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第四模塊微、積分學的應用習題4—6函數曲線的凹凸性和拐點1．設函數y=f(x)在區間（a,b）內二次可導，且y>0,>0,<0，則曲線y=f(x)在（a,b）內位于x軸上方，單調遞增且凸向上。對嗎？解：對。2．設函數y=f(x)在區間（a,b）內二次可導，且<0,>0，則曲線y=f(x)在（a,b）單調遞減且凹向上。對嗎？解：對。3．求曲線y=+x-1的凹凸區間及拐點。解：=3-12x+1，=6x-12，令=0，解得：x=2，在（，2）內，<0,凹區間，在（2，）內，>0，為凸區間，x=2，y=-15。（2，-15）是拐點。4．求y=x+的凹凸區間及拐點。解：=1-，=，x=1，不存在，在（，1）內，<0,凹區間，在（1，）內，>0，為凸區間，無拐點。5．已知函數y=a+b+cx+d有拐點（-1,4），且在x=0處有極大值2，求a,b,c,d的值。解：=3a+2bx+c，因為在x=0處有極大值2，所以，d=2，c=0，而=6ax+2b，有拐點（-1,4），有-6a+2b=0，4=-a+b+2，得a=1，b=3。6．證明曲線y=xsinx上所有的拐點均位于曲線(4+)=4上證明：只需證明曲線y=xsinx上所有可能是拐點的坐標滿足方程(4+)=4=sinx+xcosx，=cosx+cosx-xsinx=2cosx-xsinx令=0，得:2cosx-xsinx=0（1）又y=xsinx（2）由（1）得x=2cotx（3）將（2）（3）代入(4+)=4中，兩邊相等，證得所有拐點在(4+)=4上。7．在整個實數軸上有界的函數必具有水平漸進線。對嗎？解:不對，例如y=sinx在R上有界，但無水平漸進線。8．若f(x)=c，則曲線y=f(x)有水平漸進線y=c。對嗎？解：對。9．曲線y=僅有垂直漸進線x=1。對嗎？解：不對。還有水平漸進線y=1。10．研究函數y=+9x-482—85的性態，并作出圖形。解：函數的定義域為（，），=3-12x+9=3（x-1）（x-3），令=0，解得：x=1，x=3，=6x-12，令=0，解得：x=2，列表討論：x（，1）1（1，2）2（2，3）3（3，）++———0+———0+++y增而凹極大值0減而凹拐點（2，-2）減而凸極小值-4增而凸作圖11．研究函數y=x的性態，并作出圖形。解：函數的定義域為（，），=-2，令=0，解得：x=，=-2x-4x+4=x（4-6），令=0，解得：x=0，x=，因為函數是奇函數，關于原點對稱，只要作出（，0），即可得到它的圖形。列表討論：x（，）（，）（，0）———0++0———y減而凸拐點（，）減而凹極小值增而凹作圖12．研究函數y=的性態，并作出圖形。解：函數的定義域為（，），=，令=0，解得：x=0，=，令=0，解得：x=，因為函數是偶函數，關于y軸對稱，只要作出（，0），即可得到它的圖形。列表討論：x（，—）

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