第1章緒論§1-1畫法幾何的任務和學習方法§1-2投影法的根本概念§1-3工程上常見的投影圖概述§1-1畫法幾何的任務和學習方法一、本課程的任務1.培養空間想象能力和空間分析能力。2.培養踏實，細致，耐心的工程技術人員素質。二、學習方法1.認真聽課，及時復習。2.重視作圖實踐,認真按時完成作業。3.多看教具模型,多答疑,同學間互相幫助。一、投影的方法a投影投射線b§1-2投影法的根本概念二、投影的分類

1.中心投影法S投射中心aba形體物體的中心投影投射線2.平行投影法

〔1〕斜投影法abc90°投射線方向〔2〕正投影法90°投射線方向abc三、工程上常用用的幾種投影圖

1.多面正投影圖

〔2〕多面正投影圖2.軸測投影圖ZXOYS3.標高投影圖1520251520251520254.透視投影圖本章結束小結：1建立中心投影、平行投影和正投影的概念

2正投影法的投影規律。第2章點§2-4重影點的投影§2-3兩點的相對位置§2-2三投影面體系中點的投影§2-1兩投影面體系中點的投影一、兩投影面體系的建立VXO水平投影面——H

正面投影面——V

投影軸——OX§2-1兩投影面體系中點的投影二、兩投影面體系中點的投影空間點用大寫字母表示點A的水平投影——a點A的正面投影——aaAZYXa三、兩面投影圖的畫法HXHVOa

aaxxzya四、兩面投影圖的性質1)aaOX2)aax=Aa,aax

=Aa

通常不畫出投影面的邊界一、三投影面體系的建立水平投影面----H

H∩V

----OX正面投影面----V

V∩W

----OZ

側面投影面----W

H∩W----OY

ZYWO§2-2三投影面體系中點的投影二、三投影面體系中點的投影點A的水平投影——a

點A的正面投影——a點A的側面投影——aHa

aa

VWXOZYWYHaaaA1.aaX軸，aaz=aay=

XA2.aaZ軸，aax=aay=

ZA3.aax

=aaz=YA三、三投影面體系中點的投影規律

1.aaz=aay=Aa=xA2.aax

=aaz=Aa=yA3.aax=aay=Aa=zA

四、點的直角坐標與三面投影的關系VXZYWOayaxazxyzaaaA五、特殊點的投影HVOXb

bc

cCcca

bBb

Aaa

a§2-3兩點的相對位置兩點中x值大的點——在左兩點中y值大的點——在前兩點中z值大的點——在上a

a

ab

b

bBA§2-4重影點的投影cd(c)dCDa(b)abAB[例題1]點A的正面與側面投影，求點A的水平投影。a注：因為平面是無限大的，所以一般不畫出平面邊框。[例題2]點A在點B之前5毫米，之上9毫米，之右8毫米，求點A的投影。a

a

a985本章結束作業：P1、2第1、2、3、4題小結： 1掌握三面投影體系的概念和展開方法； 2掌握點的投影規律及作圖方法， 能判斷點的相對位置和重影點的可見性； 3能由點的三個投影想象其空間位置第3章直線直線的投影直線對投影面的相對位置一般位置線段的實長及它與投影面的夾角屬于直線上的點兩直線的相對位置直角投影定理§3-1直線的投影

直線的投影仍為直線，特殊情況下為一點。abc(d)§3-2直線對投影面的相對位置一、特殊位置直線1.直線平行于一個投影面(1)水平線(2)正平線(3)側平線2.直線垂直于一個投影面(1)鉛垂線正垂線側垂線3.附屬于投影面的直線二、一般位置直線(1)水平線—只平行于水平投影面的直線aababb

Xa

b

ab

baOzYHYWAB投影特性：1．abOX;abOYW2．ab=AB3．反映、

角的真實大小〔2〕正平線—只平行于正面投影面的直線aababbXabab

baOZYHYWAB

投影特性：1．abOX;abOZ2．ab=AB3．反映、角的真實大小〔3〕側平線—只平行于側面投影面的直線aa

b

a

bbAB投影特性：1．abOZ;abOYH2．ab

=AB3．反映、角的真實大小XZa

b

bbaOYHYWab

a(b)a

abZb

Xa

ba(b)OYHYWa投影特性：1．ab積聚成一點2．abOX;ab

OYW

3．ab=ab=AB〔1〕鉛垂線—垂直于水平投影面的直線AB〔2〕正垂線—垂直于正面投影面的直線bababa投影特性：1．ab積聚成一點2．ab

OX;ab

OZ

3．ab=ab=ABABzXab

baOYHYWab〔3〕側垂線—垂直于側面投影面的直線投影特性：1．ab積聚成一點2．ab

OYH;ab

OZ

3．ab=ab=ABABbaababZXabbaOYHYWab附屬于V面的直線ZXabaOYHYWabbBbbabaAa附屬于V投影面的鉛垂線ZYWbXaba(b)OYHa附屬于OX軸的直線ZXabaOYHYWabb二、一般位置直線ABbbabaaZXabaOYYabb投影特性：1．ab、ab、ab均小于實長2．ab、ab、ab均傾斜于投影軸

3．不反映

、

、

實角|zA-zB

|AB1．求直線的實長及對水平投影面的夾角角|zA-zB|ABab|zA-zB|AB|zA-zB|ab§3-3一般位置線段的實長及其與投影面的夾角2．求直線的實長及對正面投影面的夾角

角|yA-yB|aXabbabABABab|yA-yB||yA-yB|AB|yA-yB|3．求直線的實長及對側面投影面的夾角

角ABbbabaa|xA-xB||xA-xB|[例題1]線段的實長AB，求它的水平投影。a|zA-zB|abABab|zA-zB|直線上的點具有兩個特性：1．附屬性假設點在直線上，那么點的各個投影必在直線的各同面投影上。2．定比性屬于線段上的點分割線段之比等于其投影之比。即AC:CB=ac:cb=ac:cb=ac:cb§3-4屬于直線的點cc[例題2]線段AB的投影圖，試將AB分成2﹕1兩段，求分點C的投影c、c。[例題3]點C在線段AB上，求點C的正面投影。cccabc[例題4]線段AB的投影，試定出屬于線段AB的點C的投影，使BC的實長等于長度L。cLABzA-zBcab§3-5兩直線的相對位置

一、兩直線平行二、兩直線相交

三、兩直線交叉四、判斷兩交叉直線重影點的可見性

一、兩直線平行1．假設空間兩直線相互平行，那么它們的同名投影必然相互平行。反之，如果兩直線的各個同名投影相互平行，那么此兩直線在空間也一定相互平行。2．平行兩線段之比等于其投影之比。baadbbccXbaabdcdc二、兩直線相交當兩直線相交時，它們在各投影面上的同名投影也必然相交，且交點符合空間一點的投影規律。反之亦然。bXaabkcddck三、兩直線交叉凡不滿足平行和相交條件的直線為交叉兩直線。

bXaabcddc11(2)2四、判斷交叉兩直線重影點投影的可見性(3)41(2)43341212[例題5]判斷兩直線的相對位置dacboYWYHz[例題6]判斷兩直線的相對位置11dc11[例題7]判斷兩直線重影點的可見性3(4)34121(2)§3-6直角投影定理定理兩直線在空間互相垂直，假設其中一條直線平行于某投影面，那么兩直線在該投影面上的投影反映直角。逆定理兩直線假設在一個投影面上的投影互相垂直，且其中一條直線平行于該投影面，那么兩直線互相垂直。cXbacbaAB垂直于AC,且AB平行于H面,那么有abac相交垂直的兩直線的投影AB垂直于AC,且AB平行于H面,那么有abac交叉垂直的兩直線的投影[例題8]過點A作線段EF的垂線AB，并使AB平行于V

面。bbf[例題9]過點E作線段AB、CD的公垂線EF。feeb[例題10]作三角形ABC，ABC為直角，使BC在MN上，且BCAB

=23。bcABab|yA-yB|bc=BCcaaP3~P121、3、6、8、14、16、17小結1掌握三類、7種位置直線的投影特性2掌握直線上取點的方法3掌握直線三種相互位置的投影特性4掌握直角投影定理，并會應用作圖第4章平面平面的表示法各種位置平面的投影特性屬于平面的點和直線§4-1平面的表示法一、用幾何元素表示平面

不在一直線上的三個點；一直線和直線外一點；相交二直線；平行二直線；任意平面圖形。二、平面的跡線表示法平面的跡線為平面與投影面的交線。特殊位置平面可以用在它們所垂直的投影面上的跡線來表示。一、用幾何元素表示平面baacbcbaacbcaabcbcabcabcdd二、平面的跡線表示法PPVPHPVPHQVQHQHQVQ§4-2各種位置平面的投影特性一、投影面的垂直面1．鉛垂面2．正垂面

3．側垂面二、投影面的平行面1．水平面2．正平面3．側平面三、一般位置平面PPH1．鉛垂面投影特性(1)abc積聚為一條線(2)abc、abc為ABC的類似形(3)abc與OX、OY的夾角反映、角的真實大小

ABCacba'b'a"b"bab"cc"c'鉛垂面跡線表示法PHPPHQQV

2．正垂面

投影特性(1)abc積聚為一條線(2)

abc、

abc為ABC的類似形(3)abc與OX、OZ的夾角反映α、角的真實大小

AcCabBb"a'b'a"bac"c'c正垂面的跡線表示法

QQVαγQVSWS

3．側垂面投影特性(1)abc積聚為一條線(2)abc、

abc為

ABC的類似形(3)abc與OZ、OY的夾角反映α、β角的真實大小Ca"b"ABc"b"βa'b'a"bac"c'c側垂面的跡線表示法VWSwSZXOYSwYαβ1．水平面投影特性：(1)abc、abc積聚為一條線，具有積聚性(2)水平投影

abc反映

ABC實形

CABa"b"c'baca'b'c"cab'b"baa"cc"2．正平面投影特性：(1)abc、abc積聚為一條線，具有積聚性(2)正平面投影

abc反映

ABC實形

c"a"b"b'a'c'bcab'a'c'a"b"c"bcaCBA投影特性：(1)abc、abc積聚為一條線，具有積聚性(2)側平面投影

abc反映

ABC實形3．側平面a'b'b"ba"c'c"cab"c'baca'b'c"CABa"三、一般位置平面投影特性(1)

abc、abc、abc均為ABC的類似形(2)不反映、、

的真實角度

a"b"c"ca'b'baa"a'b'b"c'c"bacABC一、平面上取點和直線1．直線在平面上直線在平面上的幾何條件是：①通過平面上的兩點；②通過平面上的一點且平行于平面上的一條直線。2．點在平面上點在平面上的幾何條件是：點在平面內的某一直線上。§4-3屬于平面的點和直線1．取屬于平面的直線

取屬于定平面的直線，要經過屬于該平面的兩點；或經過屬于該平面的一點，且平行于屬于該平面的一直線。EDFd'de'eff'2．取屬于平面的點

取屬于平面的點，要取自屬于該平面的直線EDd'de'e[例題1]ABC給定一平面，試判斷點D是否屬于該平面。d'dee'[例題2]點D在ABC上，試求點D的水平投影。dd'[例題3]點E在ABC上，試求點E的正面投影。ee'P二、平面上的特殊直線1投影面平行線PVPH2最大斜度線1．定義平面上對某個投影面傾角最大的直線。它與投影面的傾角反映該平面與投影面的傾角。平面上的投影面最大斜度線有三組，即分別對正面投影面、水平投影面及側面投影面三組最大斜度線。2．投影特點H面上最大斜度線垂直于該平面上水平線的水平投影。V面上最大斜度線垂直于該平面上正平線的正面投影。〔1〕水平投影面的最大斜度線EF

AB平行于

H，EF垂直于

ABPEFBA〔2〕正面投影面的最大斜度線CD

AB平行于V，CD垂直于

ABPCDBA〔3〕側面投影面的最大斜度線MN

AB平行于W，MN垂直于ABPBAMN[例題4]

求作

ABC平面上對水平面的最大斜度線BE。bd'de'e[例題5]

求

ABC平面與水平投影面的夾角

。be

BEab[例題6]

過正平線作平面與水平投影面成60°。60°bbb'a'aabAB[例題7]直線EF為某平面對H面的最大斜度線，試作出該平面。aa給題P13~181、2、5、6、11、14第5章直線與平面的相對位置

兩平面的相對位置直線與平面平行?兩平面平行直線與平面的交點?兩平面的交線直線與平面垂直?兩平面垂直§5-1平行問題一、直線與平面平行幾何條件假設平面外的一條直線與平面內的一條直線平行，那么該直線與該平面平行。

假設一直線平行于平面內的一直線，那么該直線與平面平行[例題1]試判斷直線AB是否平行于定平面

fgfg結論：直線AB不平行于定平面[例題2]試過點K作水平線AB平行于ΔCDE平面

baaffb二、兩面平行幾何條件假設一個平面內的相交二直線與另一個平面內的相交二直線對應平行，那么此兩平面平行。這是兩平面平行的作圖依據。

兩直線平行的投影分析和作圖，是平行問題中最根本的方法假設屬于一平面的相交兩直線對應平行于屬于另一平面的相交兩直線，那么此兩平面平行EFDACB[例題3]試判斷兩平面是否平行mnmnrrss結論：兩平面平行[例題4]定平面由平行兩直線AB和CD給定。試過點K作一平面平行于平面。emnmnfefsrsrkk[例題5]試判斷兩平面是否平行。結論：因為PH平行SH，所以兩平面平行§5-2相交問題一、直線與平面相交于公共點二、平面與平面相交公有線三、特殊位置線面相交一、直線與平面相交直線與平面相交只有一個交點，它是直線與平面的共有點。BKAM二、平面與平面相交兩平面的交線是一條直線，這條直線為兩平面所共有FKNLbbaaccmmnn三、特殊位置線面相交由于特殊位置平面的某個投影有積聚性，交點可直接求出。所以可以作為輔助平面來解題kk判斷直線的可見性bbaaccmmnkkn

特殊位置線面相交，根據平面的積聚性投影，能直接判別直線的可見性。

()

求鉛垂線EF與一般位置平面△ABC的交點并判別其可見性。k21k'2'1'利用重影點判別可見性兩平面相交，判別可見性3

4

()3421()12[例題6]試過K點作一直線平行于平面ΔABC，并與直線EF相交。分析過點K作平面P平行于ABC；直線EF與平面P交于H；連接KH，KH即為所求。FPEKH作圖mnhhnmPV11221．過點K作平面KMN//

ABC平面。2．求直線EF與平面KMN的交點H。3．連接KH，KH即為所求。§5-3垂直問題一、直線與平面垂直

二、兩平面垂直

直線與平面垂直：假設一直線垂直于一平面，那么必垂直于屬于該平面的一切直線。直線只要垂直于平面上任意兩條相交直線，那么直線垂直于該平面。定理：假設一直線垂直于一平面、那么直線的水平投影必垂直于屬于該平面的水平線的水平投影；直線的正面投影必垂直于屬于該平面的正平線的正面投影。knkn逆定理：假設一直線的水平投影垂直于屬于平面的水平線的水平投影；直線的正面投影垂直于屬于平面的正平線的正面投影，那么直線必垂直于該平面。[例題7]平面由

BDF給定，試過定點K作平面的法線。acacnnkkh[例題8]試過定點K作特殊位置平面的法線。hhhhh（a）（c）（b）[例題9]平面由兩平行線AB、CD給定，試判斷直線MN是否垂直于該平面。efef[例題11]試過點N作一平面，使該平面與V面的夾角為60°，與H面的夾角為45°。分析：平面的法線與平面的最大斜度線對同一投影面的夾角互為余角直徑任取NM

作圖過程|yM-yN||zM-zN|mhmnmk|zM-zN||yM-yN|30°45°mnmnkhnn兩平面垂直的幾何條件假設一直線垂直于一定平面，那么包含這條直線的所有平面都垂直于該平面。AD反之，兩平面相互垂直，那么由屬于第一個平面的任意一點向第二個平面作的垂線必屬于第一個平面。兩平面垂直兩平面不垂直g[例題12]平面由BDF給定，試過定點K作平面的垂面。hacachg[例題13]試判斷

ABC與相交兩直線KG和KH所給定的平面是否垂直。ffdd結論：因為AD直線不在

ABC平面上，所以兩平面不垂直。[例題14]試過定點A作直線與直線EF正交。EQ分析過點A作平面垂直于直線EF，并交于點K，連接AK，AK即為所求。FAK作圖21aefafe1221PV12kk本章結束P20~245、6、8、14

P25~2822、28第6章投影變換

§6-1概述

§6-2換面法根本要求掌握換面法的根本原理、換面法作圖的投影變換規律掌握用換面法求線段實長、平面圖形的實形、對投影面的傾角掌握換面法解決一般空間幾何元素間的定位和度量問題§6-1概述

當直線或平面相對于投影面處于特殊位置時，它們的投影反映線段的實長、平面的實形及其與投影面的傾角。當直線或平面相對于投影面處于一般位置時，它們的投影不具備上述特性。投影變換就是將直線或平面從一般位置變換為投影面平行或垂直的位置，以簡便地解決它們的度量和定位問題。aabb

兩點之間距離aabbcc三角形實形aabbccdd

直線與平面的交點abcdabcd

兩平面夾角§6-2換面法一、換面法的根本概念二、新投影面的選擇原那么三、點的投影變換規律四、四個根本問題五、旋轉法簡介一、換面法的根本概念a1c1b1V1X1X1

換面法—空間幾何元素的位置保持不動，用新的投影面來代替舊的投影面，使對新投影面的相對位置變成有利解題的位置，然后找出其在新投影面上的投影。V/H體系變為V1/H體系c1b1a1bcabacX新投影面的選擇必須符合以下兩個根本條件：1．新投影面必須和空間幾何元素處于有利解題的位置。2．新投影面必須垂直于一個不變投影面。二、新投影面的選擇原那么三、點的投影變換規律1．點的一次變換2．點的投影變換規律3．點的兩次變換1．點的一次變換X1V1a1a1X1V1a1X1HV1V1a12．點的投影變換規律〔1〕點的新投影和不變投影的連線，必垂直于新投影軸〔2〕點的新投影到新投影軸的距離等于點的舊投影到舊投影軸的距離。H1X1

點在V/H1體系中的投影

X1H1Va1a1a23點的兩次變換X2H2V12X2a2四、四個根本問題〔一〕