習題課直線曲面曲線平面參數方程旋轉曲面柱

面二次曲面一般方程參數方程一般方程對稱式方程點法式方程一般方程空間直角坐標系一、空間解析幾何二、典型例題解：用平面束,設所求平面為，x+28y

-

2z+17+l(5

x

+

8

y

-

z

+1)

=

0用球心(0,

0,

0)到平面的距離為1,求得ll

=250

或l

=-289所求平面為,387

x

-164

y

-24z

=421或3x

-4

y

=5

x

+

28

y

-

2z

+

17

=

0例1

:P

38例4，求過直線L

:5

x

+8

y

-z

+1

=0球面x2

+

y2

+

z2

=

1相切的平面方程且與平面束解：過點M0(直線與平面的交點)

x

+

2z

=

0

x

+

2z

=

0例2

:設平面p

:x

+y

+z

=1與直線L

:

y+z

+1

=0的交點為M0，在平面上求一直線過M0且與直線L垂直0

x

+

y

+

z

=

1解

y+z

+1

=

0

得M

(0,

-1,

0)設方向向量s

,

s即垂直于p的法向量{1,1,1}，又垂直于已知直線的方向向量{1,

0,

2}·{0,1,1}

=

{-2,

-1,1}s

=

{1,1,1}·{-2,

-1,1}

=

{-2,

3,

-1}對稱式寫出直線方程P38

例5解：先求直線L與平面p的交點M,聯立得M

(5,

-2,-4)在直線上任取一點，如A(0,3,1)1過A做垂直于平面p的直線L2x

+

y

+

z

-

4

=

0例3

:求直線L

:

y

-z

-2

=0p

:x

+y

+z+1=0的對稱直線.關于平面求L1與平面p的交點Nx

=

y

-

3

=

z

-11

1

1用中點公式求A關于N的對稱點B

(-

10

,

-

1

,

-

7

)3

3

3過M

,B的直線即為所求直線3

3

3(-

5

4

2,

,

-

)P41

例8

x2

+

y2

+

z2

=

10

y例4

:求圓

x

+2

y

+2z

-19

=0的圓心及半徑,P42例9.解：過球心A(0,5,0)做平面p:x

+2

y

+2z

-19的垂線Lx

=

y

-

5

=

z1

2

2L與平面p的交點B即為圓心圓的半徑= 25

-

AB21

1

-1例5：已知直線L

:

x

-

1

=y

=z

-1

,平面p

:x

-y

+2z

-1

=0,求直線L在平面p上的投影直線L0的方程；直線L0繞y軸旋轉一周所得旋轉曲面S的方程；(3)曲面S與平面y

=1及y

=2所圍立體的體積.解:(1)直線的一般方程L

:

x

-1

=y令

=

0,即1

+

1

-

l

+

2l

=

0，得n

n1其法向量

=

(1,

l

-

1,

l),

平面p的法向量

=

(1,

-1,

2)n

n1l

=

-2所以過L與p垂直的平面方程為：x

-3

y

-2z

+1

=0L在p上的投影直線L

：

x

-3

y

-2z

+1

=00

y

=

1

-

z過L的平面束：(x

-y

-1)+l(y

+z

-1)=0

x

-

y

+

2z

-

1

=

0(P42例10)L在p上的投影直線L

：

x

-3

y

-2z

+1

=00

x

-

y

+

2z

-

1

=

0(2)直線L0繞y軸旋轉一周所的旋轉曲面S的方程；在S上任取一點M

(x,y,z),M

(x,y,z)是L0上M0

(x0

,y0

,z0

)繞y軸旋轉所得，則y0

=

y222x

+

z

=

x

+

z2

0

0(x0

,y0

,z0

)滿足直線L0的方程即:

x0

-

3

y0

-

2z0

+

1

=

0

x

-

y

+

2z

-1

=

0

0

0

0得:

x0

=

2

y0

z

=

1

-

y0

02(1

-

y)2x2

+

z2

=

x2

+

z2

=

4

y2

+0

04所以S

:4

x2

-17

y2

+4z2

+2

y

-1

=0(3)曲面S與平面y

=1及y

=2所圍立體的體積.旋轉面S

:4

x2

-17

y2

+4z2

+2

y

-1

=0過y軸上一點做垂直與y軸的平面，在旋轉體上的截面為圓，設(x,y,z)為圓上一點4截面圓面積:p

(x2

+z2

)又(x,y,z)在曲面上，則截面圓面積:p

(17

y2

-

2

y

+

1214p

(17

y2

-

2

y

+

1V

=113)dy

= p12解-8z

+12

=0

組成p

角的平面方程.4過已知直線的平面束方程為x

+

5

y

+

z

+

l(

x

-

z

+

4)

=

0,即

(1

+

l)

x

+

5

y

+

(1

-

l)z

+

4l

=

0,

x

-

z

+

4

=

0,例6

求過直線:

x

+5

y

+z

=0

且與平面x

-4

y其法向量n

={1

+l,5,1

-l}.又已知平面的法向量

={1,-4,-8}.n由題設知1cosn

n

=p4

nn1(1

+

l)2

+

52

+

(1

-

l)212

+

(-4)2

+

(-8)2(1

+

l) 1

+

5 (-4)

+

(1

-

l) (-8)=22l2

+

272

=

l

-

3即

,由此解得l

=-3

.4x

+

20

y

+

7z

-

12

=

0.代回平面束方程為解20

1z

=

2

x

-

1L

:

y

=3

x

-4

都相交的直線L.z

=

x

-

1例7

求過點

M

(1,1,1)

且與兩直線

L

:

y

=

2

x

,將兩已知直線方程化為參數方程為

L2

:

y

=

3t

-

4z

=

2t

-

1

x

=

t

x

=

tz

=

t

-1L1

:

y

=

2t

,設所求直線L

與L1

,L2

的交點分別為A(t1

,2t1

,t1

-1)和B(t2

,3t2

-4,2t2

-1).

M0

(1,1,1)與A,B

三點共線,故M0

A

=lM0

B

(l

為實數).于是

M0

A,

M0

B

對應坐標成比例,

即有t1

-1

=

2t1

-

1

=

(t1

-1)

-1

,t2

-1

(3t2

-

4)

-1

(2t2

-

1)

-

1解之得

t1

=

0,

t2

=

0,\

A(0,0,-1),

B(2,2,3)點M0

(1,1,1)和B(2,2,3)同在直線L

上,故L

的方程為x

-

1

=

y

-

1

=

z

-

1.1

1

2例8解x

+2

y

-z

=0

上的投影直線的方程.

x

+

y

-

z

+1

=

0求直線L

:2x

-y

+z

-1

=0

在平面p:過直線L

的平面束方程為(2

x

-

y

+

z

-

1)+

l(

x

+

y

-

z

+

1)

=

0,即(2

+l)x

+(l

-1)y+

(1

-

l)z

+

(l

-

1)

=

0.L4即4l

-

1

=

0,

故

l

=

1將l

代入平面束方程,得3

x

-y

+z

-1

=0.所求投影直線方程為3

x

-y

+z

-1

=0.

x

+

2

y

-

z

=

0又垂直于平面p,\

(2

+

l) 1

+

(l

-

1) 2

+

(1

-

l) (-1)

=

0.例9解

設直線上一點

M1

(1,

y1

,

z1

)求旋轉曲面的方程.直線L

:x

-1

=y

=z

繞z

軸旋轉一周,0

1

1有y1

=z1

,旋轉后M1

(1,y1

,z1

)到達M

(x,y,z)位置由于高度不變,有z

=z1

,又M

和M1

到z

軸的距離r

不因旋轉而改變,1故

r

2

=

1

+

y2

=

x2

+

y2

,由于z

=z1

=y1

,故所求旋轉曲面方程為x2

+

y2

-

z2

=

1.作業P458，11，13（2），14，

15，20一、選擇題：fi

fi

fi

fi1、若a

，b

為共線的單位向量，則它們的數量積

a b

=（

）.（A）

1；

（B）-1；（C）

0；fi

fi（D）cos(a

,

b

).fi

fi

fi

fi2、向量a

·

b

與二向量a

及b

的位置關系是（）.（

A

）

共面；

（B）共線；（C）

垂直；

（D）斜交

.測

驗

題fi3、設向量Q

與三軸正向夾角依次為a

,b

,g

，當fi4、設向量Q與三軸正向夾角依次為a

,b

,g

當cos

g

=

1時有（

）(

A)Q^xoz面yoz面;Q‖cos

b

=

0時，有（

）(

B)(

D)(

A)(C

)Q‖

xoy面；Q‖

xoz面;(C

)

Q^xoz面;Q^xoy面；(B)

Q^yoz面;(D)

Q‖

xoy面fi

fi5、(

a

–

b

)2

=（）2

2fi

fi（A）a

–

b

；22fi

fi

fifi

2

fi

fi

fi

2（C）a

–

a

b

+

b

；22fi

fi

fifi（B）a

–

2a

b

+

b

；fi（D）a–

a

b

+

2

b

.6、設平面方程為Bx

+

Cz

+

D

=

0，且B

,

C

,

D

?

0，

則平面（

）.平行于x

軸；平行于y

軸；經過y

軸；垂直于y

軸.7、設直線方程為

A1

x

+B1

y

+C1

z

+D1

=0且2

2B y

+

D

=

0A1

,B1

,C1

,D1

,B2

,D2

?0,則直線（）.（A）過原點；（C）垂直于y

軸；（B）平行于z

軸；（D）平行于x

軸.3=

y

-

5-

18、曲面z

2

+xy

-yz

-5

x

=0

與直線x7=

z

-

10

的交點是（

）.（A）(

1

,

2

,

3

)

,

(

2

,-1

,-4

)；（B）(

1

,

2

,

3

)；（C）(

2

,

3

,

4

)；（D）(

2

,-1

,-4

)

.9、已知球面經過(0,-3,1)且與xoy

面交成圓周z

=

0

x

2

+

y

2

=

16，則此球面的方程是（

）.（A）

x

2

+

y

2

+

z

2

+

6z

+

16

=

0；（B）

x

2

+

y

2

+

z

2

-

16z

=

0；（C）

x

2

+

y

2

+

z

2

-

6z

+

16

=

0；（D）

x

2

+

y

2

+

z

2

+

6z

-

16

=

0.10、下列方程中所示曲面是雙葉旋轉雙曲面的是（

）.（A）

x

2

+

y

2

+

z

2

=

1；（B）

x

2

+

y

2=

4z

；42

2y

2（C）

x

-+

z

=

1；

（D）169z

2- =

-1.x

2

+

y

2二、已知向量

a,b

的夾角等于p3fifi，且

a

=

2

,

b

=

5，求fi

fi

fi

fi(a

-

2

b)

(a

+

3

b)

.fi

fi三、求向量a

={4,-3,4}在向量b

={2,2,1}上的投影.四、設

平

行

四

邊

形

二

邊

為

向

量fia

={1,-3,1};b

={2,-1,3}，求其面積.fi

fi五、已知a

,b

,為兩非零不共線向量，求證：fi

fi

fi

fi

fi

fi(a

-

b)

·(a

+

b)

=

2(a·

b).六、一動點與點M

(1,0,0)的距離是它到平面x

=4

的距離的一半，試求該動點軌跡曲面與yoz

面的交線方程.

x

=

3

-

t七、求直線L

：

y

=-1

+2t

,在三個坐標面上及平面z

=

5

+

8tp

:x

-y

+3z

+8

=0上的投影方程.2

-

3

2八、求通過直線x

-1

=y

+2

=z

-2

且垂直于平面

3

x

+2

y

-z

-5

=0的平面方程.1L

：

x

+

3

y

=

-52

x

-

4

y

+

z

=

12z

=

-3

+

2t九、求點(-1,-4,3)并與下面兩直線

x

=

2

+

4t，L

:

y

=-1

-t

都垂直的直線方程.十、求通過三平面：2

x

+y

-z

-2

=0，x

-3

y

+z

+1

=0和x

+y

+z

-3

=0的交點，且平行于平面x

+y

+2z

=0的平面方程.十一、在平面x

+y