2022-2023學(xué)年山東省棗莊市滕州市高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

一、單選題

1.已知"=（2,5,8）,不=（-3,4,~4）,則&+坂=（）

A.（51，4）B.GW）c.（T,L4）D.（-,刈）

【答案】D

【分析】利用空間向量的坐標運算計算即可.

【詳解】由題得"6=（2-3,5+4,8-4）=（-1,9,4）

故選：D

寸一片_1

2.雙曲線54的焦距等于（）

A.1B.2C.3D.6

【答案】D

【分析】由題意可知，^=5,從=4,解出c=3,即可知焦距.

【詳解】由題意可知：/=5,〃=4,

222

...c=a+b=9,解得c=3,

?.2c=6即雙曲線的焦距等于6,

故選:D.

3.過點,Q3）且與直線/:2x-4y+7=°平行的直線方程是（）

人工-2歹+4=0B2x+y-7=0

Q2x-y-l=0Dx+2y_8=0

【答案】A

【分析】設(shè)所求直線方程為2x-4y+c=o,將點A的坐標代入所求直線方程，求出C的值，即可

得解.

【詳解】設(shè)過點"（2Q）且與直線/：2x-4y+7=°平行的直線方程是2x-4y+C=°,

將點A的坐標代入直線的方程2x-4y+C=°得2x2-4x3+C=0,解得C=8,

故所求直線方程為2x-4y+8=0,即x-2y+4=0.

故選：A.

4.在等比數(shù)列｛4｝中,卬+。2=2,%+&=4,則。9+%0=（）

A.2B.4C.6D.8

【答案】D

【分析】根據(jù)等比數(shù)列的下標性質(zhì)，即可求解.

%+6佝+勾。一

_q_乙------_q_z.

【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為0，4+%，且%+6,

則%+%o=2Q+4）=2x4=8

故選：D

5.如果圓,+V+CX+&+尸=。（加+6-4尸＞0）關(guān)于直線一對稱，則有（）

A.D+E=QB,D=E

C.D=FD.E=F

【答案】B

【分析】圓心在直線、=x上，代入計算得到答案.

【詳解】由圓的對稱性知，圓心在直線y=x上，故有一5一一萬，即。=￡.

故選：B

6.如圖，在四棱錐產(chǎn)一/8CD中，底面N8CA是邊長為1的正方形，側(cè)棱的長為1,且尸/與

【答案】D

BM=-AD+-JP--JB

【分析】根據(jù)空間向量基本定理得到222,平方后，利用空間向量數(shù)量積公

BM2=-

式計算出4,從而求出模長.

【詳解】因為"是PC的中點，

=-BC+-BP=-AD+-(AP-AB>\=-AD-i--AP--AB

所以2222t/222

BM2=LAD^-AP-^-AB\

所以[2+22)

1‘?21.?21,—121.....——1'‘■"”1’??

=-AD+-AP+-AB+-ADAP一一ADAB一一ABAP

444222

因為4的長為1,且以與N8,/D的夾角都等于60。.

11

--

前

=+十1；西.網(wǎng)cos6（y，國.網(wǎng)cos60。

所44—+43cos900—

以4

XI

313I-

--.

=一

4-4-O-4一4

正

網(wǎng)=

所以2

故選D

7.已知數(shù)列也｝滿足?+「％=2"-11,且％=1°,則〃〃的最小值是（）

A.-15B.-14C.-11D.-6

【答案】A

【分析】根據(jù)已知條件得出最小項為4,利用迭代的思想即可求得

［詳解］?.?"向一""=2〃T1,.?.當”45時，“一〃“<°,當〃>5時，4向一鳳>0,

q>〉〃4>%〉〃6<%<%顯然"〃的最小值是06

乂%+i-6,=2〃-11,4=4+(%-4-%---%)

=10+(-9)+(-7)+(-5)+(-3)+(-1)=-15,即。“的最小值是75.

故選：A

8.已知橢圓/+乒-1">">°）的左、右焦點分別為耳、心，經(jīng)過耳的直線交橢圓于A,B,

△48乃的內(nèi)切圓的圓心為/,若3=+4"+5低=6,則該橢圓的離心率是（）

V523I

A.5B.3C.4D.2

【答案】A

3—5—1—

【分析】對3"+4〃+5/=。變形得到京"+產(chǎn)-2U,進而得到以M：此:|明=3:4:5,

45

結(jié)合橢圓定義可求出向"，此匕"8kHi第="，由余弦定理求解"關(guān)系式，求出

離心率.

___3—?5—?]—?.

[詳解】因為痂(+4而+5再=6,所以京"+港=-5,

如圖，在此上取一點M,使得忸M：阿周=5:3,連接加，則汨

則點/為AM上靠近點"的三等分點，所以邑〃弓：：S.mA=3:4:5,

所以|得:此中卸=3:4:5,

設(shè)|盟|=3x,則忸瑪|=4x,|明=5x,

由橢圓定義可知：I陽+忸周+網(wǎng)=4。，即12x=4a,所以x4,

所以㈤"，此|=1閥='囪

故點/與上頂點重合，

在△NB居中，由余弦定理得:

25,16

一Q2+礦---Q~2

|48『+|月42T月sf3

cosZBAF=99

22|陰

2x-a25

3

a2+/-4c2_3

Nelcos/BAF)=

在△力片鳥中，22a25,

解得：a

【點睛】對于求解圓錐曲線離心率問題，要結(jié)合題目中的條件，直接求出離心率或求出〃力，。的齊

次方程，解出離心率，本題的難點在于如何將3出+4"+5嗎=°進行轉(zhuǎn)化，需要作出輔助線，結(jié)

合內(nèi)心的性質(zhì)得到三角形行三邊關(guān)系，求出離心率.

二、多選題

9.下列說法中，正確的有（）

A.直線y"（x+2）+3（"R）必過定點GM

B.直線了=2》-1在y軸上的截距為1

C.直線Gx—+2=0的傾斜角為60"

D.點0,3）到直線》-2=。的距離為1

【答案】CD

【分析】令。的系數(shù)為。求解判斷A；根據(jù)截距的定義判斷B,求出直線的斜率再根據(jù)斜率與傾斜

角的關(guān)系求出傾斜角判斷C,利用點到直線的距離的定義求距離判斷D.

【詳解】對A,直線V="X+2）+3過的定點坐標滿足：x+2=0,>=3,故定點為G2,3）,故人錯

誤；

對B,y=2x-l在y軸上的截距為T,故B錯誤；

對C,直線Gx_y+2=0的斜率為百，故傾斜角6滿足tan夕=6,^e[0，18°）,

即6=60°,故C正確；

對D,因為直線>-2"°垂直于y軸，所以點（L3）到直線y-2=0的距離為3-2=1,故D正確.

故選：CD

10.等差數(shù)列｛“"｝的前〃項和為S1若公差幾°,則（）

A.若Ss=S?,則必有品=0

B.若&=品，則必有$7是S，中最大的項

C.若$6>57,則必有

D.若$6>$7,則必有$5>$6

【答案】ABC

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合等差數(shù)列的通項公式、等差數(shù)列的前〃項和公式，以及等差數(shù)列的性質(zhì)，

逐項分析，即可求解.

［詳解］對于A中，若Ss=S%則Sg-Ss=%+%+%+%=2(%+%)=0,可得％+4=0,

s,J4(q+j4)

所以-2-2,所以是正確的；

對于B中，若Ss=Sg,則$°一$5=%+%+%+%=2(%+4)=0,

即2。1+13d=0

又由4>°,公差d*Q,所以d<o,

所以%所以必有$7是S”中最大的項，所以是正確的；

對于C中，若S《>Si,則％=$7-$6<。，即％+6"<0,

又由q>°,則必有d<°,

可得。8=%+'=國-57<0,所以必有邑所以是正確的；

對于D中，若邑>$7,則%=4-S6<0,而％的符號不能確定，

所以Ss〉》不一定成立，所以是錯誤的.

故選：ABC.

11.在四棱錐P一"BCD中，底面/8CO是邊長為2的正方形，P4上平面4BCD,且4=2.若點

E,F,G分別為棱48,AD,尸。的中點，貝！j()

A.ZG,平面PSD

n

B.直線尸G和直線48所成的角為Z

C.當點T在平面尸8。內(nèi)，且〃+TG=2時，點7的軌跡為一個橢圓

D.過點E,尸，G的平面與四棱錐尸-48CQ表面交線的周長為2夜+卡

【答案】ABD

【分析】將該四棱錐補成正方體后可判斷A、B正誤；結(jié)合橢圓的定義可判斷C的正誤；結(jié)合空間

中垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化可判斷D的正誤.

【詳解】解：將該正四棱錐補成正方體，可知/G位于其體對角線上，

則力GJ?平面尸8。，故A正確；

”，，，，，ZHAB」

設(shè)P8中點為H,則尸G///”,且4,故B正確；

■-TA+TG=2,在空間中的軌跡為橢圓繞其長軸旋轉(zhuǎn)而成的橢球，

又平面尸8。與其長軸垂直，截面為圓，故C錯誤；

p

BC

設(shè)平面E/P與尸3,PD交于點M,N,連接尸E,EC,PF,FC,EM,MG,GN,NF,

;PA=BC,AE=BE,NPAE=/CBE,.\^PAE=ACBE9

:.PE=CE,而PG=GC,故￡G_LPC,同理/G_LPC,

而FGp|EG=G,.pc,平面EFG,而EMu平面EFG,則PCLEM,

,??_L平面48cZ),5。匚平面48。，/.PALBC

?：BC1.AB,〃1口/8=/,.,.^。，平面尸工臺，

?.?瓦0，平面P8C,而P8u平面P8C,則EW_LP3,

;.BM=EM=—BE=—FN=DN=—

22,同理，2,

“r-PM=2y[2--=—GM=GN=在

又PG=522,則2,

EF=-BD=4I

而2,

???交線長為EF+EM+MG+GN+FN=2取瓜,故D正確.

故選：ABD.

12.已知拋物線。：V=2px(p>0)與圓。：x2+/=5交于A,B兩點，且以a=4,直線/過

C的焦點尸，且與C交于A/,N兩點，則下列說法正確的是()

73

A.若直線/的斜率為3,則I九火|=8

B.|姐+2|阿的最小值為3+2及

l'。，閭2

c.若以河尸為直徑的圓與y軸的公共點為iA則點M的橫坐標為2

D.若點G（2,2）,則△GFW周長的最小值為3+后

【答案】BCD

【分析】首先求出拋物線的解析式，設(shè)出的坐標，聯(lián)立進行求解，當機=6時，1加叫=16,

進而判斷選項A錯誤；再根據(jù)韋達定理和不等式求最小值后進行判斷選項B；畫出大致圖象，過點

"作準線的垂線，垂足為初'，交卜軸于“L結(jié)合拋物線定義判斷選項C；過G作G”垂直于準

線，垂足為“，結(jié)合△GFM的周長+尸|+|G尸|=阿6|+限”|+石引6川+石=3+石，進

而判斷選項D即可.

【詳解】由題意得點°'2）在拋物線C：V=2"上，

所以2?=2P,解得P=2,所以C：/=4x,則尸（1，°）,

設(shè)直線/：》=叩+1,與「=4x聯(lián)立得_/-4叩-4=°,

設(shè)M（X|,必），NG，%）,所以必+%=4機，必刑二-4,

所以=Jl+濁必_%kJ1+加2-&必+8）2-4=4（1+加）

當m=G時，河=16,八項錯誤；

11_11_x,+x2+2

7

\MF\I^TIXj+1x2+1x1x2+Xj+x2+1

_加（必+%）+4_4〃?2+4_]

（y,v）2/、4〃/+4

惜+用（必+%+3

16,

貝產(chǎn)+2|陽M陽+2師|）.[向+向卜+耦+需Z3+2f

當且僅當四"1="/，=時等號成立，B項正確；

如圖，過點加作準線的垂線，垂足為交V軸于

取MF的中點為Q,過點。作y軸的垂線，垂足為R,

則MM｝//OF,DD,是梯形OFMM,的中位線，

由拋物線的定義可得閆9十I

\OF\\MM\_\\MF\-\_\MF\

所以?++一亍，

所以以兒牛為直徑的圓與y軸相切，

瓜

所以點1J為圓與y軸的切點，所以點。的縱坐標為2,

又。為板的中點，所以點加的縱坐標為"，

3

又點M在拋物線上，所以點用的橫坐標為萬，C項正確：

過G作G4垂直于準線，垂足為H,

所以△GFM的周長為阿G|+1物|+|GF|=|MG|+1A/”|+石2|G川+石=3+6

當且僅當點用的坐標為°'2）時取等號，D項正確.

故選：BCD.

三、填空題

13.等差數(shù)列｛""｝中々=2,%=8,則數(shù)列也｝的前5項和Ss=,

【答案】25

【分析】利用基本量代換求出首項和公差，套公式求出$5.

[a]+d=2

【詳解】設(shè)等差數(shù)列也｝的公差為d,由的=2,。4=8可得：居+34=8,

d=3

解得:

所以4=%+（"-1”=3"-4

S=5（%+牝）5（-1+11）_25

所以l2-2

故答案為：25

14.若空間向量0=（111）1=（1。1）1=（12〃?）共面，則實數(shù)機=.

【答案】1

【分析】因為三個向量共面，由平面向量的基本定理可知1筋，然后計算即可.

4+4=14=2

＜2=2//=-1

【詳解】由題可知，己=而+血故。，2,"）='（1,1,1）+〃（1,0,1）,有［2+〃=〃?，解得＞=1

故答案為：1

15.寫出與兩圓（x-iy+Vnl'Y+V-lOx+Gy+lgnO均相切的一條直線方程為.

【答案】夕印（答案不唯一）

【分析】根據(jù)圓的方程判斷圓的位置關(guān)系，公切線斜率存在，設(shè)為〉=履+“，應(yīng)用點線距離公式求

參數(shù)，即可寫出直線方程.

【詳解】由《一〃十＞T,圓心為（1川，半徑為1；

由（x-5y+"+3）2=16,圓心為（5,-3）,半徑為小

所以圓心距為45-1）2+（-3-0）2=5=1+4,故兩圓外切,

如下圖,

yn

（X-1）2+2/2=1

0?.V

V?-5）+-+3）2=16）

公切線斜率存在，設(shè)為y=H+,”

…I「1

yj\+k2

<

|52+3+向_4冊=0

所以〔Vi+^,解得1%=1cm=——

-e陽二-3T7

py或I/

所以，公切線方程有'=1或4x-3y—9=°或24x+7y+l=°

故答案為：y=l（答案不唯一）

四、雙空題

16.橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點的軌跡是一個圓，這個圓稱為該橢圓的“蒙日圓”，圓心

是橢圓的中心.已知長方形R的四條邊均與橢圓63相切，則C的蒙日圓方程為

；R的面積的最大值為.

【答案】/+/=9jg

【分析】設(shè)兩條互相垂直的切線的交點為‘（X。，玲）,分為兩切線存在斜率為0和斜率不為0兩種

_y-y=k(x-x)利用

情況討論，斜率不為0時，設(shè)切線方程為'一為二小-丫”"川工聯(lián)立0n

八=°整理成關(guān)于%的一元二次方程，利用兩直線垂直斜率之積為T,化簡整理即可求解C的蒙日

圓方程；要使圓的內(nèi)接四邊形面積最大，即四邊形為正方形時，結(jié)合面積公式即可求解.

【詳解】設(shè)兩條互相垂直的切線的交點為"（x°'%）,

當題設(shè)中的兩條互相垂直的切線中有斜率不存在或斜率為。時，可得點P的坐標是（土.力），或

（±a,-b）

當題設(shè)中的兩條互相垂直的切線中的斜率均存在且均不為0時，可設(shè)點尸的坐標是

（Xo，M）（Xo*±a,且典*±6）,

所以可設(shè)曲線C的過點P的切線方程是＞-%=*（*-%）“工0）

"+/-1

=

由y~y（）k（x-xo）得（/攵2+〃）X2—2如2（■一+a2（5_%）__々廿=0

由其判別式的值為0,得（x；-a2*+=0（x；-/#0）,

因為⑥,，即■為過戶點互相垂直的兩條直線的斜率）是這個關(guān)于人的一元二次方程的兩個根,

kpA'kpB

k一/

所以

由此，得kpa，kps=-1ox。+為=a~+b~,

即C的蒙日圓方程為：/+/=9；

因為蒙日圓為長方形的外接圓，設(shè)'T°H=3,ZAOB=0,

5=4--r2-sin0=18sin^,八，

則矩形面積公式為2，顯然smO=l,

即矩形四條邊都相等，為正方形時，Sa=18.

五、解答題

17.設(shè)圓的方程為/+V-4x-5=°

（1）求該圓的圓心坐標及半徑.

（2）若此圓的一條弦的中點為尸（3」），求直線Z8的方程.

【答案】（1）（2，°）；〃=3；（2）x+y-4=0

【分析】（1）將圓的方程轉(zhuǎn)化為標準形式，可得結(jié)果.

（2）根據(jù)弦力8的中垂線過圓心，可得中垂線的斜率，然后根據(jù)垂直關(guān)系，可得直線48的斜率,

最后根據(jù)點斜式可得結(jié)果.

［詳解］（D由圓的方程為一+/_4》_5=0

則（x-2）+/=9

所以可知圓心C（Z°）,半徑r=3

,1-0?

（2）由弦力8的中垂線為CP,則“一3-2一

所以可得心B=-l,

故直線"的方程為：y-l=（T）（x-3）

即x+y-4=0

【點睛】本題考查圓的方程以及直線方程，難點在于對圓的幾何性質(zhì)的認識，屬基礎(chǔ)題.

18.設(shè)￡為數(shù)列｛qJ的前〃項和，己知且％,S",成等差數(shù)列.

（1）求數(shù)列""｝的通項公式；

為奇數(shù)

h—<1

”—為偶數(shù)

⑵設(shè)〔”"限，求數(shù)列也｝的前20項和

【答案】⑴％=";

2205

⑵22.

【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列定義可得2S，，=Y+a〃，利用“"與S〃之間關(guān)系可證得數(shù)列&，，｝為等差數(shù)

列，由等差數(shù)列通項公式可求得

（2）采用分組求和法，分別對奇數(shù)項和偶數(shù)項求和，結(jié)合等差數(shù)列求和公式和裂項相消法可求得

結(jié)果.

【詳解】（1）由題意得：2s“=a；+a“；

當〃=]時，2a?=2S[=%+可，又”">0,ai=；

當“22且“eN*時，2a“=2Sn-2S?_,=a：+an-吐一1,

-a

整理可得：~%T=（""+"”T）（"”）="”+n-\t

??-a?-\=1,

???數(shù)列｛%｝是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，?,?4=〃.

11_lp__

(2)由⑴得：^?+2~n(n+2)~2[n〃+2,

=(4+&+々+…+47+篇)+02+4+4+…+%+40)

=(1+3+54----F17+19)+—f——11111111

一十——一十———!-???+----------1------------

2446681820202)

10x(1+19)1=100+一些

+X1_±

~222222222

19.如圖，在三棱柱"8C-48c中，四,平面四C,AB人AC,4B=AC=A4=l,M為線

段4G上—I—?一八占、、?

(2)若直線'4與平面5cM所成角為7,求點4到平面8cM的距離.

【答案】(1)證明過程見解析；

(2)3.

【分析】(1)建立空間直角坐標系，利用空間向量數(shù)量積的坐標運算公式進行證明即可;

(2)利用空間向量夾角公式，結(jié)合空間點到面距離公式進行求解即可.

[詳解](1)因為44，平面/8C,X民/Cu平面/BC,

所以而/814C,因此建立如圖所示的空間直角坐標系：

/(0,0,0),A,(0,0,1),5(1,0,0),C(0,l,0),5,(l,0,l),W(0,a,l)(ae[0,1]),

麗=(-l,a,l),欣=(1,0,1),因為麗.福=-4xl+ax0+]x]=0,

所以即BM1"4,

(2)設(shè)平面8cM的法向量為、(xj，z),

n-BM=0\-x+ay+z=0—八…、

<__=>5=>n=(1,1,1-6Z)

所以有l(wèi)萬l-x+y=°,

冗

因為直線”及與平面所成角為7,

|l+l-tz|_V2

上0$〈/81,/?)|=sin—=>

712+l2+(l-a)2x>/2一2

所以‘

n-(1,1，)

解得"一5,g|]2,因為48=(1,0,-1),

所以點4到平面8C"的距離為:

I福川

COS<麗萬＞|.|麗=

【點睛】20.如圖，在四棱錐尸一18CO中，

CD1平面PADQPAD為等邊三角形，彳。〃BC,AD=CD=2BC=2,E,尸分別為棱PD、28的中點

(1)求平面AEF與平面PAD所成銳二面角的余弦值；

(2)在棱PC上是否存在點G,使得OG〃平面4跖？若存在，確定點G的位置；若不存在，說明

理由.

姮

【答案】（1）于

PG4

（2）棱PC上存在點G,使得QG〃平面/瓦"且歷一《

【分析】（1）取力。的中點°,連接°R°3,先證明°8〃CZ）,再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得

OBYOA,OB±OPt以。為原點，建立空間直角坐標系，利用向量法求解即可；

（2）設(shè)點G滿足PG="PC''[0,1],再利用向量法求解即可.

【詳解】（1）取的中點°,連接°尸，°8,

因為在四邊形“SCO中，ADHBC，AD=2BC,

所以O(shè)D"BC,OD=BC,

所以四邊形是平行四邊形，

所以O(shè)B"CD,

因為COJ.平面產(chǎn)所以平面4。，

又04OPu平面PAD,

所以08J.0408_L。尸，

又在等邊A/M。中，。是“。的中點，所以。尸_L。/,

如圖以。為原點，建立空間直角坐標系，

則41,0,0）,8（0,2,0）,C（-l,2,0）,。（-1,0,0）,2（6,0,白）

而=日0,-圖屈=e，i,o

n-EA=0,

,則b,麗=6

設(shè)平面AE尸的法向量〃=（x，％z）

3百

—X------z=0

22

；x+y=0M=（2,-1,273）

即力,可取'）

因為CD，平面產(chǎn)

所以機=OC=（0,2,0）即為平面pAD的一個法向量,

設(shè)平面AEF與平面PAD所成的銳二面角為。,

\m-n\

cosd=卜os(m,”

p|.|n|~17

則

即平面NE尸與平面所成的銳二面角的余弦值為17.

⑵設(shè)點G滿足可"定=（＜'24一行）北刈，

所以Gq422,G_J^),

則加=6兀+1，27,百一百九）

因為QG〃平面4跖，

所以詼1=2（—/1+1）-2/1+2古伊一方/1）=0

解得5,

PG4

即棱℃上存在點G,使得DG〃平面4EF,且拓一工

已知公比大于]的等比數(shù)歹-/｝滿足。2+4=20,%=8

21.

（1）求"J的通項公式；

⑵記鬣為｛""｝在區(qū)間（°，"meN）中的項的個數(shù)，求數(shù)列也｝的前50項和S5。.

【答案】（1）“"=2”

(2)193

【分析】（1）設(shè)首項為卬，公比為九代入條件計算，可求出通項公式；（2）由條件可知，當

“*[2"，2*'-1）時，幻=左，且4=0,即可計算前50項的和.

【詳解】（1）由于數(shù)列S"｝是公比大于1的等比數(shù)列，

設(shè)首項為％,公比為g,

aq+a.q3=20

<x

依題意有儲爐=8,

。a,=”32M=—1

解得：％=2,q=n2或”2（舍）.

所以q=2'.

(2)由題意，2"4加，即"41。82機，

當機=1時，4=0,

當陽=2,3時，4=4=1…

當"*[2,2-1)時，共有2人個，AwN

貝IjSo