第十三講梁的撓曲線方程與積分解法湖南理工學院——曾紀杰.梁的撓度和轉角ypxcw1、度量彎曲變形的兩個量：（1）撓度：梁軸線上的點在垂直于梁軸線方向的所發生的線位移ω稱為撓度。（工程上的一般忽略水平線位移）（2）轉角：梁變形后的橫截面相對于原來橫截面繞中性軸所轉過的角位移θ稱為轉角。一彎曲變形的量度及符號規定

.梁的撓度和轉角ypxcw（2）撓度的符號規定：向上為正，向下為負。2、符號規定：（1）坐標系的建立：坐標原點一般設在梁的左端，并規定：以變形前的梁軸線為x軸，向右為正；以y軸代表曲線的縱坐標（撓度），向上為正。（3）轉角的符號規定：逆時針轉向的轉角為正；順時針轉向的轉角為負。W（-）θ（-）.1、撓曲線：在平面彎曲的情況下，梁變形后的軸線在彎曲平面內成為一條平面曲線，這條曲線稱為撓曲線。軸線縱向對稱面FqM彎曲后梁的軸線（撓曲線）

.力學公式：數學公式：1＝MEI純彎曲橫力彎曲（l／h＞5）1（x）M（x）EI＝＝1（x）d2wdx2[1+(dwdx)2]3/2＋－2、撓曲線的近似微分方程(1)曲率與彎矩、抗彎剛度的關系.小撓度情形下：此即彈性曲線的小撓度近似微分方程。1橫力彎曲（x）M（x）EI＝max＝（0.01－0.001）l；(ddx)2<<0＝1（x）d2dx2[1+(ddx)2]3/2＋－MEI＝d2dx2＋－（x）.2owxMM選取如圖坐標系，則彎矩M與恒為同號(2)撓曲線近似微分方程符號及近似解釋MEI＝d2dx2（x）近似解釋：（1）忽略了剪力的影響；（2）由于小變形，略去了曲線方程中的高次項。.22(3)選用不同坐標系下的撓曲線近似微分方程＝d2dx2M(x)EIM(x)EI＝d2dx2.1、積分法——基本方法利用積分法求梁變形的一般步驟：（1）建立坐標系（一般：坐標原點設在梁的左端），求支座反力，分段列彎矩方程；分段的原則:①凡載荷有突變處（包括中間支座），應作為分段點；②凡截面有變化處，或材料有變化處，應作為分段點；③中間鉸視為兩個梁段間的聯系，此種聯系體現為兩部分之間的相互作用力，故應作為分段點；

二計算彎曲變形的兩種方法

.(2)分段列出梁的撓曲線近似微分方程，并對其積分兩次對撓曲線近似微分方程積分一次，得轉角方程：再積分一次，得撓曲線方程：

.(3)利用邊界條件、連續條件確定積分常數①積分常數的數目——取決于的分段數

M(x)——n段

積分常數——2n個舉例：分2段，則積分常數2x2=4個

.②積分常數的確定——邊界條件和連續條件：邊界條件：梁在其支承處的撓度或轉角是已知的，這樣的已知條件稱為邊界條件。連續條件：梁的撓曲線是一條連續、光滑、平坦的曲線。因此，在梁的同一截面上不可能有兩個不同的撓度值或轉角值，這樣的已知條件稱為連續條件。

邊界條件積分常數2n個=2n個

連續條件

.邊界條件：連續條件：列出圖示結構的邊界條件和連續條件。

.列出圖示結構的邊界條件和連續條件。解：邊界條件：連續條件：

.積分常數的物理意義和幾何意義物理意義：將x=0代入轉角方程和撓曲線方程，得即坐標原點處梁的轉角，它的EI倍就是積分常數C；即坐標原點處梁的撓度的EI倍就是積分常數D。幾何意義：C——轉角D——撓度(4)建立轉角方程和撓曲線方程；(5)計算指定截面的轉角和撓度值，特別注意和及其所在截面。.AqBL例題1:懸臂梁受力如圖所示。求和。X``yx取參考坐標系Axy。解：1、列出梁的彎矩方程2、積分一次：積分二次：（1）（2）

.3、確定常數C、D.由邊界條件：代入（1）得：代入（2）得：代入（1）（2）得：

.代入得：將（與C比較知：）（與D比較知：）常數C表示起始截面的轉角×剛度(EI)因此常數D表示起始截面的撓度×剛度(EI)

.例題2:

一簡支梁受力如圖所示。試求和。ALFCabyx解：1、求支座反力x2、分段列出梁的彎矩方程BC段xAC段B

.BC段AC段3、確定常數由邊界條件：（1）（2）由光滑連續條件：（3）（4）可解得：

.則簡支梁的轉角方程和撓度方程為BC段AC段4、求轉角代入得：代入得：

.5、求。求得的位置值x。則由解得：

.代入得：若