第1頁/共20頁理數圓錐曲線1.(2014大綱全國,9,5分)已知雙曲線C的離心率為2,焦點為F1、F2,點A在C上.若|F1A|=2|F2A|,則cos∠AF2A.B.C.D.[答案]1.A[解析]1.由題意得解得|F2A|=2a,|F1A|=4a又由已知可得=2,所以c=2a,即|F1F2|=4a,∴cos∠AF2F1===.故選A.2.(2014大綱全國,6,5分)已知橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右焦點為F1、F2,離心率為,過F2的直線l交C于A、B兩點.若△AF1B的周長為4,則C的方程為()A.+=1B.+y2=1C.+=1D.+=1[答案]2.A[解析]2.由題意及橢圓的定義知4a=4,則a=,又==,∴c=1,∴b2=2,∴C的方程為+=1,選A.3.(2014重慶,8,5分)設F1、F2分別為雙曲線-=1(a>0,b>0)的左、右焦點,雙曲線上存在一點P使得|PF1|+|PF2|=3b,|PF1|·|PF2|=ab,則該雙曲線的離心率為()A.B.C.D.3[答案]3.B[答案]7.A[解析]7.由題意得=2且c=5.故由c2=a2+b2,得25=a2+4a2,則a2=5,b2=20,從而雙曲線方程為-=1.8.(2014山東青島高三第一次模擬考試,10)如圖，從點發出的光線，沿平行于拋物線的對稱軸方向射向此拋物線上的點，經拋物線反射后，穿過焦點射向拋物線上的點，再經拋物線反射后射向直線上的點，經直線反射后又回到點，則等于（

）A．

B．

C．D．[答案]8.

B[解析]8.由題意可得拋物線的軸為軸，，所以所在的直線方程為，在拋物線方程中，令可得，即

從而可得，，

因為經拋物線反射后射向直線上的點，經直線反射后又回到點，

所以直線的方程為，

故選B．9.(2014安徽合肥高三第二次質量檢測，4)下列雙曲線中，有一個焦點在拋物線準線上的是（

）

A.

B.

C.

D.[答案]9.

D[解析]9.

因為拋物線的焦點坐標為，準線方程為，所以雙曲線的焦點在軸上，雙曲線的焦點在軸且為滿足條件.故選D.10.(2014江西,15,5分)過點M(1,1)作斜率為-的直線與橢圓C:+=1(a>b>0)相交于A,B兩點,若M是線段AB的中點,則橢圓C的離心率等于________.[答案]10.[解析]10.設A(x1,y1),B(x2,y2),則+=1①,+=1②.①、②兩式相減并整理得=-·.把已知條件代入上式得,-=-×,∴=,故橢圓的離心率e==.11.(2014湖南,15,5分)如圖,正方形ABCD和正方形DEFG的邊長分別為a,b(a<b),原點O為AD的中點,拋物線y2=2px(p>0)經過C,F兩點,則=________.[答案]11.1+[解析]11.|OD|=,|DE|=b,|DC|=a,|EF|=b,故C,F,又拋物線y2=2px(p>0)經過C、F兩點,從而有即∴b2=a2+2ab,∴-2·-1=0,又>1,∴=1+.12.(2014安徽,14,5分)設F1,F2分別是橢圓E:x2+=1(0<b<1)的左、右焦點,過點F1的直線交橢圓E于A,B兩點.若|AF1|=3|F1B|,AF2⊥x軸,則橢圓E的方程為____________.[答案]12.x2+y2=1[解析]12.不妨設點A在第一象限,∵AF2⊥x軸,∴A(c,b2)(其中c2=1-b2,0<b<1,c>0).又∵|AF1|=3|F1B|,∴由=3得B,代入x2+=1得+=1,又c2=1-b2,∴b2=.故橢圓E的方程為x2+y2=1.13.(2014浙江,16,4分)設直線x-3y+m=0(m≠0)與雙曲線-=1(a>0,b>0)的兩條漸近線分別交于點A,B.若點P(m,0)滿足|PA|=|PB|,則該雙曲線的離心率是________.[答案]13.[解析]13.由得A,由得B,則線段AB的中點為M.由題意得PM⊥AB,∴kPM=-3,得a2=4b2=4c2-4a2,故e2=,∴e=.14.(2014天津薊縣第二中學高三第一次模擬考試，12)拋物線+12y=0的準線方程是___________.[答案]14.

y=3[解析]14.

拋物線的標準方程為：，由此可以判斷焦點在y軸上，且開口向下，且p=6，所以其準線方程為y=3.15.(2014大綱全國,21,12分)已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,直線y=4與y軸的交點為P,與C的交點為Q,且|QF|=|PQ|.(Ⅰ)求C的方程;(Ⅱ)過F的直線l與C相交于A、B兩點,若AB的垂直平分線l'與C相交于M、N兩點,且A、M、B、N四點在同一圓上,求l的方程.[答案]15.查看解析[解析]15.(Ⅰ)設Q(x0,4),代入y2=2px得x0=.所以|PQ|=,|QF|=+x0=+.由題設得+=×,解得p=-2(舍去)或p=2.所以C的方程為y2=4x.(5分)(Ⅱ)依題意知l與坐標軸不垂直,故可設l的方程為x=my+1(m≠0).代入y2=4x得y2-4my-4=0.設A(x1,y1),B(x2,y2),則y1+y2=4m,y1y2=-4.故AB的中點為D(2m2+1,2m),|AB|=|y1-y2|=4(m2+1).又l'的斜率為-m,所以l'的方程為x=-y+2m2+3.將上式代入y2=4x,并整理得y2+y-4(2m2+3)=0.設M(x3,y3),N(x4,y4),則y3+y4=-,y3y4=-4(2m2+3).故MN的中點為E,|MN|=|y3-y4|=.(10分)由于MN垂直平分AB,故A、M、B、N四點在同一圓上等價于|AE|=|BE|=|MN|,從而|AB|2+|DE|2=|MN|2,即4(m2+1)2++=.化簡得m2-1=0,解得m=1或m=-1.所求直線l的方程為x-y-1=0或x+y-1=0.(12分)16.(2014四川,20,13分)已知橢圓C:+=1(a>b>0)的焦距為4,其短軸的兩個端點與長軸的一個端點構成正三角形.(Ⅰ)求橢圓C的標準方程;(Ⅱ)設F為橢圓C的左焦點,T為直線x=-3上任意一點,過F作TF的垂線交橢圓C于點P,Q.(i)證明:OT平分線段PQ(其中O為坐標原點);(ii)當最小時,求點T的坐標.[答案]16.查看解析[解析]16.(Ⅰ)由已知可得解得a2=6,b2=2,所以橢圓C的標準方程是+=1.(Ⅱ)(i)由(Ⅰ)可得,F的坐標是(-2,0),設T點的坐標為(-3,m).則直線TF的斜率kTF==-m.當m≠0時,直線PQ的斜率kPQ=,直線PQ的方程是x=my-2.當m=0時,直線PQ的方程是x=-2,也符合x=my-2的形式.設P(x1,y1),Q(x2,y2),將直線PQ的方程與橢圓C的方程聯立,得消去x,得(m2+3)y2-4my-2=0,其判別式Δ=16m2+8(m2所以y1+y2=,y1y2=,x1+x2=m(y1+y2)-4=.所以PQ的中點M的坐標為.所以直線OM的斜率kOM=-,又直線OT的斜率kOT=-,所以點M在直線OT上,因此OT平分線段PQ.(ii)由(i)可得,|TF|=,|PQ|====.所以==≥=.當且僅當m2+1=,即m=±1時,等號成立,此時取得最小值.所以當最小時,T點的坐標是(-3,1)或(-3,-1).17.(2014廣東,20,14分)已知橢圓C:+=1(a>b>0)的一個焦點為(,0),離心率為.(1)求橢圓C的標準方程;(2)若動點P(x0,y0)為橢圓C外一點,且點P到橢圓C的兩條切線相互垂直,求點P的軌跡方程.[答案]17.查看解析[解析]17.(1)由題意知c=,e==,∴a=3,b2=a2-c2=4,故橢圓C的標準方程為+=1.(2)設兩切線為l1,l2,①當l1⊥x軸或l1∥x軸時,l2∥x軸或l2⊥x軸,可知P(±3,±2).②當l1與x軸不垂直且不平行時,x0≠±3,設l1的斜率為k,且k≠0,則l2的斜率為-,l1的方程為y-y0=k(x-x0),與+=1聯立,整理得(9k2+4)x2+18(y0-kx0)kx+9(y0-kx0)2-36=0,∵直線l1與橢圓相切,∴Δ=0,即9(y0-kx0)2k2-(9k2+4)·[(y0-kx0)2-4]=0,∴(-9)k2-2x0y0k+-4=0,∴k是方程(-9)x2-2x0y0x+-4=0的一個根,同理,-是方程(-9)x2-2x0y0x+-4=0的另一個根,∴k·=,整理得+=13,其中x0≠±3,∴點P的軌跡方程為x2+y2=13(x≠±3).檢驗P(±3,±2)滿足上式.綜上,點P的軌跡方程為x2+y2=13.18.(2014江西,20,13分)如圖,已知雙曲線C:-y2=1(a>0)的右焦點為F,點A,B分別在C的兩條漸近線上,AF⊥x軸,AB⊥OB,BF∥OA(O為坐標原點).(1)求雙曲線C的方程;(2)過C上一點P(x0,y0)(y0≠0)的直線l:-y0y=1與直線AF相交于點M,與直線x=相交于點N.證明:當點P在C上移動時,恒為定值,并求此定值.[答案]18.查看解析[解析]18.(1)設F(c,0),因為b=1,所以c=,直線OB的方程為y=-x,直線BF的方程為y=(x-c),解得B.又直線OA的方程為y=x,則A,kAB==.又因為AB⊥OB,所以·=-1,解得a2=3,故雙曲線C的方程為-y2=1.(2)由(1)知a=,則直線l的方程為-y0y=1(y0≠0),即y=.因為直線AF的方程為x=2,所以直線l與AF的交點為M;直線l與直線x=的交點為N,則===·.因為P(x0,y0)是C上一點,則-=1,代入上式得=·=·=,所求定值為==.19.(2014陜西,2017,13分)如圖,曲線C由上半橢圓C1:+=1(a>b>0,y≥0)和部分拋物線C2:y=-x2+1(y≤0)連接而成,C1與C2的公共點為A,B,其中C1的離心率為.(Ⅰ)求a,b的值;(Ⅱ)過點B的直線l與C1,C2分別交于點P,Q(均異于點A,B),若AP⊥AQ,求直線l的方程.[答案]19.查看解析[解析]19.(Ⅰ)在C1,C2的方程中,令y=0,可得b=1,且A(-1,0),B(1,0)是上半橢圓C1的左,右頂點.設C1的半焦距為c,由=及a2-c2=b2=1得a=2.∴a=2,b=1.(Ⅱ)解法一:由(Ⅰ)知,上半橢圓C1的方程為+x2=1(y≥0).易知,直線l與x軸不重合也不垂直,設其方程為y=k(x-1)(k≠0),代入C1的方程,整理得(k2+4)x2-2k2x+k2-4=0.(*)設點P的坐標為(xP,yP),∵直線l過點B,∴x=1是方程(*)的一個根.由求根公式,得xP=,從而yP=,∴點P的坐標為.同理,由得點Q的坐標為(-k-1,-k2-2k).∴=(k,-4),=-k(1,k+2).∵AP⊥AQ,∴·=0,即[k-4(k+2)]=0,∵k≠0,∴k-4(k+2)=0,解得k=-.經檢驗,k=-符合題意,故直線l的方程為y=-(x-1).解法二:若設直線l的方程為x=my+1(m≠0),比照解法一給分.20.(2014江蘇,17,14分)如圖,在平面直角坐標系xOy中,F1、F2分別是橢圓+=1(a>b>0)的左、右焦點,頂點B的坐標為(0,b),連結BF2并延長交橢圓于點A,過點A作x軸的垂線交橢圓于另一點C,連結F1C.(1)若點C的坐標為,且BF2=,求橢圓的方程;(2)若F1C[答案]20.查看解析[解析]20.設橢圓的焦距為2c,則F1(-c,0),F2(c,0).(1)因為B(0,b),所以BF2==a.又BF2=,故a=.因為點C在橢圓上,所以+=1,解得b2=1.故所求橢圓的方程為+y2=1.(2)因為B(0,b),F2(c,0)在直線AB上,所以直線AB的方程為+=1.解方程組得所以點A的坐標為.又AC垂直于x軸,由橢圓的對稱性,可得點C的坐標為.因為直線F1C的斜率為=,直線AB的斜率為-,且F1C⊥AB,所以·=-1.又b2=a2-c2,整理得a2=5c2.故e2=.因此e=.21.(2014遼寧,20,12分)圓x2+y2=4的切線與x軸正半軸,y軸正半軸圍成一個三角形,當該三角形面積最小時,切點為P(如圖),雙曲線C1:-=1過點P且離心率為.(Ⅰ)求C1的方程;(Ⅱ)橢圓C2過點P且與C1有相同的焦點,直線l過C2的右焦點且與C2交于A,B兩點,若以線段AB為直徑的圓過點P,求l的方程.[答案]21.查看解析[解析]21.(Ⅰ)設切點坐標為(x0,y0)(x0>0,y0>0),則切線斜率為-,切線方程為y-y0=-(x-x0),即x0x+y0y=4,此時,兩個坐標軸的正半軸與切線圍成的三角形面積為S=··=.由+=4≥2x0y0知當且僅當x0=y0=時x0y0有最大值,即S有最小值,因此點P的坐標為(,).由題意知解得a2=1,b2=2,故C1的方程為x2-=1.(Ⅱ)由(Ⅰ)知C2的焦點坐標為(-,0),(,0),由此設C2的方程為+=1,其中b1>0.由P(,)在C2上,得+=1,解得=3,因此C2的方程為+=1.顯然,l不是直線y=0.設l的方程為x=my+,點A(x1,y1),B(x2,y2),由得(m2+2)y2+2my-3=0,又y1,y2是方程的根,因此由x1=my1+,x2=my2+,得因=(-x1,-y1),=(-x2,-y2).由題意知·=0,所以x1x2-(x1+x2)+y1y2-(y1+y2)+4=0.⑤將①,②,③,④代入⑤式整理得2m2-2m+4解得m=-1或m=-+1.因此直線l的方程為x-y-=0或x+y-=0.22.(2012太原高三月考，20,12分)已知曲線C:x2+=1.(Ⅰ)由曲線C上任一點E向x軸作垂線,垂足為F,動點P滿足:=3,求P點的軌跡方程,并討論其軌跡的類型;(Ⅱ)如果直線l的斜率為,且過點M(0,-2),直線l與曲線C交于A、B兩點,又·=-,求曲線C的方程.[答案]22.(Ⅰ)設E(x0,y0),P(x,y),則F(x0,0),∵=3,∴(x-x0,y)=3(x-x0,y-y0),∴代入曲線C中得x2+=1為所求的P點的軌跡方程.(2分)①當λ=時,P點軌跡表示:以(0,0)為圓心,半徑r=1的圓;(3分)②當0<λ<時,P點軌跡表示:中心在坐標原點,焦點在x軸上的橢圓;(4分)③當λ>時,P點軌跡表示:中心在坐標原點,焦點在y軸上的橢圓;(5分)④當λ<0時,P點軌跡表示:中心在坐標原點,焦點在x軸上的雙曲線.(6分)(Ⅱ)由題設知直線l的方程為y=x-2,代入曲線C中得(λ+2)x2-4x+4-λ=0,(7分)令A(x1,y1),B(x2,y2),∵以上方程有兩解,∴Δ=32-