代數系的一般性質第一頁，共十七頁，編輯于2023年，星期六代數系統的基本概念1.二元運算:設A是非空集合，從笛卡爾積A×A×…×A到A的映射f稱為集合A上的n元運算。簡稱為n元運算。當n=2時，f稱為集合A上的二元運算。

在討論抽象運算時，“運算”常記為“*”、“°”等。設*是二元運算，如果a與b運算得到c，記作a*b=c。【例】設N為自然數集合，*和°是N×N到N映射，規定為：m,nN，

m?n=min{m,n}m°n=max{m,n}則?和°是N上的二元運算。第二頁，共十七頁，編輯于2023年，星期六2.代數系統:一個非空集合A連同若干個定義在該集合上的運算?1,?2,…,?k所組成的系統稱為一個代數系統，記作<A,?1,?2,…,?k>。根據定義，一個代數系統需要滿足下面兩個條件：①有一個非空集合A。②有一些定義在集合A上的運算。集合和定義在集合A上的運算是一個代數系統的兩個要素，缺一不可。

第三頁，共十七頁，編輯于2023年，星期六【例】設B是一個集合，A=P(B)是A冪集合。集合的求補運算是A上的一元運算，集合的并和交運算是A上的是二元運算。于是<A,∪,∩,~>構成一個代數系統，該代數系常稱為集合代數。【例】設R-{0}是全體非零實數集合，*是R-{0}上二元運算，定義為：a,bR-{0}，a*b=b。則<R-{0},*>是代數系統。第四頁，共十七頁，編輯于2023年，星期六二元運算的性質1.交換律:設*是非空集合A上的二元運算，如果對于任意的a,bA，有a?b=b?a，則稱二元運算?在A上是可交換的，也稱二元運算*在A上滿足交換律。2.結合律:設*是非空集合A上的二元運算，如果對于任意的a,b,cA，有(a*b)*c=a*(b*c)，則稱二元運算*在A上是可結合的，也稱二元運算?在A上滿足結合律。第五頁，共十七頁，編輯于2023年，星期六3.分配律:設*和°是非空集合A上的兩個二元運算，如果對于任意a,b,cA，有a*(b°c)=(a*b)°(a*c)(左分配律)(b°c)*a=(b*a)°(c*a)(右分配律)則稱運算*對運算°是可分配的。也稱運算*對運算°滿足分配律。4.吸收律:設*和°是非空集合A上的兩個可交換的二元運算，如果對于任意a,bA，有a*(a°b)=aa°(a*b)=a則稱運算?和運算°滿足吸收律。第六頁，共十七頁，編輯于2023年，星期六

5.冪等律:設*是非空集合A上的二元運算，如果對于任意的aA，有a?a=a，則稱運算*是冪等的或運算?滿足冪等律。如果A的某個元素a滿足a?a=a，則稱a為運算*的冪等元。第七頁，共十七頁，編輯于2023年，星期六特殊元素1.幺元:設?是定義在集合A上的二元運算，如果有一個elA，對于任意的aA，有el

?a=a，則稱el為A中關于運算?的左單位元或左幺元；如果有一個erA，對于任意的aA，有a?er=a，則稱er為A中關于運算?的右單位元或右幺元；如果在A中有一個元素，它既是左單位元又是右單位元，則稱為A中關于運算?的單位元或幺元。

第八頁，共十七頁，編輯于2023年，星期六2.零元:設?是集合A上的二元運算，如果有一個θlA，對于任意的aA都有θl

?a=θl，則稱θl為A中關于運算?的左零元；如果有一個θrA，對于任意的aA，都有a?θr=θr，則稱θr為A中關于運算?的右零元；如果A中有一個元素θA，它既是左零元又是右零元，則稱θ為A中關于運算?的零元。第九頁，共十七頁，編輯于2023年，星期六3.逆元:設?是集合A上的二元運算，e為A中關于運算?的幺元。如果對于A中的元素a存在著A中的某個元素b，使得b?a=e，那么稱b為a的左逆元；如果存在A中的某個元素b，使得a?b=e，那么稱b為a的右逆元；如果存在著A中的某個元素b，它既是a的左逆元又是a的右逆元，那么稱b為a的逆元。a的逆元記為a–1。如果aA存在逆元a–1A，那么稱a為可逆元。

第十頁，共十七頁，編輯于2023年，星期六4.消去律:設?是集合A上的二元運算，θ為A中關于運算?的零元，a,b,cA，a≠θ。如果⑴若a?b=a?c，便有b=c，則稱運算?滿足左消去律，稱a為運算?的左可消元。⑵若b?a=c?a，便有b=c，則稱運算?滿足右消去律，稱a為運算?的右可消元。若運算?既滿足左消去律又滿足右消去律，則稱運算?滿足消去律，稱a為運算?的可消元。第十一頁，共十七頁，編輯于2023年，星期六子代數和積代數1.子代數：設V=<A,?1,?2,…,?k>是代數系統，BA。如果?1,?2,…,?k都在B上封閉，B和A含有相同的代數常數，則稱代數系統<A,?1,?2,…,?k>是V的子代數系統，簡稱子代數。第十二頁，共十七頁，編輯于2023年，星期六2.積代數：設V1=A,*和V2=B,°是兩個代數系統，其中*和°是二元運算。a1,b1A×B和a2,b2A×B，A×B上的二元運算△定義為：a1,b1△a2,b2=a1*

a2,b1°b2代數系統A×B,△稱為V1到V2的積代數或直積，記為V1×V2.第十三頁，共十七頁，編輯于2023年，星期六【例】設V1=A,*和V2=B,°是兩個代數系統，其中A={a,b}，A上的二元運算*如表1所示，B={x,y,z}，B上的二元運算°如表2所示。試求V1×V2

表1*abaabbba表2?xyzxxyzyyyzzzzz第十四頁，共十七頁，編輯于2023年，星期六解：V1×V2=A×B,△，其中

A×B={a,x,a,y,a,z,b,x,b,y,b,z}，二元運算△如表3所示。表3△<a,x><a,y><a,z><b,x><b,y><b,z><a,x><a,x><a,y><a,z><b,x><b,y><b,z><a,y><a,y><a,y><a,z><b,y><b,y><b,z><a,z><a,z><a,z><a,z><b,z><b,z><b,z><b,x><b,x><b,y><b,z><a,x><a,y><a,z><b,y><b,y><b,y><b,z><a,y><a,y><a,z><b,z><b,z><b,z><b,z><a,z><a,z><a,z>第十五頁，共十七頁，編輯于2023年，星期六代數系統的同態和同構1.同態:設V1=<S1,°>和V2=<S2,*>是兩個代數系統，°和*分別是S1和S2上的二元運算，

f是從S1到S2的一個映射，a1,a2S1有

f(a1°a2)＝f(a1)*f(a2)則稱f為由代數系統V1到V2的一個同態映射，簡稱同態；把<f(S1),*>稱為V1在f下的同態像。其中

f(S1)＝{f(a)|aS1}.

第十六頁，共十七頁，編輯于2023年，星期六2.同構：若f：A→B是單射，則稱f為由<A,*>到<B,°>的一個單同態映射，并稱<A,*>與<B,°>單同態。