因式分解高級篇十字相乘第一頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期二知識結構因式分解常用方法提公因式法公式法十字相乘法分組分解法拆項添項法配方法待定系數法求根法……第二頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期二一、提公因式法

只需找到多項式中的公因式，然后用原多項式除以公因式，把所得的商與公因式相乘即可。往往與其他方法結合起來用。提公因式法隨堂練習：1）15(m–n)+13(n–m)2）4(x+y)+4(x–3y)第三頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期二二、公式法

只需發現多項式的特點，再將符合其形式的公式套進去即可完成因式分解，有時需和別的方法結合或多種公式結合。接下來是一些常用的乘法公式，可以逆用進行因式分解。第四頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期二常用公式1、(a+b)(a–b)=a2–b2（平方差公式）2、(a±b)2=a2±2ab+b2（完全平方公式）3、(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc4、a3+b3=(a+b)(a2–ab+b2)（立方和公式）及

a3–b3=(a–b)(a2+ab+b2)（立方差公式）5、(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3（完全立方和公式）6、(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq7、x2+y2+z2+xy+xz+yz公式推導第五頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期二三、十字相乘法①前面出現了一個公式：(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq我們可以用它進行因式分解（適用于二次三項式）例1：因式分解x2+4x+3可以看出常數項3=1×3而一次項系數4=1+3∴原式=(x+1)(x+3)暫且稱為p、q型因式分解第六頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期二例2：因式分解x2–7x+10可以看出常數項10=(–2)×(–5)而一次項系數–7=(–2)+(–5)∴原式=(x–2)(x–5)這個公式簡單的說，就是把常數項拆成兩個數的乘積，而這兩個數的和剛好等于一次項系數十字相乘法①隨堂練習：1）a2–6a+52）a2–5a+63）x2–(2m+1)x+m2+m–2特點：二次項系數為1第七頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期二三、十字相乘法②試因式分解6x2+7x+2。這里就要用到十字相乘法（適用于二次三項式）。既然是二次式，就可以寫成(ax+b)(cx+d)的形式。(ax+b)(cx+d)=所以，需要將二次項系數與常數項分別拆成兩個數的積，而這四個數中，兩個數的積與另外兩個數的積之和剛好等于一次項系數，那么因式分解就成功了。acad+bcbd第八頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期二=173x2+11x+106x2+7x+223124+3=7∴6x2+7x+2=(2x+1)(3x+2)13522+15=1113255+6∴3x2+11x+10=(x+2)(3x+5)(ax+b)(cx+d)=acad+bcbd第九頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期二=–65x2–6xy–8y2試因式分解5x2–6xy–8y2。這里仍然可以用十字相乘法。15–244–10∴5x2–6xy–8y2=(x–2y)(5x+4y)簡記口訣：首尾分解，交叉相乘，求和湊中。十字相乘法②隨堂練習：1）4a2–9a+22）7a2–19a–63）2(x2+y2)+5xy第十頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期二2課時第十一頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期二四、分組分解法

要發現式中隱含的條件，通過交換項的位置，添、去括號等一些變換達到因式分解的目的。例1：因式分解ab–ac+bd–cd

。解：原式=(ab–ac)+(bd–cd)=a

(b–c)+d

(b–c)=(a+d)(b–c)還有別的解法嗎？第十二頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期二四、分組分解法

要發現式中隱含的條件，通過交換項的位置，添、去括號等一些變換達到因式分解的目的。例1：因式分解ab–ac+bd–cd

。解：原式=(ab+bd)–(ac+cd)=b

(a+d)–c

(a+d)=(a+d)(b–c)第十三頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期二例2：因式分解x5+x4+x3+x2+x+1。解：原式=(x5+x4+x3)+(x2+x+1)=(x3+1)(x2+x+1)=

(x+1)(x2–x+1)(x2+x+1)立方和公式分組分解法隨堂練習：1）xy–xz–y2+2yz–z22）a2–b2–c2–2bc–2a+1第十四頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期二回顧例題：因式分解x5+x4+x3+x2+x+1。另解：原式=(x5+x4)+(x3+x2)+(x+1)=(x+1)(x4+x2+1)=(x+1)(x4+2x2+1–x2)=(x+1)[(x2+1)2–x2]=

(x+1)(x2+x+1)(x2–x+1)*五、拆項、添項法怎么結果與剛才不一樣呢？因為它還可以繼續因式分解第十五頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期二

拆項添項法對數學能力有著更高的要求，需要觀察到多項式中應拆哪一項使得接下來可以繼續因式分解，要對結果有一定的預見性，嘗試較多，做題較繁瑣。最好能根據現有多項式內的項猜測可能需要使用的公式，有時要根據形式猜測可能的系數。五*、拆項添項法第十六頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期二例因式分解x4+4解：原式

=x4

+

4x2+4–4x2=(x2+2)2–(2x)2=(x2+2x+2)(x2–2x+2)都是平方項猜測使用完全平方公式完全平方公式平方差公式拆項添項法隨堂練習：1）x4–23x2y2+y42）(m2–1)(n2–1)+4mn第十七頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期二配方法

配方法是一種特殊的拆項添項法，將多項式配成完全平方式，再用平方差公式進行分解。因式分解a2–b2+4a+2b+3。解：原式=(a2+4a+4)–(b2–2b+1)=(a+2)2–(b–1)2=(a+b+1)(a–b+3)配方法(拆項添項法)分組分解法完全平方公式平方差公式第十八頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期二六*、待定系數法試因式分解2x2+3xy–9y2+14x–3y+20。通過十字相乘法得到(2x–3y)(x+3y)設原式等于(2x–3y+a)(x+3y+b)通過比較兩式同類項的系數可得：解得：，∴原式=(2x–3y+4)(x+3y+5)待定系數法，一種求未知數的方法。將一個多項式表示成另一種含有待定系數的新的形式，這樣就得到一個恒等式。然后根據恒等式的性質得出系數應滿足的方程或方程組，其后通過解方程或方程組便可求出待定的系數，或找出某些系數所滿足的關系式，這種解決問題的方法叫做待定系數法。

第十九頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期二=3=1410+42x2+3xy–9y2+14x–3y+20雙十字相乘法

雙十字相乘法適用于二次六項式的因式分解，而待定系數法則沒有這個限制。因式分解2x2+3xy–9y2+14x–3y+20。21–336–345=–312–15∴原式=(2x–3y+4)(x+3y+5)第二十頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期二七*、求根法

設原多項式等于零，解出方程的解x1、x2……，則原式就可以分解為(x–x1)(x–x2)(x–x3)……更多的方法需要同學們自己去尋找!多練才能擁有自己的解題智慧!第二十一頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期二綜合訓練(一)第二十二頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期二綜合訓練(二)2、x2y–y2z+z2x–x2z+y2x+z2y–2xyz因式分解后的結果是()。

A.(y–z)(x+y)