力s0附近一微小區間出內的事件，則E1出現的概率為其次"2表示強度隨機變量r大于s0的事件，則E2出現的概率為rs0P(E2)=P(r>s0)「f(r)rs0第三：事件E1和E2是獨立事件，同時發生的概率為P(EE)=P(E)P(E)=f(s)dsf8f(r)dr1 2 1 2 s0 r最后：假定應力s,包括隨機變量S所有可能出現的值，而只要s.落在某個區域，而r又大于s.，產品就可靠。因此可靠的產品包括了所有這些概率的累加。可靠度為R=P(r>s)=R=P(r>s)=J+8f(s0)[f8f(r)dr]ds一8srs013.應力強度都服從正態分布時的可靠度計算fr(r)=e2(r。七)2(—8<r<8)fs(s)=e2(、s)2(—8<s<8)令y=令y=r-s，也服從正態分布。因此f(y)= —e一2(b「)2(—8<y<8)y y：2nb<2nbyy的均值日y=^r一日s,y的標準差by2=b^2+bs2因此可靠度為R=P(rR=P(r一s>0)=L1y一旦(—V)2e2bydy日一日s日一日s+b2y一日令z=—z一貝Ubdz=dy0一日原來的變量y積分下限為0,那么z積分下限為一廠

那么可靠度變為R=j心.J2兀一—'.--a2+0：z22dz口一口 1 . ^2z22dz令z=—=L則可靠度變為R=^^尸8e-2dz0 .02+02 <2兀-z0根據正態分布的對稱性，「^j+8e二dz=—^Le-二dzJ2兀一z0 J2兀一8即可靠度等于中（zo）（查標準正態分布表）其中z= ^^稱為“聯結方程”，z稱為可靠度系數。0Ja2+O2 014. 機械強度可靠度計算：載荷分布+尺寸分布f應力分布材料力學性能分布+尺寸分布f強度分布應力分布+強度分布匚。可靠度材料性能的數據處理：服從正態分布，一般手冊中給出性能的（強度極限、屈服極限、疲勞極限、硬度、延伸率、韌性等）范圍max,min，則0均值H=L（max+min），標準差o=1（max-min）2 6有的手冊中沒有給出范圍，只給出均值，那么標準參均值*V（V為變異系數）。工作載荷的統計分析：靜載荷一般服從正態分布，動載荷一般服從正態分布或指數分布。為了獲得載荷的分布，通過實測，獲得一系列數據，再根據數理統計原理進行分析，確定分布類型和參數。幾何尺寸的統計分析：和材料性能的數據處理一樣。一般尺寸都給出公差。尺寸的標準差=（尺寸的上限-下限）/6隨機變量函數的統計特征值：y=f（尤，尤，…，尤），其中x服從正態分布，其均TOC\o"1-5"\h\z1 2 n i值和標準差為\和oi,那么y也服從正態分布，其均值和標準差分別為日=f（日,日,…,日），y 1 2n°yf令gi^+e私氣+?..+（剽，曜T1 2 n15.例題:15.1承受轉矩的軸的靜強度可靠性設計設計一端固定，一端受扭的軸，設計隨機變量的分布參數為： .. .. 作用轉矩T=1130300N-mm,。丁=1130300N-mm許用剪切應力5=344.47MPaq&=34.447MPaa—求軸半徑的尺寸及公差，要求可靠度R=0.999,軸半徑的變化為。=7rr3a為偏差系數，取值0.03。解題步驟如下：A由可靠度得到F=1-R=0.001，查正態分布表得到Zr—3.09B列出應力表達式，計算工作應力TOC\o"1-5"\h\z-2T 4 36T2+烹將作用轉矩的值代入上式得到工作應力的平均值及均方差（皆為；的表達式）c求解“聯結方程”z=M】，，常稱為可靠度系數。得到0心2+b2 0r sr=32.13mmD敏感度分析固定r，改變偏差系數a，可靠度變化如下aZR可靠度aZR可靠度0.013.1360.999160.043.0720.998900.023.1230.999100.053.0350.998800.033.0990.999030.062.7720.99740固定r和偏差系數a，改變許用剪切應力的均方差b8，可靠度變化如下b8ZR可靠度b8ZR可靠度13.7894.8250.9999941.3366.7120.9966427.5583.5850.9998355.1152.1450.9842234.4473.0900.9990368.8941.7630.96080固定許用剪切應力的均方差%.和偏差系數a，改變r，可靠度變化如下8rZR可靠度rZR可靠度25.40-1.6420.0505040.646.5550.9999930.482.0860.9816945.727.6210.9999935.564.8240.9999950.808.73612設計一圓截面拉桿，承受拉力P（七q*）,七=40000N,a°=1200N，選用45號鋼，已知45號鋼的抗拉強度數據服從正態分布，均值、均方差分別為=667MPa,a廣25.3MPa。為保證拉桿的可靠度為0.999,試給出半徑的尺寸數據分布。解題步驟如下：A由可靠度得到F=1-R=0.001，查正態分布表得到Z日=3.09B列出應力表達式，計算工作應力PPs=—= A兀r2TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"所以日=-^^，a2 = -—a2 +4*: a2s 兀*2s兀2*4p兀2*6r取拉桿圓截面半徑的公差為土□廣+0.015*r，所以ar=亍=0.005*r將拉力的值代入上式得到工作應力的平均值及均方差（皆為*r的表達式）C求解“聯結方程”z=*rZ*s，z稱為可靠度系數。得到0 疽a2+a2 0r s=4.722D與常規設計比較及敏感度分析常規設計取安全系數n=3,即\o"CurrentDocument"a=-^<[a]=土=667/3=222.333兀r2 3得到r>7.568如果取*,=4.722，則在常規設計中安全系數為n=1.168，一般是不敢采取這樣的安全系數的。可靠性系統軟件CARMES2.0（可靠性維修性綜合分析軟件Relex）CARMES2.0是可靠性維修性保障性工程軟件CARMES的第二代產品。在集成了第一代產品功能的基礎上，密切結合國內RMS工程應用實際，新增了可靠性評估、功能危險性分析、區域安全性分析和事件樹分析等模塊，以及國內