湖北省荊門市瀏河中學2021年高三數(shù)學理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知函數(shù)f（x）=min，其中min（p，q}表示p，q兩者中較小的一個，則滿足f（x）＜1的x的集合為（）A．（0，） B．（0，）∪（4，+∞） C．（0，2） D．（0，2）∪（16，+∞）參考答案：D【考點】對數(shù)值大小的比較．【分析】先根據(jù)“設min{p，q}表示p，q兩者中的較小的一個”求得函數(shù)f（x），再按分段函數(shù)用分類討論解不等式．【解答】解：①當3﹣log2x＜log2x時，即x＞4時f（x）=3﹣log2x，②當3﹣log2x＞log2x時，即x＜4時f（x）=log2x，∴f（x）＜1；當x＞4時，f（x）=3﹣log2x＜1，此時：x＞16；當x＜4時f（x）=log2x＜1，此時：0＜x＜2；綜上不等式的解集為：（0，2）∪（16，+∞）．故選：D．2.若變量x，y滿足約束條件，則z=2x+y的最大值為（）A．1 B．2 C．3 D．4參考答案：C【考點】7D：簡單線性規(guī)劃的應用．【分析】先根據(jù)約束條件畫出可行域，設z=2x+y，再利用z的幾何意義求最值，只需求出直線z=2x+y過可行域內(nèi)的點B時，從而得到m值即可．【解答】解：作出可行域，作出目標函數(shù)線，可得直線與y=x與3x+2y=5的交點為最優(yōu)解點，∴即為B（1，1），當x=1，y=1時zmax=3．故選C．3.函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期是π，若其圖象向右平移個單位后得到的函數(shù)為奇函數(shù)，則函數(shù)f（x）的圖象(

) A．關(guān)于點對稱 B．關(guān)于x=對稱 C．關(guān)于點（，0）對稱 D．關(guān)于x=對稱參考答案：A考點：正弦函數(shù)的圖象．專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．分析：由條件利用正弦函數(shù)的周期性求得ω，再根據(jù)奇偶性求出φ，可得函數(shù)的解析式；再根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律、正弦函數(shù)的圖象的對稱性，得出結(jié)論．解答： 解：由函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期是π，可得=π，求得ω=2．把f（x）的圖象向右平移個單位后得到的圖象對應函數(shù)為y=sin=sin（2x+φ﹣），再根據(jù)得到的函數(shù)為奇函數(shù)，可得φ﹣=kπ，k∈z，即φ=kπ+，故φ=﹣，f（x）=sin（2x﹣）．令x=，求得f（x）=0，可得函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點對稱，故選：A．點評：本題主要考查正弦函數(shù)的周期性、奇偶性，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的圖象的對稱性，屬于基礎題．4.已知是兩個不同的平面，是一條直線，給出下列說法：①若，，則；②若，，則；③若，，則；④若，，則.其中說法正確的個數(shù)為（

）A．3

B．2

C．1

D．0參考答案：C①若，，則或,不正確；②若，，則或，不正確；③若，，則，正確；④若，，則或或與相交且與不垂直，不正確，故選C.

5.設a=log32，b=log2，c=，則（）A．a(chǎn)＞b＞c B．c＞b＞a C．a(chǎn)＞c＞b D．c＞a＞b參考答案：D【考點】對數(shù)值大小的比較．【分析】利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出．【解答】解：∵a=log32∈（0，1），b=log2＜0，c=＞1，則c＞a＞b，故選：D．6.某三棱錐的三視圖如圖所示，該三棱錐的體積是（

）A．

B．

C．

D．

參考答案：B由三視圖可知該幾何體為三棱錐，三棱錐的高為2，底面三角形的高為3，底面邊長為3，所以底面積為，所以該幾何體的體積為，選B.7.將函數(shù)的圖象上向左平移個單位，再向上平移3個單位，得到函數(shù)的圖象，則解析式為（

）

參考答案：B8.已知復數(shù)z滿足z+|z|=1+i，則z=A．－i

B．i

C． 1－i

D．1+i參考答案：B9.設集合A={x|2x≤4}，集合B={x|y=lg（x﹣1）}，則A∩B等于（）A．（1，2） B．[1，2] C．[1，2） D．（1，2]參考答案：D【考點】對數(shù)函數(shù)的定義域；交集及其運算．【分析】解指數(shù)不等式求出集合A，求出對數(shù)函數(shù)的定義域即求出集合B，然后求解它們的交集．【解答】解：A={x|2x≤4}={x|x≤2}，由x﹣1＞0得x＞1∴B={x|y=lg（x﹣1）}={x|x＞1}∴A∩B={x|1＜x≤2}故選D．10.若某空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（）A．2 B．1 C． D．參考答案：B【考點】L!：由三視圖求面積、體積．【分析】由題意可知圖形的形狀，求解即可．【解答】解：本題考查立體圖形三視圖及體積公式如圖，該立體圖形為直三棱柱所以其體積為．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.觀察下列式子：1+＜，1++＜，1+++＜，…據(jù)以上式子可以猜想：1++++…+＜．參考答案：1++++…+＜【考點】歸納推理．【分析】由已知中的不等式：我們可以推斷出：右邊分式的分母與左右最后一項分母的底數(shù)相等，分子是分母的2倍減1，即可得答案．【解答】解：由已知中的不等式，我們可以推斷出：右邊分式的分母與左右最后一項分母的底數(shù)相等，分子是分母的2倍減1，∴1++++…+＜．故答案為：1++++…+＜．【點評】歸納推理的一般步驟是：（1）通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；（2）從已知的相同性質(zhì)中推出一個明確表達的一般性命題（猜想）．12.函數(shù)y=sinx﹣cosx﹣sinxcosx的最大值為．參考答案：+【考點】三角函數(shù)的最值．

【專題】三角函數(shù)的求值．【分析】令sinx﹣cosx=t∈[﹣，]，可得y=（t+1）2﹣1，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得它的最大值．【解答】解：令sinx﹣cosx=t∈[﹣，]，則t2=1﹣2sinxcosx，函數(shù)y=sinx﹣cosx﹣sinxcosx=t﹣=t2+t﹣=（t+1）2﹣1，故當t=時，函數(shù)y取得最大值為t=+，故答案為：+．【點評】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，屬于基礎題．13.已知函數(shù)若在R上為增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是

__________．參考答案：略14.已知函數(shù)f(x)=，①方程f（x）=﹣x有

個根；②若方程f（x）=ax恰有兩個不同實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是．參考答案：①1，②

【考點】利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程；根的存在性及根的個數(shù)判斷．【分析】①畫出函數(shù)的圖形，即可得到解的個數(shù)；②由題意，方程f（x）=ax恰有兩個不同實數(shù)根，等價于y=f（x）與y=ax有2個交點，又a表示直線y=ax的斜率，求出a的取值范圍．【解答】解：①函數(shù)，與y=﹣x的圖象如圖：可知方程f（x）=﹣x有1個根．②函數(shù)，∵方程f（x）=ax恰有兩個不同實數(shù)根，∴y=f（x）與y=ax有2個交點，又∵a表示直線y=ax的斜率，∴y′=，設切點為（x0，y0），k=，∴切線方程為y﹣y0=（x﹣x0），而切線過原點，∴y0=1，x0=e，k=，∴直線l1的斜率為，又∵直線l2與y=x+1平行，∴直線l2的斜率為，∴實數(shù)a的取值范圍是[，）故答案為：①1，②．15.已知面積和三邊滿足：，則面積的最大值為________．參考答案：16.函數(shù)的圖像經(jīng)過四個象限，則實數(shù)a的取值范圍是_________.參考答案：【分析】當時顯然不成立，當時，分和兩種情況討論原函數(shù)的單調(diào)性，求出極值，當，只需要極大值大于0，極小值小于0，即可求出的范圍，同理當時，也可解出的范圍。【詳解】，當時，，為單調(diào)遞增函數(shù)，顯然不成立，當時，當時，，為單調(diào)遞增函數(shù)，

當，時，單調(diào)遞減函數(shù)由題意得，即解得，又，所以同理當時，解得，所以，17.已知n=（2x+1）dx，數(shù)列{}的前n項和為Sn，數(shù)列{bn}的通項公式為bn=n﹣35，n∈N*，則bnSn的最小值為．參考答案：﹣25【考點】定積分；數(shù)列的求和．【分析】由題意，先由微積分基本定理求出an再根據(jù)通項的結(jié)構(gòu)求出數(shù)列{}的前n項和為Sn，然后代入求bnSn的最小值即可得到答案【解答】解：an=（2x+1）dx=（x2+x）=n2+n∴==﹣∴數(shù)列{}的前n項和為Sn=++…+=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣=，bn=n﹣35，n∈N*，則bnSn=×（n﹣35）=n+1+﹣37≥2×6﹣37=﹣25，等號當且僅當n+1=，即n=5時成立，故bnSn的最小值為﹣25．故答案為：﹣25三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.設，函數(shù)。(Ⅰ)若a＝2，求曲線在點(1，f(1))處的切線方程；(Ⅱ)若函數(shù)有兩個不同的零點，求a的取值范圍。參考答案：19.如圖所示，該幾何體是由一個直三棱柱和一個四棱錐組合而成，其中，,．（Ⅰ）證明：平面；（Ⅱ）若四棱錐的高2，求二面角的余弦值．

參考答案：（Ⅰ）證明：直三棱柱中，平面，………………2分

所以，又，，………………3分

所以平面．………………4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面，以為原點，，，方向為，，軸建立空間直角坐標系，，則，，，，，，．………………6分

設平面的一個法向量，則取，則，所以．………………8分

設平面的一個法向量，則取，則，，所以．………………10分

所以………………11分

因為二面角的平面角是銳角，所以所求二面角的余弦值為．………………12分

20.為了調(diào)查某大學學生在周日上網(wǎng)的時間，隨機對名男生和名女生進行了不記名的問卷調(diào)查,得到了如下的統(tǒng)計結(jié)果：表1：男生上網(wǎng)時間與頻數(shù)分布表上網(wǎng)時間（分鐘）人數(shù)525302515表2：女生上網(wǎng)時間與頻數(shù)分布表上網(wǎng)時間（分鐘）人數(shù)1020402010

（Ⅰ）若該大學共有女生750人,試估計其中上網(wǎng)時間不少于60分鐘的人數(shù)；（Ⅱ）完成表3的列聯(lián)表，并回答能否有90%的把握認為“學生周日上網(wǎng)時間與性別有關(guān)”？（Ⅲ）從表3的男生中“上網(wǎng)時間少于60分鐘”和“上網(wǎng)時間不少于60分鐘”的人數(shù)中用分層抽樣的方法抽取一個容量為5的樣本，再從中任取兩人，求至少有一人上網(wǎng)時間超過60分鐘的概率.表3：

上網(wǎng)時間少于60分鐘上網(wǎng)時間不少于60分鐘合計男生

女生

合計

附：，其中0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.0010.4550.7081.3232.0722.7063.845.0246.6357.87910.83參考答案：解:(1)設估計上網(wǎng)時間不少于60分鐘的人數(shù),依據(jù)題意有,解得:,所以估計其中上網(wǎng)時間不少于60分鐘的人數(shù)是225人…………4分(2)根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)得到如下列聯(lián)表:

上網(wǎng)時間少于60分鐘上網(wǎng)時間不少于60分鐘合計男生【6040100女生7030100合計13070200

其中

因此,沒有90%的把握認為“學生周日上網(wǎng)時間與性別有關(guān)”………………8分(3)因為上網(wǎng)時間少于60分鐘與上網(wǎng)時間不少于60分鐘的人數(shù)之比為,所以5人中上網(wǎng)時間少于60分鐘的有3人,記為

上網(wǎng)時間不少于60分鐘的有2人,記為從中任取兩人的所有基本事件為:(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),共10種,其中“至少有一人上網(wǎng)時間超過60分鐘”包含了7種,

…………12分略21.（本小題滿分13分）已知等差數(shù)列前三項的和為，前三項的積為.（Ⅰ）求等差數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）若，，成等比數(shù)列，求數(shù)列的前項和.參考答案：解：（Ⅰ）設等差數(shù)列的公差為，則，，由題意得

…2分解得或

…4分

所以由等差數(shù)列通項公式可得，或.故，或.

…6分（Ⅱ）當時，，，分別為，，，不成等比數(shù)列；…7分當時，，，分別為，，，成等比數(shù)列