江西省贛州市楊村中學2022年高三數學理上學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A2.函數的圖像恒過定點A，若點A在直線上，且，則的最小值為

（

）A.13

B.16

C..

D.28.參考答案：B略3.設三棱錐V-ABC的底面是正三角形，側棱長均相等，P是棱VA上的點（不含端點），記直線PB與直線AC所成角為，直線PB與平面ABC所成角為，二面角P-AC-B的平面角為，則（

）A. B.C. D.參考答案：B【分析】本題以三棱錐為載體，綜合考查異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角的概念，以及各種角的計算.解答的基本方法是通過明確各種角，應用三角函數知識求解，而后比較大小.而充分利用圖形特征，則可事倍功半.【詳解】方法1：如圖為中點，在底面的投影為，則在底面投影在線段上，過作垂直，易得，過作交于，過作，交于，則，則，即，，即，綜上所述，答案為B.方法2：由最小角定理，記的平面角為（顯然）由最大角定理，故選B.法2：（特殊位置）取為正四面體，為中點，易得，故選B.【點睛】常規解法下易出現的錯誤有，不能正確作圖得出各種角.未能想到利用“特殊位置法”，尋求簡便解法.

4.已知圓錐的頂點為P，母線PA、PB所成角的余弦值為，PA與圓錐底面所成角為45°，若的面積為，則該圓錐的側面積為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B5.已知雙曲線C的兩個焦點F1，F2都在x軸上，對稱中心為原點，離心率為.若點M在C上，且，M到原點的距離為，則C的方程為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C由直角三角形的性質可得，又,，∴C的方程為，故選C.

6.直線與函數的圖象相切于點，且，其中為坐標原點，為圖象的極大值點，則點的縱坐標是（

）

A、

B、

C、

D、參考答案：D略7.已知銳角α，β滿足，則sinα的值為

（）

A．

B．

C．

D．0參考答案：答案：A8.有一個數據為50的樣本數據分組，以及各組的頻數如下，根據累積頻率分布，估計小于30的數據大約占多少（

）[12、5，15、5），3；[15、5，18、5），8；[18、5，21、5），9；[21、5，24、5），11；[24、5，27、5），10；[30、5，33、5），4A、10%

B、92%

C、5%

D、30%參考答案：B9.對于一切實數&當變化時，所有二次函數.的函數值恒為非負實數，則的最小值是（）A.2

B.3

C.

D.參考答案：B10.已知命題；命題的極大值為6.則下面選項中真命題是

A.

B.

C.

D.參考答案：B由得，當時，，所以命題為假命題。為真，選B.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若，則的取值范圍是

.參考答案：12.△ABC的三個內角為A，B，C，若，則2cosB+sin2C的最大值為．參考答案：【考點】GQ：兩角和與差的正弦函數；HW：三角函數的最值．【分析】由已知利用三角形內角和定理，三角函數恒等變換的應用可得2cosB+sin2C=﹣2（cosB﹣）2+，進而利用余弦函數的值域，二次函數的性質求得2cosB+sin2C的最大值．【解答】解：∵，∴2cosB+sin2C=2cosB+sin2[π﹣（A+B）]=2cosB+sin2[π﹣（+B）]=2cosB+sin（﹣2B）=2cosB﹣cos2B=2cosB﹣（2cos2B﹣1）=﹣2cos2B+2cosB+1=﹣2（cosB﹣）2+，∵B∈（0，），cosB∈（﹣，1），∴當cosB=時，2cosB+sin2C取得最大為．故答案為：．13.已知直線l垂直于平面直角坐標系中的y軸，則l的傾斜角為________參考答案：0.【分析】根據直線垂直于軸，可得出直線的傾斜角.【詳解】由于直線垂直于平面直角坐標系中的軸，所以，直線的傾斜角為，故答案為：.【點睛】本題考查直線傾斜角的概念，在直線的傾斜角中，規定與軸垂直的直線的傾斜角為，與軸垂直的直線的傾斜角為，意在考查學生對于傾斜角概念的理解，屬于基礎題.14.已知點A，B，C，D在同一個球的球面上，，若四面體ABCD的體積為，球心O恰好在棱DA上，則這個球的表面積為__________．參考答案：分析：確定外接圓的直徑為圓心為的中點，求出球心到平面的距離，利用勾股定理求出球的半徑，即可求出球的表面積．詳解：∵，外接圓的直徑為，圓心為的中點

∵球心恰好在棱上，，則為球的直徑，則由球的性質，平面，則平面，即為三棱錐的高，由四面體的體積為，可得，

∴球的半徑為∴球的表面積為．

即答案為．點睛：本題考查的知識點是球內接多面體，球的表面積，正確求出球的半徑是關鍵．15.已知雙曲線，A1、A2是它的兩個頂點，點P是雙曲線上的點，且直線PA1的斜率是，則直線PA2的斜率為______.參考答案：2【分析】設P（x0，y0），則，，由A1（﹣1，0），A2（1，0），知k1k2，由此能求出直線PA2的斜率．【詳解】設P（x0，y0），則，∴，∵A1（﹣1，0），A2（1，0），設直線PA1斜率為k1，直線PA2的斜率為k2，∴k1k2，∵k1，∴k2．故答案為：2．【點睛】本題考查兩直線的斜率之積的求法，考查曲線上點的坐標與曲線方程的關系，考查了分析問題的能力，屬于基礎題．16.在△ABC中，設AD為BC邊上的高，且AD=BC，b，c分別表示角B，C所對的邊長，則+的最大值是．參考答案：【考點】三角形中的幾何計算．【專題】計算題；解三角形．【分析】利用三角形的面積公式表示出三角形ABC的面積為bcsinA，由已知高AD=BC=a，利用底與高乘積的一半表示三角形ABC的面積，兩者相等表示出sinA，然后再利用余弦定理表示出cosA，變形后，將表示出的sinA代入，得到2cosA+sinA，利用輔助角公式化簡后，根據正弦函數的值域求出最大值．【解答】解：∵BC邊上的高AD=BC=a，∴S△ABC=，∴sinA=，又cosA==，∴=2cosA+sinA（cosA+sinA）=sin（α+A）≤，（其中sinα，cosα=），∴的最大值．故答案為：【點評】本題考查了三角形的面積公式，余弦定理，兩角和與差的正弦函數公式，熟練掌握公式及定理是解本題的關鍵．17.已知變量x，y滿足約束條件，則目標函數z=ax+2y僅在點（1，0）處取得最小值，則a的取值范圍是

。參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且.（1）求角C的大小；（2）若，△ABC的面積為，M為BC的中點，求AM．參考答案：(1)由，得．

……………2分由正弦定理，得，即，

…………3分所以．

………………5分因為，所以．

……………………6分(2)因為，所以．

……………………7分所以為等腰三角形，且頂角．因為，

………………8分所以．

………………9分在中，，所以．………11分解得．…………12分19.某餐廳通過查閱了最近5次食品交易會參會人數x(萬人)與餐廳所用原材料數量y(袋)，得到如下統計表：

第一次第二次第三次第四次第五次參會人數x(萬人)13981012原材料y(袋)3223182428(1)

根據所給5組數據，求出y關于x的線性回歸方程.(2)

已知購買原材料的費用C(元)與數量t(袋)的關系為，投入使用的每袋原材料相應的銷售收入為700元，多余的原材料只能無償返還，據悉本次交易大會大約有15萬人參加，根據(1)中求出的線性回歸方程，預測餐廳應購買多少袋原材料，才能獲得最大利潤，最大利潤是多少？(注：利潤L=銷售收入－原材料費用).參考公式：，.參考數據：，，.參考答案：解：(1)由所給數據可得：，，，，則關于的線性回歸方程為.(2)由(1)中求出的線性回歸方程知，當時，，即預計需要原材料袋，因為，所以當時，利潤，當時，；當時，利潤，當時，.綜上所述，餐廳應該購買36袋原材料，才能使利潤獲得最大，最大利潤為11870元.

20.（13分）函數，數列和滿足：，，函數的圖像在點處的切線在軸上的截距為.（1）求數列{}的通項公式；（2）若數列的項中僅最小,求的取值范圍；（3）若函數，令函數數列滿足:且證明:.參考答案：(1)，得

是以2為首項，1為公差的等差數列，故

…………3分(2)，，在點處的切線方程為令得僅當時取得最小值，

∴的取值范圍為

………7分(3)

所以

又因

則

顯然

…………9分

………12分

………13分21.（本小題滿分10分）某品牌設計了編號依次為的種不同款式的時裝，由甲、乙兩位模特分別獨立地從中隨機選擇種款式用來拍攝廣告．(I)若，且甲在1到為給定的正整數，且號中選擇，乙在到號中選擇．記Pst為款式（編號）和同時被選中的概率，求所有的Pst的和；(II)求至少有一個款式為甲和乙共同認可的概率．參考答案：解：（1）甲從1到為給定的正整數，且號中任選兩款，乙從到號中

任選兩款的所有等可能基本事件的種數為，

記“款式和同時被選中”為事件B，則事件B包含的基本事件

的種數為，

所以，

則所有的的和為：；(4分)

（2）甲從種不同款式的服裝中選取服裝的所有可能種數為：，

同理得，乙從種不同款式的服裝中選取服裝的所有可能種數為，

據分步乘法計數原理得，