2021年北京市豐臺區高考數學一模試卷

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題

目要求的一項。

1.（4分）（2021?豐臺區一模）已知集合4=*|-2<%,1},3={x|0<x,3},則68=（

）

A.{x|-2<x<0}B.{%|0<玉，1}C.{x|1<A;,3）D.{x\-2<x^3}

2.（4分）（2021?豐臺區一模）在復平面內，復數z=3-4i,則N對應的點位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2R

3.（4分）（2021?豐臺區一模）已知雙曲線r二-y2=l（a>0）的離心率是上，則“=（）

a~2

A.72B.2C.2>/2D.4

4.（4分）（2021?豐臺區一模）在平面直角坐標系xOy中，角a以Ox為始邊，且sina=：.把

角a的終邊繞端點O逆時針方向旋轉》弧度，這時終邊對應的角是￡,則sin/?=（）

A.--B.-C.--D.正

3333

5.（4分）（2021?豐臺區一模）若直線y="+1是圓月+尸-2入”=0的一條對稱軸，則人的

值為（）

A.--B.-1C.1D.2

2

6.（4分）（2021?豐臺區一模）某三棱錐的三視圖如圖所示，該三棱錐中最長的棱長為（

）

正（主）視圖側佐）視圖

俯視圖

A.2B.2&C.2百D.4

7.（4分）（2021?豐臺區一模）P為拋物線y2=2px（p>0）上一點，點P到拋物線準線和對

稱軸的距離分別為10和6,則p=（）

A.2B.4C.4或9D.2或18

8.（4分）（2021?豐臺區一模）大氣壓，它的單位是“帕斯卡”

受力面積

（Pa,\Pa=lN/m2）,大氣壓強p{Pa）隨海拔高度h（m）的變化規律是

p=p（＞*（k=0.000126〃/）,°。是海平面大氣壓強.已知在某高山A,4兩處測得的大氣

壓強分別為小，P，,正△,那么A，A,兩處的海拔高度的差約為（）（參考數據：

■P12

加2=0.693）

A.550mB.1818〃zC.5500mD.8732m

9.（4分）（2021?豐臺區一模）已知非零向量a,b,C共面，那么“存在實數2,使得a=々；

成立”是“（“?b）c=a（b'c）”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

10.（4分）（2021?豐臺區一模）已知函數/。）=/：+川"'皿若存在實數"使得關于x的

[x,x＞m,

方程/（x）=b有三個不同的根，則實數機的取值范圍是（）

A.（0,2）B.（9,-2）＜J（0,2）

C.（-2,0）D.（-2,0）52,+oo）

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。

11.（5分）（2021?豐臺區一模）函數/（x）=4（2x）+-x的定義域為.

12.（5分）（2021?涼山州模擬）在（x+4）6的展開式中常數項為.（用數字作答）

x

13.（5分）（2021?豐臺區一模）在A48C中，a=上,b=2四,B=2A,貝hosA=___.

14.（5分）（2021?豐臺區一模）設等比數列僅“}滿足4+%=48,%+g=6,則

log,的最大值為.

15.（5分）（2021?豐臺區一模）如圖，從長、寬、高分別為a,b,c的長方體尸-GCHD

中截去部分幾何體后，所得幾何體為三棱錐A-BCD.下列四個結論中，所有正確結論的序

號是―-

①三棱錐A-BCD的體積為；

3

②三棱錐A-38的每個面都是銳角三角形；

③三棱錐A-38中，二面角A-8-3不會是直二面角；

④三棱錐A-3CD中，三條側棱與底面所成的角分別記為c,P,y,則

sin2a+sin2（3+sin2y?2.

三、解答題共6小題，共85分。解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程。

16.（13分）（2021?豐臺區一模）已知函數/（x）=sin0x+ecos@x（<w>0）.

（I）當“=1時，求的值；

（JI）當函數f（x）圖象的兩條相鄰對稱軸之間的距離是］時，.

從①②③中任選一個，補充到上面空格處并作答.

①求y（x）在區間上的最小值：

②求f（x）的單調遞增區間；

③若/（x）..0,求x的取值范圍.

17.（14分）（2021?豐臺區一模）如圖，四棱錐P—ABCE）中，底面是菱形，ABAD=-,

3

M是棱上的點，O是4）中點，且PO_L底面4?C￡>,OP=-^OA.

（I）求證：BCLOM；

（I【）若PM=—PB,求二面角B-OA1-C的余弦值.

5

18.（14分）（2021?豐臺區一模）某電影制片廠從2011年至2020年生產的科教影片、動畫

影片、紀錄影片的時長(單位：分鐘)如圖所示.

(n)從2011年至2020年中任選兩年，設X為選出的兩年中動畫影片時長大于紀錄影片

時長的年數，求X的分布列和數學期望E(X)；

(III)將2011年至2020年生產的科教影片、動畫影片、紀錄影片時長的方差分別記為s；,

s；,s；,試比較s：,s；,s；的大小.(只需寫出結論)

19.(15分)(2021?豐臺區一模)己知橢圓C:=1(4＞。＞0)長軸的兩個端點分別為

A(-2,0),8(2,0),離心率為走.

2

(I)求橢圓C的方程;

(II)P為橢圓C上異于A,3的動點，直線AP,PB分別交直線x=-6于M,N兩點,

連接NA并延長交橢圓。于點Q.

(i)求證：直線"，AN的斜率之積為定值；

(ii)判斷M,B,。三點是否共線，并說明理由.

20.(15分)(2021?豐臺區一模)已知函數〃*)=丁-3/+63€/?).

(I)當。=1時，求曲線y=/(x)在點(1,f(1))處的切線方程；

(II)若函數f(x)存在三個零點，分別記為X1,x2,XjC%,＜x2＜x3).

(i)求6的取值范圍；

(ii)證明：%＞。?

21.(14分)(2021?豐臺區一模)已知數列A:%,a?,a2n5eN*),現將數列4的項

分成個數相同的兩組，第一組為8：4，b2,...?bn,滿足％.2+[(i=l,2,...?n-1)；第

二組為C:q,c2,…，cn,滿足c”,q+C=1,2,…，〃-1),記Af=力”一q[.

/=1

(I)若數列A:l,2,4,8,寫出數列A的一種分組結果，并求出此時M的值；

(II)若數歹!JA:1,2,3,…，2〃，證明："?但他.，￡.}..〃+l(i=l,2,…，〃)；(其中加辦佐,

cj表示①，q中較大的數)

(W)證明：M的值與數列A的分組方式無關.

2021年北京市豐臺區高考數學一模試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題

目要求的一項。

1.（4分）（2021?豐臺區一模）已知集合4={》|一2<%,1},8={x|0<%,3},則8=（

）

A.{x|-2<x<0}B.{x[0<x,l}C.{x[l<*,3}D.{x|-2<A;,3}

【解答]解：A=[x\-2<x?l},8={x|0<*,3},

貝ijAjB={x|-2<x,3},

故選：D.

2.（4分）（2021?豐臺區一模）在復平面內，復數z=3-4i,則5對應的點位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【解答】解：復數z=3—4i,則2=3+4，.對應的點（3,4）位于第一象限，

故選：A.

3.（4分）（2021?豐臺區一模）已知雙曲線￡一丫2=1（〃>0）的離心率是且，則〃=（）

a~2

A.x/2B.2C.2>/2D.4

【解答】解：雙曲線《一>2=1（“>0）的離心率是好，

a2

可得正口=亞，解得4=2,

a2

故選：B.

4.（4分）（2021?豐臺區一模）在平面直角坐標系xOy中，角a以Ox為始邊，且sina=：.把

角a的終邊繞端點O逆時針方向旋轉乃弧度，這時終邊對應的角是/，則sin6=（）

A.--B.-C.一立D.—

3333

【解答】解：由題意sina=±,

3

可得sin尸=sin（a+4）=一sina=——.

故選：A.

5.（4分）（2021?豐臺區一模）若直線了=丘+1是圓f+y2-2x=0的一條對稱軸，則人的

值為（）

A.--B.-1C.1D.2

2

【解答】解：由/+>2-2》=0,得（％-1>+丁=1,

則圓心坐標為（1,0）,

又直線y=爪+1是圓x2+丁-2x=0的一條對稱軸，

..直線過圓心,即4+1=0,得無=一1.

故選：B.

6.（4分）（2021?豐臺區一模）某三棱錐的三視圖如圖所示，該三棱錐中最長的棱長為（

）

正（主成圖制（左）視圖

俯視圖

A.2B.2及C.273D.4

【解答】解：根據幾何體的三視圖轉換為直觀圖為：該幾何體為三棱錐體；

如圖所示：

最長的棱長為=萬萬=26.

故選：c.

7.（4分）（2021?豐臺區一模）P為拋物線y2=2px（p>0）上一點，點尸到拋物線準線和對

稱軸的距離分別為10和6,貝。=（）

A.2B.4C.4或9D.2或18

【解答】解：由拋物線V=2px（p>0）可得準線/的方程為：x=-g.

設點P（xl,%）.y；=2pjq.

點P到準線及對稱軸的距離分別為10和6,

.,.X,+y=10,y=±6,yf=2pxt,

解得％i=l，p=18,或X]=9,p=2,

即口的值分別為18,2.

故選：D.

8.（4分）（2021?豐臺區一模）大氣壓強/,=金%,它的單位是“帕斯卡”

受力面積

{Pa,\Pa=\N/tn2）,大氣壓強p（Pa）隨海拔高度的變化規律是

p=p^1（k=0.000126m],p0是海平面大氣壓強.已知在某高山4，為兩處測得的大氣

壓強分別為化，P，，旦=1,那么A，4兩處的海拔高度的差約為（）（參考數據：

P12

//?2h0.693）

A.550mB.1818mC.5500mD.8732m

【解答】解：設A，4兩處的海拔高度分別為4,%,

]-0,000126%

IJIll_LL=1=EsL____________0.000126(/h-/?,)

p2~2~—

0.000126(/12)=嗎=一歷2x-0.693,

得九一九=---0-=—5500〃2?

-'0.000126

.??4，4兩處的海拔高度的差約為55006.

故選：C.

9.（4分）（2021?豐臺區一模）已知非零向量。，b,。共面，那么“存在實數人使得4=成

成立”是“（a-b）c=a（bc）”的（

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【解答】解：①若d=/，

ah=(2c)-h=A(c-h),(??/?)c=A(c-h)c,

又a(b?c)=(2c)(h-C)=2(d-/?)?(?,

(a-h)c=a(/?-c).

②若(ab)c=a(be),

ab,都是數，設4力=加，hc=n,

(a-b)c=a0-c),:.me=na,

又a,CNO,:.a,c共線，即a=

綜上所述：a=笈是(a?匕)e=a(b?c)的充要條件.

故選：C.

10.(4分)(2021?豐臺區一模)已知函數/。)=(：+川"'皿若存在實數"使得關于X的

[x,x>m,

方程/(x)=b有三個不同的根，則實數m的取值范圍是()

A.(0,2)B.(―,-2)U(0,2)

C.(-2,0)D.(-2,0)52，+00)

【解答】解：方程f(x)=b有三個不同的根等價于函數y=『(x)與y=8有三個交點，

根據選項畫出相應函數圖像：

①當，"-2時，方>_2m，函數f(x)的圖像如下:

由圖像可知存在實數6,使得關于X的方程f(x)=b有三個不同的根,

②當-2<0時，>〈-2相，函數/(x)的圖像如下:

由圖像可知不存在實數6,使得關于x的方程/(x)=8有三個不同的根,

由圖像可知存在實數b，使得關于x的方程f(x)=6有三個不同的根,

④當m>2時，nr>2m,函數/（x）的圖像如下:

由圖像可知不存在實數人，使得關于x的方程f（x）=6有三個不同的根，

綜上所述，根<-2或0<m<2時方程/（x）=b有三個不同的根，

故選：B.

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。

11.（5分）（2021?豐臺區一■模）函數于（x）=/〃（2x）+"-x的定義域為_.

【解答】解：由題意得：

PX>°,解得：

[1-X..I）

故函數的定義域是（0,1],

故答案為：（0,1].

12.（5分）（2021?涼山州模擬）在（x+2）<>的展開式中常數項為160.（用數字作答）

X

【解答】解:在（x+知的展開式中的通項公式為瓢=C；2.聲”，令6一2廠=0,求得r=3,

X

可得常數項為2?=160,

故答案為：160.

13.（5分）（2021?豐臺區一模）在AABC中，a=#），b=242,B=2A,則cosA=_^_.

【解答】解：由題意可得:sinB=sin2A=2sinAcosA,

結合正弦定理有：b=2acosA,則cosA=2=2^，=逅.

2a2G3

故答案為：顯.

3

14.（5分）（2021?豐臺區一模）設等比數列｛〃〃｝滿足％+4=48,a4+a5=6,則

logz?4令…4）的最大值為15.

【解答】解：設公比為q的等比數列｛〃〃｝滿足q+4=48,%+4=6，

所以爐=巴*=1,解得4=4，

4+482

故q+出=4（1+q）=48,解得4=32.

所以。,,=（一;）

故4.4???/=2"—,

貝ljlog2…=—J〃2+￡〃，

當〃=5或6時，取得最大值為15.

故答案為：15.

15.（5分）（2021?豐臺區一模）如圖，從長、寬、高分別為“，b,c的長方體4EBF-GCHD

中截去部分幾何體后，所得幾何體為三棱錐A-BCD.下列四個結論中，所有正確結論的序

號是①②④.

①三棱錐A-BCD的體積為』abc；

3

②三棱錐A-B8的每個面都是銳角三角形；

③三棱錐A-38中，二面角A-CD-B不會是直二面角；

④三棱錐A-BCD中，三條側棱與底面所成的角分別記為a,P,y,則

sin2a+sin2P+sin2%,2.

【解答】解：對于①，長方體的體積為欣，

三棱錐A-BCD的體積為abc-4x-x—abc=—abc,故①正確；

323

對于②，三棱錐A-BCD的每一個面的三邊長都可以用過一個頂點的三條側棱表示，

不妨以AACZ）為例，AD2=a2+c2,AC2=b2+c2,CD2^a2+b2,

AD2+AC2>CD2,AD2+CD2>AC2,AC2+CD2>AD2,

.?.AA8一定是銳角三角形，同理可得AABC,MBD,ABC。為銳角三角形，

則三棱錐A-BCD的每個面都是銳角三角形，故②正確；

對于③，如圖，以F為坐標原點，分別以外、FB、9所在直線為x、y、z軸建立空間

直角坐標系，

則A(a,0,0),E(a,b,0),8(0,b,0),F(0,0,0),G(a,0,c),

C(a,b,c),￡)(0,0,c),

AC=(0,b9c)9CD=(-a,-b,0)9BC=(a,09c)f

設平面ACD的一個法向量為m=(x,y,z),

,[m-AC=by+cz=0bb

由1，取y=l,則雨=(—,1,—),

m-CD=-ax-by=0ac

同理可得平面夙力的一個法向量為”=(1,-，

bc

一區+嗎,取a=b=五,c=l時，〃可得二面角A—CD-5是直二面角,

abc

故③錯誤；

對于④，不妨設43與底面所成角為a,AC與底面所成角為7?,AZ)與底面所成角為

由③可知，平面3CZ)的一個法向量為〃=(-/“,ac,a6),AC=(0,b,c),

.c2abc

sm/3=/~,

\lb2+c2-yla^c2+a2b2+b2c2

222

,24abc_8a262c2

Sm22222222222222222

(Z?+c)(ac+a2b2+Z7c)(b+c)［(ac+ab)+(crb+Z?c)+(//+^C)］

________8/吐2________2b

“2ac(2a2bc4-latrc+2abc2)a+b+c

同理可得，sin2a?2a.sin1”2c,

a+b+ca+b+c

則sin?a+sin?/?+sin?%,-〃+2"+2<=2,故④正確.

a+b+c

故答案為：①②④.

三、解答題共6小題，共85分。解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程。

16.(13分)(2021?豐臺區一模)已知函數/(x)=sin0x+百COSGX3>0).

(I)當。=1時，求的值；

(II)當函數圖象的兩條相鄰對稱軸之間的距離是］時，.

從①②③中任選一個，補充到上面空格處并作答.

①求/(X)在區間［0,堂上的最小值；

②求f(x)的單調遞增區間；

③若/(幻..0,求x的取值范圍.

【解答】解：(/)。=1時，/(x)=sinx+5/3cosx,

故f弓)=g+*x6=2,

71

(II)f(x)=2sin(cox+—),

由函數/(x)圖象的兩條相鄰對稱軸之間的距離是］得7=萬，0=2,

故/(x)=2sin(2x+y)，

選①：由滕/工得C轟蟻+至”，

2333

所以一無效kin(2x+C)1,

23

所以/(x)在區間［0,1］上的最小值-G；

②求/(x)的單調遞增區間，

令2%乃一工效2x+工2攵1+工，得攵萬一女羽kkjr+—ykeZ,

2321212

故函數f(x)的單調遞增區間伙萬2"+看卜kQZ,

③若/(x)..O,貝！J2Z通必x+(2k兀+冗,kwZ,

解得人萬一工領kk/r+—ZeZ,

63

故x的取值范圍伙乃一.，4sz.

17.(14分)(2021?豐臺區一模)如圖，四棱錐尸—ABC。中，底面A3CZ)是菱形，ZBAD=-

3f

M是棱M上的點，。是4)中點，且R9_L底面ABC。，OP=?OA.

(I)求證：BCA.OM；

a

(II)^PM=-PB,求二面角B—QW—C的余弦值.

5

【解答】解：(I)證明：在菱形43co中，ZBAD=-,4曲為等邊三角形,

3

。為A￡)的中點，..OBLAD,

AD//BC,:.OB±BC,

PO_L底面BCu平面AB8,

:.OP±BC,

OP^OB=O,OP、O3u平面尸03,.iBC，平面「08,

"是棱PB上的點，.1OMu平面「08,

：.BCVOM.

(II)PO_L底面MCD,OBYAD,

建立如圖所示的空間直角坐標系0-型，

設。4=1,則OP=O8=G，

0(0,0,0),A(1,0,0),3(0,也,0),C(-2,6,0),尸(0,0,6),

OC=(-2,6,0),

由PM=|所得加。「+加他坐,竽),

設m=(x,y,z)是平面OMC的法向量，

OM-=3V+2z=0人/日?

由，.，令y=2,得加=(6,2,-3),

OCin=2x-y/3y=0

平面POB的法向量為〃=(1,0,0),

m-n\J3

cos<m,n>=----------=——

\m\t\n\4

由題知二面角8-Q0-C為銳二面角,

二面角B-QW-C的余弦值為且.

18.(14分)(2021?豐臺區一模)某電影制片廠從2011年至2020年生產的科教影片、動畫

(I)從2011年至2020年中任選一年，求此年動畫影片時長大于紀錄影片時長的概率;

（n）從2011年至2020年中任選兩年，設X為選出的兩年中動畫影片時長大于紀錄影片

時長的年數，求X的分布列和數學期望E（X）；

（III）將2011年至2020年生產的科教影片、動畫影片、紀錄影片時長的方差分別記為s：,

s；,s；,試比較s；,s；,s；的大小.（只需寫出結論）

【解答】解：（I）從2011年至2020年，共10年，其中動畫影片時長大于紀錄影片時長的

年份有：

2011年,2015年，2017年，2018年,2019年，2020年，共6年,

故所求概率p=g=3.

105

（IDX的所有可能取值為0,1,2,

則P（X=O）=與=2，

Go15

8

P(x=l)

P(X=2)=|^W，

5oJ

所以隨機變量X的分布列為:

X012

p28

15153

數學期望E(X)=0x2+lx號+2x1=9.

151535

（III）結合圖象可知科教影片時長的波動最大，方差最大，

將動畫影片、記錄影片時長從小到大排列，

動畫影片：150,180,200,240,260,290,320,350,380,430,

記錄影片：100,130,150,190,210,240,270,300,330,380,

記錄

222

$2<$3<M.

22

19.（15分）（2021?豐臺區一模）已知橢圓C:5+2=l（4>6>0）長軸的兩個端點分別為

a-b-

A(—2,0),8(2,0),離心率為^―.

2

(I)求橢圓C的方程；

(II)P為橢圓C上異于A,3的動點，直線AP,PB分別交直線x=-6于M,N兩點,

連接NA并延長交橢圓C于點Q.

(i)求證：直線"，AN的斜率之積為定值；

(ii)判斷B,。三點是否共線，并說明理由.

【解答】解：(I)由已知可得：。=2,,貝i」c=G，b=\,

a2

所以橢圓C的方程為：—+/=1;

4

(II)(/)證明：因為直線PA,PB都存在且不為0,設P(x0,%),則總=一^，kAP=,

%—2%+2

所以直線的方程為：y=」^(x-2),令x=-6,解得丫=二返，則點N的坐標為

七一2xa-2

-8%

所以直線AN的斜率為kAN=上心=⑶豆，

-6+2X。—2

、2(1-9)

所以直線AP,AN的斜率之積為^^.芻k=學1=,4=一1為定值;

X。+2X。—2垢—4X。—42

(ii)M,B,。三點共線，理由如下：

設直線A尸的斜率為A,易得用(-6,-4幻，

由⑺可知直線AN的斜率為,所以直線AN的方程為y=-'-(x+2),

2女2攵

y=—(x+2)

聯立方程］,2k，消去x可得：(4+4&2廳+8處=0,

X2.

—+V=I

4-

一262后2—2—2々

解得y=1,所以點。的坐標為

v\+k~\+k\+k

所以，直線BQ的斜率為一=-,直線3M的斜率為=

2k2-2.2-6-22

1^一2

因為直線BQ的斜率等于直線BM的斜率,

所以M,B,。三點共線.

20.(15分)(2021?豐臺區一模)已知函數f(x)=V-3x?+伙beR).

(I)當。=1時，求曲線y=/(x)在點(1,f(1))處的切線方程；

(H)若函數f(x)存在三個零點，分別記為占，x2,x3(x,<x,<x3).

(i)求b的取值范圍；

(ii)證明：xt+x2>0.

【解答】(I)解：當6=1時，f(x)=x3-3x2+l,則f(1)=一1,所以切點為(1,-1),

因為:(x)=3/-6x,故尸(1)=一3,

由點斜式可得切線方程為y-(-l)=-3(x-1),即3x+y-2=0；

解:f(x)=x3-3x2+b,令f(x)=0,可得6=-/+3/，

令g(x)=-x3+3x2,則g'(x)=-3x2+6x=-3x(x-2),

所以當x<0時，g'(x)<0,則g(x)單調遞減，

當0cx<2時，g'(x)>0,則g(x)單調遞增，

當x>2時,g'(x)<0,則g(x)單調遞減，

所以當x=0時，g(x)取得極小值g(0)=0,

當x=2時，g(x)取得極大值g(2)=4,

因為函數f(x)存在三個零點，

所以y=g(x)與y=6的圖象有三個交點，貝IJ有0<6<4,