17.1勾股定理

了解勾股定理的發現過程，掌握勾股定理的內容，會用面積法證明勾股定理。過程與方法知識與能力教學目標

培養在實際生活中發現問題總結規律的意識和能力。

介紹我國古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激發愛國熱情，促其勤奮學習。情感態度與價值觀

勾股定理的內容及證明。勾股定理的證明。重點難點教學重難點畢達哥拉斯頭像畢達哥拉斯(Pythagoras,572BC?—497BC?)古希臘數學家、哲學家。無論是解說外在物質世界，還是描寫內在精神世界，都不能沒有數學!最早悟出萬事萬物背后都有數的法則在起作用，是生活在2500年前的畢達哥拉斯。畢達哥拉斯簡介

畢達哥拉斯本人以發現勾股定理(西方稱畢達哥拉斯定理)著稱于世。這定理早已為巴比倫人和中國人所知(在中國古代大約是戰國時期西漢的數學著作《周髀算經》中記錄著商高同周公的一段對話。商高說：“…故折矩，勾廣三，股修四，經隅五。”商高那段話的意思就是說：當直角三角形的兩條直角邊分別為3（短邊）和4（長邊）時，徑隅（就是弦）則為5。以后人們就簡單地把這個事實說成“勾三股四弦五”。這就是中國著名的勾股定理.)，不過最早的證明大概可歸功于畢達哥拉斯。他是用演繹法證明了直角三角形斜邊平方等于兩直角邊平方之和，即畢達哥拉斯定理(勾股定理)。畢達哥拉斯定理——勾股定理

我國古代3000多年前有一個叫商高的人發現的，他說：“把一根直尺折成直角，兩段連結得一直角三角形，勾廣三，股修四，弦隅五。”這句話意思是說一個直角三角形較短直角邊（勾）的長是3，長的直角邊（股）的長是4，那么斜邊（弦）的長是5。讓學生畫一個直角邊為3cm和4cm的直角△ABC，用刻度尺量出AB的長。你是否發現與的關系，和的關系?對于任意的直角三角形也有這個性質嗎？猜想命題1如果直角三角形的兩直角邊分別為a、b斜邊長為c，那么例：已知：在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的對邊為a、b、c。求證：。

勾股定理的證明方法，達300余種。你有那些方法證明呢？

趙爽指出：按弦圖，又可以勾股相乘為朱實二，倍之為朱實四。以勾股之差相乘為中黃實。加差實，亦成弦實。證明：如圖所示，根據面積相等的原理有：即：知識要點

經過證明確認正確的命題叫做定理（theorem）。命題1與直角三角形的邊有關，我們把它稱為勾股定理，即：如果直角三角形的兩直角邊分別為a，b斜邊長為c，那么例：在Rt△ABC，∠C=90°（1）已知a=b=5，求c。（2）已知a=1，c=2，求b。（3）已知c=17，b=8，求a。（4）已知a：b=1：2，c=5，求a。（5）已知b=15，∠A=30°，求a，c。解：1.如圖，直角△ABC的主要性質是：∠C=90°，（用幾何語言表示）（1）兩銳角之間的關系：

；（2）若D為斜邊中點，則斜邊中線

；（3）若∠B=30°，則∠B的對邊和斜邊：

；（4）三邊之間的關系：

。隨堂練習2.填空：（1）在Rt△ABC，∠C=90°，a=8，b=15，則c=

。（2）在Rt△ABC，∠B=90°，a=3，b=4，則c=。（3）在Rt△ABC，∠C=90°，c=10，a：b=3：4， 則a=，b=。隨堂練習1.勾股定理的內容。

如果直角三角形的兩直角邊分別為a，b，斜邊長為c，那么2.勾股定理的證明。

根據面積相等原理，四個直角三角形的面積加小正方形的面積等于大正方形的面積。課堂小結17.1.2勾股定理

樹立數形結合的思想。過程與方法知識與能力情感態度與價值觀教學目標會用勾股定理解決簡單的實際問題。樹立數形結合的思想。

勾股定理的應用。實際問題向數學問題的轉化。教學重難點教學重點教學難點勾股定理除了考試有用，在平時有什么用啊？用處可多了！比如：農村房屋的屋頂構造，就可以用勾股定理來計算;設計工程圖紙也要用到勾股定理等等。

也對，的確是哦！看來我得好好看看怎么用勾股定理，我以后要自己修一座屬于自己的別墅！哈哈…..修別墅可不是簡單的，但是這必定用到勾股定理，接下來就來看看我們是如何利用勾股定理解決問題的！

一個門框的尺寸如圖所示，一塊長3m，寬2.2m的薄木板能否從門框內通過？為什么？解：能通過。探究1

如圖，一個3m長的梯子AB，斜靠在一豎直的墻AO上，這時AO的距離為2.5m，如果梯子的頂端A沿墻下滑0.5m，那么梯子低端B也外移0.5m嗎？解：不是。探究21.小明和爸爸媽媽十一登香山，他們沿著45度的坡路走了500米，看到了一棵紅葉樹，這棵紅葉樹的離地面的高度是

米。隨堂練習2.如圖，山坡上兩株樹木之間的坡面距離是4米，則這兩株樹之間的垂直距離是

米，水平距離是

米3.如圖，一根12米高的電線桿兩側各用15米的鐵絲固定，兩個固定點之間的距離是米。4.如圖，原計劃從A地經C地到B地修建一條高速公路，后因技術攻關，可以打隧道由A地到B地直接修建，已知高速公路一公里造價為300萬元，隧道總長為2公里，隧道造價為500萬元，AC=80公里，BC=60公里，則改建后可省工程費用是多少？

用勾股定理解決簡單的實際問題。課堂小結17.1.3勾股定理樹立數形結合的思想。過程與方法知識與能力情感態度與價值觀教學目標會用勾股定理解決較綜合的問題。樹立數形結合的思想。勾股定理的綜合應用。勾股定理的綜合應用。重點教學重難點難點

勾股定理：如果直角三角形的兩直角邊分別為a，b，斜邊長為c，那么。回顧舊知例1：已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥BC于D，∠A=60°，CD=，求線段AB的長。解：例2：已知：如圖，△ABC中，AC=4，∠B=45°，∠A=60°，根據題設可知什么？解：例3：已知，如圖，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。求：四邊形ABCD的面積。

解一般三角形的問題常常通過作高轉化為直角三角形的問題。歸納解：延長AD、BC交于E。∵∠A=∠60°，∠B=90°，∴∠E=30°。∴AE=2AB=8，CE=2CD=4，∴ ∴∴

我們知道數軸上的點有的表示有理數，有的表示無理數，你能在數軸上畫出表示的點嗎？探究

不規則圖形的面積，可轉化為特殊圖形求解。歸納能，根據勾股定理就可以得到。1.△ABC中，∠C=90°，AB=4，BC=，CD⊥AB于D，則AC=

，CD=

，BD=

，AD=

,S△ABC=

。隨堂練習2.已知：如圖，△ABC中，AB=26，BC=25，AC=17，求S△ABC。

勾股定理解決較綜合的問題。歸納D習題答案左圖中，AC=8；右圖中，AB=17