高等數學下冊期末考試試題及答案-.pdf一、填空題（共21分每小題3分）1．曲線???=+=012xyz繞z軸旋轉一周生成的旋轉曲面方程為122++=yxz．2．直線35422:1zyxL=??=?+與直線?????+=+?==tztytxL72313:2的夾角為2π．3．設函數22232),,(zyxzyxf++=，則=1,1,1(gradf}6,4,2{．4．設級數∑∞=1nnu收斂，則=∞→nnulim0．5．設周期函數在一個周期內的表達式為???≤<+≤<?=,0,10,0)(ππxxxxf則它的傅里葉級數在π=x處收斂于21π+．6．全微分方程0dd=+yxxy的通解為Cxy=．7．寫出微分方程xeyyy=?'+''2的特解的形式xaxey=*．二、解答題（共18分每小題6分）1．求過點)1,2,1(?且垂直于直線???=+?+=?+?02032zyxzyx的平面方程．解：設所求平面的法向量為n，則{}3,2,1111121=??=kjin(4分)所求平面方程為032=++zyx(6分)2．將積分???Ωvzyxfd),,(化為柱面坐標系下的三次積分，其中Ω是曲面(222yxz+?=及22yxz+=所圍成的區域．解：πθ20,10,2:2≤≤≤≤?≤≤Ωrrzr(3分)???Ωvzyxfd),,(????=221020d),sin,cos(ddrrzzrrfrrθθθπ(6分)3．計算二重積分??+?=DyxyxeIdd)(22，其中閉區域.4:22≤+yxD解???=2020dd2rreIrπθ????=?20220)(dd212rerπθ????=202d221reπ)1(4??=eπ三、解答題（共35分每題7分）1．設vuez=，而22yxu+=，xyv=，求zd．解：)2(232yyxxeyuexexvvzxuuzxzxyvv++=?+?=?????+?????=??(3分)2(223xyxyexueyeyvvzyuuzyzxyvv++=?+?=?????+?????=??(6分)yxyxyexyyxxezxyxyd)2(d)2(d2332+++++=(7分)。2．函數),(yxzz=由方程0=?xyzez所確定，求yzxz????,．解：令xyzezyxFz?=),,(，(2分)則,yzFx?=,xzFy?=,xyeFzz?=(5分)xyeyzFFxzzzx?=?=??，xyexzFFyzzzy?=?=??．(7分)3．計算曲線積分?+?Lyxxydd，其中L是在圓周22xxy?=上由)0,2(A到點)0,0(O的有向弧段．解：添加有向輔助線段OA，有向輔助線段OA與有向弧段OA圍成的閉區域記為D，根據格林公式????+??=+?OADLyxxyyxyxxydddd2dd(5分)ππ=??=022(7分)4．設曲線積分?++Lxyxfxyxfed)(d)]([與路徑無關，其中)(xf是連續可微函數且滿足1)0(=f。求)(xf．解：由xQyP??=??得)((xfxfex'=+，即xexfxf=?')(((3分)所以)d((dd)1(Cxeeexfxxx+?=??????(Cxex+=，(6分)代入初始條件，解得1=C，所以)1((+=xexfx．(7分)5．判斷級數∑∞=12!2(!(nnn的斂散性．解：因為)!2(!(!22(])!1[(limlim221nnnnuunnnn++=∞→+∞→(3分))12)(22(1(lim2+++=∞→nnnn141<=(6分)故該級數收斂．(7分)四、（7分）計算曲面積分??∑++yxzxzyzyxdddddd，其中∑是上半球面221zyx??=的上側．解：添加輔助曲面1,0:221≤+=∑yxz，取下側，則在由1∑和∑所圍成的空間閉區域Ω上應用高斯公式得??∑++yxzxzyzyxdddddd??∑+∑++=1ddddddyxzxzyzyx??∑++?1ddddddyxzxzyzyx(4分)0d3?=???Ωv(6分)42