高數第一章函數課件第一頁，共六十頁，編輯于2023年，星期二微積分概況微積分教程一般按如下方式安排：歷史上，這些問題是按相反的順序進展的：

集合極限連續(xù)函數微分積分阿基米德開普勒1615費馬1638牛頓1665萊布尼茲1675柯西1821威爾斯特拉斯康拓1875戴德金第二頁，共六十頁，編輯于2023年，星期二積分思想溯源—窮竭法▓不規(guī)則幾何圖形面積體積的計算：窮竭法：用規(guī)則幾何圖形“窮竭”不規(guī)則幾何圖形。歐多克斯原理：從任一量中減去不小它的一半的部分，再從余量中減去不小于的一半的部分，如此繼續(xù)下去，則最后留一個小于任何給定的同類量。▓歐多克斯(Eudoxus，400–350BC)提出。阿基米德(Archimedes,283-212BC)熟練運用。正四邊形…正十六邊正八邊形第三頁，共六十頁，編輯于2023年，星期二阿基米德（Archimedes,283-212BC）拋物線圍成的某些圖形的面積

積分思想溯源—阿基米德球面積、球體積、橢圓面積

第四頁，共六十頁，編輯于2023年，星期二開普勒(Kepler1571-1563)第一個試圖闡明阿基米德方法，并給予推廣。第二行星定律中橢圓面積的計算。1615年出版《酒桶的新立體幾何》，書中包含用無窮小量求面積和體積的許多問題。卡瓦列里(Cavalieri1598～1647)開普勒工作的直接繼承者。不可分量原理。（y=xn下的面積）不可分量專著：《不可分量幾何學》（1635）。積分思想溯源第五頁，共六十頁，編輯于2023年，星期二帕斯卡(Pascal1623—1662)更接近積分的現代解法。計算了種種面積、體積、弧長，并解決了求重心位置等問題。積分思想溯源中國古代數學家的貢獻劉輝(約250-?),祖沖之(429-500)的割圓術給出了計算圓面積和圓周率的方法。祖恒沿著劉徽祖沖之的思路完成了球體積公式的推導（祖恒原理）。沃利斯(Wallis,1616-1703)在其著作《無窮數量的算術》中，獲得了一系列重要的結果。第六頁，共六十頁，編輯于2023年，星期二積分思想的根本問題：無限分割求和問題。積分的根本思想第七頁，共六十頁，編輯于2023年，星期二微分學的起源

?曲線的切線；

?函數的最大(小)值;

?

運動量的變化率。羅貝瓦爾（Roberval，1602-1675）從一般意義上研究曲線的切線問題。笛卡爾(1596-1650)用“圓法”來求曲線的切線，本質上是一種代數方法。費馬求極小、極大值的方法巴羅的微分三角形，把切線看作割線的極限位置，并利用忽略高階無窮小來取極限。第八頁，共六十頁，編輯于2023年，星期二微分思想的根本問題微分思想的根本問題：量的變化率問題。PQS第九頁，共六十頁，編輯于2023年，星期二以無窮小方法研究變化率問題產生了微分學；以無窮小方法研究分割求和問題產生了積分學；牛頓—萊布尼茨公式揭示了兩者的內在聯(lián)系（微積分基本定理），建立了統(tǒng)一的微積分學。微積分的誕生17世紀上半葉一系列前驅性工作沿不同方向朝著微積分的大門踏近，但它們還不足以標示微積分作為一門獨立科學的誕生，這是因為它們在方法上還缺乏一般性。第十頁，共六十頁，編輯于2023年，星期二牛頓從1665年到1695年，對微積分成果為：

★1665，“正流數術”—

微分學；

（當時未公開發(fā)表，在科學家之間小范圍傳播）★1666，“反流數術”—積分學；

（當時未公開發(fā)表，在科學家之間小范圍傳播）★1666，“流數簡論”—標志微積分的誕生；★1669，“分析學”—由此后人稱以微積分為主00000要內容的學科為數學分析★1671，“流數法”★1687，“自然哲學的數學原理”—簡稱“原理”★1691，“求積術”

牛頓在微積分方面的主要成果：第十一頁，共六十頁，編輯于2023年，星期二萊布尼茨在微積分方面的主要成果：★1675年給出積分號“”，同年引入微分號“d”★1676年給出公式，★1677年，表述微積分基本定理：★1684，“求極大與極小值和求切線的新方法”

(微積分學的第一篇公開發(fā)表論文)★1686，“深奧的幾何與不可分量的無限的分析”（積分學論文）第十二頁，共六十頁，編輯于2023年，星期二牛頓VS萊布尼茨

牛頓和萊布尼茨各自獨立的發(fā)明了微積分。

?萊布尼茨的大部分結果先于牛頓發(fā)表；

?牛頓的大部分結果先于萊布尼茨發(fā)現。萊布尼茲的記號比牛頓的更容易理解，一直沿用至今.這個時期的微積分：

■極限的概念還沒有引進微積分，主要應用“不可分量”和“無窮小量”的概念。

■邏輯基礎不嚴密，一些結論不能嚴格證明。第十三頁，共六十頁，編輯于2023年，星期二微積分的極限理論基礎牛頓-萊布尼茨的微積分邏輯基礎不嚴密，特別是在無窮小概念上的混亂，引起一部分人的批評。

英國哲學家、牧師G.Berkeley（1685-1753）：《分析學家，或致一位不信神的數學家》矛頭直指牛頓的流數法。———

Berkeley悖論微積分牢固基礎的建立Cauchy:將微積分的基礎建立在極限基礎上。Weirstrass:建立了分析基礎的邏輯順序：實數系--極限論--微積分。

第十四頁，共六十頁，編輯于2023年，星期二微積分的集合論基礎

由于實數的嚴格理論尚未建立，所以柯西的極限理論還不完善。柯西，威爾斯特拉斯之后，康托，戴德金將分析基礎歸結為實數理論，并建立起完整的實數體系。19世紀下半葉，康拓爾建立著名的集合論，成為現代數學的基石。1900年，國際數學家大會上，法國著名數學家龐卡萊興高采烈的宣稱：“借助于集合的概念，我們可以建造整個數學的大廈……今天我們可以說絕對嚴格性已經達到……”第十五頁，共六十頁，編輯于2023年，星期二微積分邏輯基礎的最后完成羅素悖論：集合論是有漏洞的.

----羅素《數學的原理》1903S由一切不是自身元素的集合所組成。然后羅素問：S是否屬于S呢？一個克里特人說：“所有克里特人說的每一句話都是謊話。”

第十六頁，共六十頁，編輯于2023年，星期二微積分邏輯基礎的最后完成?1908年，策梅羅(Zermelo1871－1953)提出第一個公理化集合論體系，后經弗蘭克爾(Fraenkel1891_1965)改進，稱為ZF系統(tǒng)。?這一公理化集合系統(tǒng)很大程度上彌補了康托爾樸素集合論的缺陷。至此，分析學（數學）大廈的整個基礎完全建立

第十七頁，共六十頁，編輯于2023年，星期二微積分概況微積分教程一般按如下方式安排：歷史上，這些問題是按相反的順序進展的：

集合極限連續(xù)函數微分積分阿基米德開普勒1615費馬1638牛頓1665萊布尼茲1675柯西1821威爾斯特拉斯康拓1875戴德金第十八頁，共六十頁，編輯于2023年，星期二§1.1集合1.集合的概念.2.集合的元素.3.有限集、無限集.4.集合的表示法.?數集分類:N----自然數集Z----整數集Q----有理數集R----實數集數集間的關系:NZ,ZQ,QR第十九頁，共六十頁，編輯于2023年，星期二規(guī)定①

空集為任何集合的子集,A.

②集合A是其自己的子集，AA.5.全集與空集.第二十頁，共六十頁，編輯于2023年，星期二6.集合的運算設A.B是兩個集合①并集：由A和B的所有元素組成的集合，稱為A和B的并，記為A∪B.A∪B={x|xA或xB}.②交集：由A和B的公共元素組成的集合，稱為A和B的交，記為A∩B.A∩B={x|xA且xB}.第二十一頁，共六十頁，編輯于2023年，星期二④補集：全集U中所有不屬于A的元素構成的集合，稱為A的補集，記為ā.③差集：屬于A但不屬于B的元素組成的集合，稱為A和B的差，記為A－B.A－B={x|xA且x

B}.

例,若A={1,2,3,4}，B={3,4,5,6}，則A－B={1,2}.

例,若在本教室中的學生為全集，且A為帶了《微積分》的學生，則ā為未帶《微積分》的學生。ABAUā第二十二頁，共六十頁，編輯于2023年，星期二設A、B、C為任意三個集合，則下列法則成立：7.集合的運算律⑴交換律

A∪B=B∪A,A∩B=B∩A⑵結合律(A∪B)∪C

=

A∪(B∪C)

(A∩B)∩C=A∩(B∩C)⑶分配律(A∪B)∩

C

=(A∩C)∪(B∩C)

(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪

C)⑷摩根律第二十三頁，共六十頁，編輯于2023年，星期二♀將兩個元素x和y按先后順序排列成一個元素組(x,y),稱為二元有序組。

(x,y)和(y,x)是兩個不同的二元有序數組.

(x1,y1)=(x2,y2)當且僅當x1=x2,y1=y2.9.集合的笛卡爾乘積♀由三個元素x,y,z按先后順序排列成一個元素組(x,y,z),稱為三元有序組。♀由n個元素x1,x2,···,xn按先后順序排列成一個元素組(x1,x2,···,xn)稱為n元有序組。第二十四頁，共六十頁，編輯于2023年，星期二定義：設A,B為給定的兩集合，集合A,B的笛卡爾積

A×B定義為

A×B={(x,y)|xA,yB}例1：設A={1,2,3,4},B={2,3},則

A×B={(1,2),(1,3),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3),(4,2),(4,3)}例2：設A={a,b},則

A×A={(a,a),(a,b),(b,a),(b,b)}第二十五頁，共六十頁，編輯于2023年，星期二例3：設R為實數集,則笛卡爾直角坐標平面可記為R×R,即

R×R={(x,y)|xR,yR}.例4：設A={x|0x2},B={y|0y1},則

A×B={(x,y)|0x2,0y1}

表示坐標平面中如圖所示區(qū)域。

yxoA×B第二十六頁，共六十頁，編輯于2023年，星期二§1.2

實數集（一）實數與數軸（二）絕對值（三）區(qū)間（四）鄰域第二十七頁，共六十頁，編輯于2023年，星期二設a與是兩實數，且>0.▓集合U(a,)={x|a-<x<a+}稱為點a的鄰域。點a稱為這個鄰域的中心，稱為鄰域的半徑。▓集合{x|0<|x-a|<}稱為點a的以為半徑的空心鄰域。○第二十八頁，共六十頁，編輯于2023年，星期二§1.3關系①父子關系:(x,y),x,y是地球人，且x是y的父親②夫妻關系:(x,y),x,y是地球人，且x是y的丈夫③實數間的大于關系:(x,y),x,y是實數，且x大于y④集合的包含關系:(x,y),x,y是全空間中兩集合，且xy⑤元素與集合的從屬關系:(x,y),x是一元素，y是一集合，且xy關系：關系是二元有序組的集合例，定義本班同學間的同姓關系：

R={(x,y)|x,y為本班同學，且x,y姓相同}第二十九頁，共六十頁，編輯于2023年，星期二§1.3關系?令R是一關系（即二元有序組的集合），且(x,y)R.?以上表面x,y存在關系R,在這種情況下通常寫作xRy.此時字母R代表一種關系，也可以用其余的字母來代替，特別的可以用一些特殊的符號來代替，如<,=,等。例1:R是所有二元有序整數組(x,y),其中xZ,yZ,且x小于y.于是xRy表示整數x小于整數y的關系，此時一般用符號<代替字母R.例2:R是所有二元有序組(x,y),其中x,y為地球人,且x是y的妻子.于是xRy表示x是y的妻子，此時可用其余符號代替字母R，比如x?y第三十頁，共六十頁，編輯于2023年，星期二§1.3函數的概念定義域:D或D(f).值域：W={y|y=f(x),xD}或R(f).函數的圖形：{(x,y)|y=f(x),xD(f)}定義：設DR為非空數集.如果xD,按照確定的規(guī)則f,

唯一實數y與之對應，記住

y=f(x),則稱f為定義在D上的一個函數。或記為

f:DR.自變量因變量第三十一頁，共六十頁，編輯于2023年，星期二函數的兩要素:定義域與對應法則.自變量對應法則f因變量約定:定義域是自變量所能取的使算式有意義的一切實數值.自然定義域§1.3函數的兩要素第三十二頁，共六十頁，編輯于2023年，星期二§1.3“多值函數”根據函數的定義，它不是函數。但為了方便起見，課本上稱它為多值函數。在本教程中，我們只討論單值函數。○第三十三頁，共六十頁，編輯于2023年，星期二§1.4分段函數由兩個或多個解析式表示的一個函數，交分段函數。oxy第三十四頁，共六十頁，編輯于2023年，星期二§1.4分段函數1-1xyo|x|=x·sgn(x)第三十五頁，共六十頁，編輯于2023年，星期二§1.4分段函數y12345-2-4-4-3-2-1-1-3xo[-3.6]=-4[-0.2]=-1[0.3]=0[2.4]=2第三十六頁，共六十頁，編輯于2023年，星期二§1.4分段函數第三十七頁，共六十頁，編輯于2023年，星期二§1.4分段函數第三十八頁，共六十頁，編輯于2023年，星期二§1.4分段函數第三十九頁，共六十頁，編輯于2023年，星期二§1.6函數的奇偶性yxox-x第四十頁，共六十頁，編輯于2023年，星期二§1.6函數的奇偶性yxox-x第四十一頁，共六十頁，編輯于2023年，星期二§1.6函數的周期性■通常說周期函數的周期是指其最小正周期.■周期函數的定義域為R.例：y=sinx,y=cosx都以2為周期；

y=tanx,y=cotx都以為周期.第四十二頁，共六十頁，編輯于2023年，星期二§1.6函數的周期性第四十三頁，共六十頁，編輯于2023年，星期二§1.6函數的單調性xyoxyo第四十四頁，共六十頁，編輯于2023年，星期二§1.6有界函數M-Myxoy=f(x)X例第四十五頁，共六十頁，編輯于2023年，星期二§1.6無界函數例

例

第四十六頁，共六十頁，編輯于2023年，星期二