2023年九年級(jí)數(shù)學(xué)中考專題：動(dòng)態(tài)幾何壓軸題

1.正方形邊長(zhǎng)為2,點(diǎn)E、F在CB、OC延長(zhǎng)線上，且BE=CF,AE與8F延長(zhǎng)

線交于點(diǎn)G.

圖3

(2)如圖2,點(diǎn)M是/G延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，MG=BG,口〃/。的平分線交8尸于點(diǎn)N,連接

CN.試探究NN、CN、BN三條線段的數(shù)量關(guān)系，并證明；

(3)如圖3,G為8c上一點(diǎn)，過(guò)G作GHDOG交于H點(diǎn)，當(dāng)8G=,8"達(dá)到最

大值，最大值是.

2.如圖1,在口/8C中，BC=6,P是8c邊的一點(diǎn)，且不與8,C重合，將」ZP8沿

工尸折疊得△回',過(guò)點(diǎn)C作/P垂線，垂足為。，連接。8,BB1,B'C.

(1)/8和AB，的數(shù)量關(guān)系是,/P與的位置關(guān)系是；

(2)如圖2,當(dāng)四邊形80C8'是平行四邊形時(shí)，求的長(zhǎng)；

⑶在(2)的條件下，若BD=CD,求證：A82-AC2=3Ar>OP.

3.【問(wèn)題情境】如圖1,在等腰直角三角形N8C中，MC8=90。，/是/C邊上一動(dòng)點(diǎn)

(點(diǎn)廠不與點(diǎn)A,C重合)，以CA1為邊在口/8。外作正方形CDE凡連接力￡),BF.

圖1

(1)【探究展示】□猜想：圖1中，線段8F,的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系

是.

如圖2,將圖1中的正方形C￡?繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a,BF交AC于點(diǎn)、H,交NO于

點(diǎn)。，口中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)說(shuō)明理由.

(2)【拓展延伸】如圖3,將【問(wèn)題情境】中的等腰直角三角形4BC改為直角三角形ABC,

DACB=900,正方形CDEF改為矩形CDER連接8F并延長(zhǎng)，交4c于點(diǎn)H,交于

4

點(diǎn)。，連接8Z),AF.若/C=4,BC=3,CD=~,CF=\,求BEP+AU的值.

4.如圖甲，操作：把正方形CGE尸的對(duì)角線CE放在正方形N8C。的邊8C的延長(zhǎng)線上

(CG>8C),取線段/E的中點(diǎn)

(1)探究線段匐入加尸的位置及數(shù)量關(guān)系，直接寫(xiě)出答案即可；

(2)將正方形CGE尸繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。(如圖乙)，令CG=22C其他條件不變，結(jié)論

是否發(fā)生變化，并加以證明；

(3)將正方形CGE尸繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)任意角度后(如圖丙)，其他條件不變.探究：線段

加的位置及數(shù)量關(guān)系，并加以證明.

(1)如圖1,當(dāng)a=60。，且點(diǎn)E為8c的中點(diǎn)時(shí)，若AB=2,連接4D求/。的長(zhǎng)度；

(2)如圖2,若a工60°,且點(diǎn)￡為8c中點(diǎn)時(shí)，取CE中點(diǎn)F,連接4尸、。凡求證：AF^DF；

(3)如圖3,將用BDE繞點(diǎn)8順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度(0。〈旋轉(zhuǎn)角度V90。)，連接CE,取

C￡中點(diǎn)尸，連接/尸、DF、AD,若a=67.5。，A/=6時(shí)，求△4。尸的面積.

6.如圖1,在正方形A8CO中，尸是BC的中點(diǎn)，E為邊AC上任意一點(diǎn)，連接PE,將

線段PE繞點(diǎn)尸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到線段尸尸，連接EF,交48于點(diǎn)G.

試卷第2頁(yè)，共8頁(yè)

'圖1廣圖2'。圖3

(1)若AB=4,AE=42,求EP的長(zhǎng)；

(2)如圖2,點(diǎn)G恰好是EF的中點(diǎn)，連接8尸，求證：2BF=?CP;

(3)如圖3,將沿尸尸翻折，使得點(diǎn)8落在點(diǎn)。處，連接A。、EQ,若鉆=4,

當(dāng)4Q+PQ最小時(shí)，直接寫(xiě)出AB。的面積.

7.如圖1,在△/SC中，口48c=90。，AB=2BC,點(diǎn)。是ZC邊上一點(diǎn)(不與端點(diǎn)/、

C重合)，過(guò)點(diǎn)C作CE垂直于射線8D,垂足為E,點(diǎn)尸在射線8。上，且E/=2EC,

連接NRCF、AE.

(1)求證：AJCFQLBCE；

(2)如圖2,連接NE,點(diǎn)G、H、尸分別為線段48、AE,小的中點(diǎn)，連接G”、HP、

Hp

GP.求tan(DHGP+aHPG)及丁的值；

⑶在(2)的條件下，若BC=1,BE=x,SAPGH=y,請(qǐng)寫(xiě)出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.

8.如果兩個(gè)角之差的絕對(duì)值等于60°,則稱這兩個(gè)角互為“互優(yōu)角”，即若Qa-邛|=60。,

則稱1a和夕互為“互優(yōu)角”.(本題中所有角都是大于0。且小于180。的角)

(2)如圖1,將一長(zhǎng)方形紙片沿著EP對(duì)折，(點(diǎn)P在線段8c上，點(diǎn)E在線段上)，使

點(diǎn)B落在夕若口琢的與OCP9互為“互優(yōu)角”，則口瓦石的度數(shù)為；

(3)再將紙片沿著尸尸對(duì)折(點(diǎn)尸在線段CD或4。上)，使點(diǎn)C落在C，.

□如圖2,若點(diǎn)、E,C,P在同一直線上，且口87匕與口￡尸產(chǎn)互為“互優(yōu)角”，求尸尸的

度數(shù)(對(duì)折時(shí)，線段落在EJEPF內(nèi)部)；

口若口"尸。與口后尸尸互為“互優(yōu)角”，則口8莊：與口。尸產(chǎn)應(yīng)滿足什么樣的數(shù)量關(guān)系(直接

寫(xiě)出結(jié)果即可).

9.在矩形488中，AB=6,BC=4,以點(diǎn)/為旋轉(zhuǎn)中心，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)矩形/8CQ,旋

轉(zhuǎn)角為a(0o<aV180。)，得到矩形NEFG,點(diǎn)8、點(diǎn)C、點(diǎn)。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)E、

點(diǎn)尸、點(diǎn)G.

(1)如圖匚，當(dāng)點(diǎn)E落在。。邊上時(shí)，直接寫(xiě)出線段EC的長(zhǎng)度為；

(2)如圖口,當(dāng)點(diǎn)￡落在線段CF上時(shí)，力￡與OC相交于點(diǎn)〃，連接ZC

□求證：AACDHOCAE；

□求線段。，的長(zhǎng)度.

(3)如圖□設(shè)點(diǎn)尸為邊FG的中點(diǎn)，連接P8,PE,在矩形/8CD旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，ABEP的

面積是否存在最大值？若存在請(qǐng)直接寫(xiě)出這個(gè)最大值；若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由.

10.在二ABC中，AC=BC,。為一ABC外一點(diǎn)，連接CO.

⑴如圖1,若NAC8=60。，CO〃A8,連接BD交AC于點(diǎn)E,且8=2AB=2,求SBCE.

(2)如圖2,CE=CD,NECB=/DCA,EZ)交AB于點(diǎn)尸，F(xiàn)G垂直平分EC,且FG=,

試卷第4頁(yè)，共8頁(yè)

M,N分別為"，CO中點(diǎn)，連接MN,求證：MN=^BF.

(3)如圖3,若ZACB=90。,CD//AB,將AO繞著A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到47,連接

DD',BD',且AC=#,求的最小值.

11.菱形N8CC的對(duì)角線ZC,BD交于點(diǎn)O,以。I為邊作矩形/EFO,點(diǎn)E恰好落在

線段48的垂直平分線上，點(diǎn)廠在。8上，G是。。上一點(diǎn)，且OG=8E,連接CG,BF.

圖1圖2圖3

(1)如圖1,求證：OB=OG+CG；

(2)如圖2,M為菱形外一點(diǎn)，連接M4與8。交于點(diǎn)M與8c交于點(diǎn)尸.連接MC,

MB,若NAMC=NfiGC,求證：ZAMB=NBAC；

(3)如圖3,在(2)的條件下，若3O=2AO=8,ZAMB=45+1zM4C,連接MG,

求線段MG的長(zhǎng).

12.已知矩形488,點(diǎn)E為直線8。上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)E不與點(diǎn)8重合)，連接4E,

以NE為一邊構(gòu)造矩形4MG(A,E,F,G按逆時(shí)針?lè)较蚺帕?，連接。G.

nn

⑵如圖2,當(dāng)賓=等=2時(shí)，請(qǐng)猜想線段8E與線段。G的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并

ABAE

說(shuō)明理由；

(3)如圖3,在(2)的條件下，連接8G,EG,分別取線段8G,EG的中點(diǎn)M,N,連

接MN,MD,ND,若/8=逐，ME8=45。，請(qǐng)直接寫(xiě)出的面積.

13.EM8C與口。”均為等邊三角形，。在邊/C上，連接8E.

AA

D

B

圖1圖2

(1)如圖1,若Z8=4,CE=2,求BE的長(zhǎng);

(2)如圖2,若AB>DC,在平面內(nèi)將圖1中口。。￡繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)6((0。<61<120。),

連接8。、AE,交于點(diǎn)。，連接OC,在USE運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，猜想線段ZO,OC,B0之

間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想;

(3)如圖3,將QDCE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30。，連接8。，點(diǎn)尸、G為直線8。上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),

且FG=6,連接CF,AG.若CD=2,AB=JiCD,求C產(chǎn)IFG+G4的最小值.

14.如圖1,在Rt中，ZACB=90°,ZBAC=30°,BC=4,點(diǎn)M,N分別是邊

AC,A8的中點(diǎn)，連接MN.

圖1圖2

CM,,/士生

(1)觀察猜想:圖1中，邊AC的長(zhǎng)是.,南的值為

(2)探究證明:把AMN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置，連接CM,BN,請(qǐng)求

...CM的/古

出而的值;

(3)拓展延伸:把,AMN繞點(diǎn)A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，當(dāng)以A,B,C,N為頂點(diǎn)的四邊

形為平行四邊形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段CM的長(zhǎng).

15.閱讀下面材料：有公共頂點(diǎn)Z的正方形A8C。與正方形AEGF按如圖1所示放置,

點(diǎn)、E,尸分別在邊A8和上，連接8尸，OE,M是8尸的中點(diǎn)，連接AM交OE于點(diǎn)

N.

試卷第6頁(yè)，共8頁(yè)

(2)【探究】將圖1中的正方形AEGF繞點(diǎn)/順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)G恰好落在邊A8上，如

圖2,其他條件不變，線段DE與4W之間的關(guān)系是否仍然成立？請(qǐng)說(shuō)明理由.

(3)【應(yīng)用】在(2)的條件下，若A￡=4,ZMAB=i5°,請(qǐng)直接寫(xiě)出線段AM的長(zhǎng).

16.如圖1,點(diǎn)E是正方形/8CO的邊8c上一點(diǎn)，連接ZE,并將ZE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋

轉(zhuǎn)90。，得到EG,過(guò)點(diǎn)G作GF_LBC于點(diǎn)尸，GH1CD于點(diǎn)H.

圖2

圖3

(1)口判斷：四邊形CFG”的形狀為；□證明你的結(jié)論;

(2)如圖2,連接NG,交DC于I,連接E/,若CF=4,CI=6,求正方形488的邊

長(zhǎng);

(3)如圖3,連接8。，與4E、4G交于P、。兩點(diǎn)，試探索8P、PQ、。。之間的數(shù)量關(guān)

系，并直接寫(xiě)出結(jié)論:

17.(1)閱讀理解：如圖1,等邊ABC內(nèi)有一點(diǎn)區(qū)若點(diǎn)P到頂點(diǎn)4B,C的距離分

別為3,4,5,求/AP8的大小.

思路點(diǎn)撥：考慮到PAP3,PC不在一個(gè)三角形中，采用轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想，可以將

繞頂點(diǎn)N逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。到ACP'處，此時(shí).ACPN43P,這樣，就可以利用

全等三角形知識(shí)，結(jié)合已知條件，將三條線段的長(zhǎng)度轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中，從而求出

ZAPB=________

（2）變式拓展：請(qǐng)你利用第（1）問(wèn)的解答思想方法，解答下面問(wèn)題：

如圖2,在"C中，NC48=90。,AB=AC,E、尸為8c上的點(diǎn)且

NE4F=45°,BE=8,CF=6,求E/的大小.

（3）能力提升：如圖3,在RtABC中，乙4cB=90o,AC=l,ZA8C=30O;^C^RtABC

內(nèi)一點(diǎn)，連接AO/O,C。，且NAOC=NCO3=2304=120。，請(qǐng)直接寫(xiě)出

（OA+OB+OC）2=.

18.如圖1,在中，ZACB=90°,CD平分/ACS,且AD工班）于點(diǎn)D

（1）判斷△A3。的形狀；

（2）如圖2,在（1）的結(jié)論下，若8Q=2應(yīng)，￡＞Q=3,ZBQD=15°,求AQ的長(zhǎng);

（3）如圖3,在（1）的結(jié)論下，若將OB繞著點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)。（0°＜。＜90。）得到皿\

連接BP,作小_L3P交AP于點(diǎn)足試探究AF與。E的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

試卷第8頁(yè)，共8頁(yè)

參考答案:

1.(2