第10章一次方程組青島版七年級下冊10.4列方程組解應(yīng)用題知識回顧列一元一次方程解應(yīng)用題的步驟：審、列、解、驗、答.交流與發(fā)現(xiàn)長江上一艘游船從沙市港出發(fā)，船速為17千米/時，經(jīng)過若干小時到達(dá)宜昌港.如果船速增加1千米/時，那么用同樣多的時間，游船可到達(dá)宜昌上游9千米處的葛洲壩.提速前游船由沙市港航行到宜昌港所用的時間是多少?沙市港到宜昌港的航程是多少?在這個問題中，(1)已知量是什么?未知量是什么?(2)等量關(guān)系是什么?速度×?xí)r間＝路程(3)如果設(shè)游船航行所用的時間為x時，沙市港到宜昌港的航程為y千米你能根據(jù)問題中的兩個等量關(guān)系列出方程組嗎?17x＝y(tǒng)(17＋1)x＝y(tǒng)＋9(4)你會解所列的方程組嗎?17x＝y(tǒng)18x＝y(tǒng)＋9進(jìn)一步整理為：17x＝y(tǒng)(17＋1)x＝y(tǒng)＋9例1小亮和小瑩練習(xí)賽跑.如果小亮讓小瑩先跑10米，那么小亮跑5秒就追上小瑩；如果小亮讓小瑩先跑2秒，那么小亮跑4秒就追上小瑩.兩人每秒各跑多少米?等量關(guān)系是：(1)小亮跑5秒的路程＝小瑩跑5秒的路程＋10米；(2)小亮跑4秒的路程＝小瑩跑(4＋2)秒的路程.解：設(shè)小亮每秒跑x米，小瑩每秒跑y米.根據(jù)題意，得5x

＝5y

＋10，4x＝(4＋2)y解得x＝6，y＝4.經(jīng)檢驗，方程組的解符合題意.所以小亮每秒跑6米，小瑩每秒跑4米.例2(中國古代數(shù)學(xué)問題)有若干只雞和兔放在同一個籠子里.從上面看，有35個頭；從下面看，有94只腳.問籠子里有幾只雞?幾只兔?解：設(shè)籠子里有x只雞、y只兔.

已知共有35個頭、94只腳.根據(jù)題意，得x

＋y＝35，2x＋4y＝94.解得x＝23，y＝12.經(jīng)檢驗，方程組的解符合題意.所以，籠子里有23只雞、12只兔.對于這個問題，你能用四則運(yùn)算的方法和列一元一次方程的方法求解嗎?比較這兩種方法與列二元一次方程組的方法，你認(rèn)為它們各有什么特點?與同學(xué)交流.挑戰(zhàn)自我甲、乙二人正在談?wù)撍麄兊哪挲g.甲：在我是你今年的歲數(shù)時，你那年10歲.乙：在我是你今年的歲數(shù)時，你那年25歲.想一想，甲、乙二人誰的年齡大?今年甲、乙二人各多少歲?練習(xí)解：設(shè)買楊樹苗x棵，買柳樹苗y棵，根據(jù)題意，得x

＋y＝100，3x＋7y＝460.解得x＝60，y＝40.答：買楊樹苗60棵，買柳樹苗40棵.2.如圖，用8塊相同的長方形瓷磚拼成一個寬為60厘米的長方形灶臺面.求每塊瓷磚的長和寬(瓷磚間的縫隙忽略不計).解：設(shè)小長方形瓷磚的長為x厘米，寬為y厘米.根據(jù)題意，得x

＋y＝60，x＝3y.解得x＝45，y＝15.答：每塊瓷磚的長為45厘米，寬為15厘米.例32010年4月份中國民航國內(nèi)和國際航線運(yùn)送旅客總?cè)藬?shù)共2160萬人，其中，國內(nèi)和國際航線運(yùn)送旅客人數(shù)比2009年4月份分別增長13.2%和28.8%，2009年4月份國內(nèi)航線和國際航線運(yùn)送旅客總?cè)藬?shù)為1894萬人，那么2009年4月份國內(nèi)和國際航線運(yùn)送旅客分別有多少萬人(結(jié)果精確到萬人)?設(shè)2009年4月份中國民航國內(nèi)航線運(yùn)送旅客x萬人，國際航線運(yùn)送旅客y萬人，得到下表：2009年4月份2010年4月份國內(nèi)航線運(yùn)送人數(shù)/萬人x(1＋13.2%)x國際航線運(yùn)送人數(shù)/萬人y(1＋28.8%)y合計/萬人18942160解：設(shè)2009年4月份中國民航國內(nèi)航線運(yùn)送旅客x萬人，國際航線運(yùn)送旅客y萬人.根據(jù)題意，得x

＋y＝1894，(1＋13.2%)x＋(1＋28.8%)y＝2160.解這個方程組，得x≈1791，y≈103.經(jīng)檢驗，方程組的解符合題意.所以2009年4月份中國民航國內(nèi)航線運(yùn)送旅客1791萬人，國際航線運(yùn)送旅客103萬人加油站在解決一類實際問題時，可以通過列出方程組表示問題中的全部數(shù)量關(guān)系，所以方程組也是刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系的有效模型.例4果園要將一批水果運(yùn)往某地，打算租用某汽車運(yùn)輸公司的甲、乙兩種貨車.過去兩次租用這兩種貨車的信息如下表所示：第一次第二次甲種貨車車輛數(shù)/輛25乙種貨車車輛數(shù)/輛36累計運(yùn)貨量/噸15.535現(xiàn)打算租用該公司3輛甲種貨車和5輛種貨車，可一次剛好運(yùn)完這批水果.如果每噸運(yùn)費為30元，果園應(yīng)付運(yùn)費多少元?等量關(guān)系是：(1)2輛甲種貨車運(yùn)量＋3輛乙種貨車運(yùn)量＝噸；(2)5輛甲種貨車運(yùn)量＋6輛乙種貨車運(yùn)量＝35噸根據(jù)題意，得2x

＋3y＝15.5，5x＋6y＝35.解得x＝4，y＝2.5.經(jīng)檢驗，方程組的解符合題意.這次運(yùn)水果所需運(yùn)費為30×(4×3＋2.5×5)＝735(元)所以，果園應(yīng)付運(yùn)費735元智趣園兩鼠穿墻《九章算術(shù)》提出了一個有趣的問題：“今有垣厚五尺，兩鼠對穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺.大鼠日自倍，小鼠日自半，問何日相逢，各穿幾何?”意思是說：今有一道墻，厚5尺，兩只老鼠從墻的兩邊分別打洞穿墻.大老鼠第一天進(jìn)一尺，以后每天的進(jìn)度是前一天的2倍；小老鼠第一天也進(jìn)1尺，以后每天的進(jìn)度是前一天的一半.問幾天后兩鼠相遇；此時.兩鼠各穿墻幾尺?

練習(xí)解：設(shè)到乙公司參加社會實踐活動的有x人，則到甲公司參加社會實踐活動的有(2x－8)人，根據(jù)題意得，(2x－8)＋x

＝100，解得x＝36則2x－8＝2×36－8＝64.答：到甲公司參加社會實踐活動的有64人，到乙公司參加社會實踐活動的有36人.

解：設(shè)計劃種蔬菜x公頃，種糧食y公頃，根據(jù)題意，得

解得x＝8.7，y＝34.8.答：該農(nóng)場計劃種蔬菜公頃，種糧食公頃.例5一個三位數(shù)，三位數(shù)字之和為12，個位數(shù)字是百位數(shù)字與十位數(shù)字之和的2倍，百位數(shù)字是十位數(shù)字的3倍，求這個三位數(shù).解：設(shè)這個三位數(shù)的個位數(shù)字為x，十位數(shù)字為y，百位數(shù)字為z.根據(jù)題意，得x＋y＋z＝12，x＝2(y＋z)z

＝3y.解得x＝8，y＝1，z

＝3.經(jīng)檢驗，方程組的解符合題意.所以這個三位數(shù)是318.*例6(中國古代數(shù)學(xué)問題)今有上等黍3捆，中等黍2捆，下等黍1捆，共打出黍米39斗；又有上等黍2捆，中等黍3捆，下等黍1捆，共打出黍米34斗；再有上等黍1捆，中等黍2捆，下等黍3捆，共打出黍米26斗.問每捆上、中、下黍各能打出黍米多少斗?解：設(shè)每捆上、中、下黍分別能打出黍米x斗、y斗、z斗.根據(jù)題意，得3x＋2y＋z＝39，2x＋3y＋z＝34，x＋2y＋3z＝26.解得

挑戰(zhàn)自我小亮、小瑩和大剛每人面前各放有一堆栗子.小亮將自己面前的栗子分出一些給另外二人后，這二人的栗子數(shù)各增加1倍.接著小瑩又將自己面前的栗子分些給小亮和大剛，小亮和大剛的栗子數(shù)都增加了1倍.然后，大剛又分給另外二人一些栗子，使小亮和小瑩面前的栗子數(shù)也都增加1倍.這時，他們?nèi)嗣媲暗睦踝泳谷欢际?4顆.

你知道他們?nèi)嗣媲霸瓉砀饔卸嗌兕w栗子嗎?史海漫游古老的百雞問題公元5世紀(jì)左右，北魏時期的數(shù)學(xué)家張丘建在他所著的《張丘建算經(jīng)》中提出了一個著名的“百雞問題”；《張丘建算經(jīng)》(宋刻本)關(guān)于百雞問題的記載(選自《中國大百科全書·數(shù)學(xué)》)《張丘建算經(jīng)》(宋刻本)關(guān)于百雞問題的記載(選自《中國大百科全書·數(shù)學(xué)》)“今有雞翁一，直錢五；雞母一，直錢三；雞雛三，直錢一.凡百錢買雞百只，問雞翁、母、雛各幾何?”《張丘建算經(jīng)》(宋刻本)關(guān)于百雞問題的記載(選自《中國大百科全書·數(shù)學(xué)》)題目大意是：一只公雞價值5錢(我國古代的一種貨幣單位)，一只母雞價值3錢，三只維雞價值1錢.用100錢買了100只雞，問買公雞、母雞和雛雞各多少只.這一問題可利用列方程組的方法解決.設(shè)x，y，z

分別表示所買公雞、母雞、雛雞的只數(shù)，根據(jù)題意，得這個方程組中有兩個方程，卻有三個未知數(shù).這類方程組在數(shù)學(xué)上稱為不定方程組.本題是求一個三元一次不定方程組的正整數(shù)解問題.這一問題的提出標(biāo)志著我國在公元5世紀(jì)時已對不定方程組有了系統(tǒng)深入的研究，并為后人學(xué)習(xí)不定方程組的求解提供了一個入門的范例.

所以，公雞、母雞、雛雞各買了4只、18只、78只；或8只、11只、81只；或12只、4只、84只.練習(xí)

解：設(shè)甲數(shù)為x，乙數(shù)為y，丙數(shù)為z.根據(jù)題意，得

解得x＝12，y＝8，z

＝5.答：甲數(shù)為12，乙數(shù)為8，丙數(shù)為5.解：設(shè)這個隊在這屆聯(lián)賽中勝、平、負(fù)各x場、y場、z場.根據(jù)題意，得

解得x＝6，y＝3，z

＝3.答：這個隊在這屆聯(lián)賽中勝、平、負(fù)各6場、3場、3場.習(xí)題復(fù)習(xí)與鞏固1.(中國古代數(shù)學(xué)問題)幾個合作經(jīng)營的商人正分配所得銀兩，某人在隔壁聽見他們說，如果每人分得7兩，就剩下4兩；

如果每人分得9兩，還少半斤(舊時1斤＝16兩).你知道共有多少商人和多少銀兩嗎?解：設(shè)共有商人x人和銀兩y兩，根據(jù)題意，得7x＋4＝y(tǒng)，9x－8＝y(tǒng).

解得x＝6，y＝46.經(jīng)檢驗，方程組的解符合題意.答：共有商人6人，銀兩46兩.2.“十一”黃金周期間，某景區(qū)共接待省內(nèi)、外游客122萬人，總收入達(dá)億元，其中省內(nèi)、外游客人均消費分別為160元和1200元.該景區(qū)接待省內(nèi)、外游客各多少萬人(精確到1萬人)?解：設(shè)省內(nèi)旅游者x萬人次，省外旅游者y萬人次，根據(jù)題意，得x＋y＝122，160x＋1200y＝480000000.

解得x≈46，y≈72.答：該景區(qū)接待省內(nèi)外游客各為46和72萬人.3.每千克大豆餅和棉籽餅中，磷和鉀的含量(單位：克)分別如下表所示：磷鉀大豆餅13.221.3棉籽餅16.39.7現(xiàn)在要用這兩種肥料配制成含磷45.8千克、鉀40.7千克的混合肥料.大豆餅和棉籽餅各需多少千克?解：設(shè)需要大豆餅x，棉籽餅y.根據(jù)題意，得13.2x＋16.3y

＝45.8，21.3x＋9.7y＝40.7.

解得x＝10，y＝20.故配置成含磷千克，含千克的混合肥料需要大豆餅10千克棉籽餅20千克.根據(jù)題意，得7x＋7＝

y，9(x－1)＝y(tǒng).

解得x＝8，y＝63.5.某開發(fā)區(qū)去年的出口創(chuàng)匯額為25億美元，今年達(dá)到30.55億美元.已知今年上半年的出口創(chuàng)匯額比去年同期增長18%，下半年比去年同期增長25%，求今年上半年和下半年的出口創(chuàng)匯額.解：設(shè)去年上半年出口創(chuàng)匯額為x億美元，去年下半年的出口創(chuàng)匯額為y億美元.則今年上半年出口創(chuàng)匯額為：

(1＋18%)x＝x(億美元)，今年下半年的出口創(chuàng)匯額為：

(1＋25%)y＝y(tǒng)(億美元)，根據(jù)題意，得x＋y

＝25，1.18z

＋1.25y＝30.55.

解得x＝10，y＝15.x＝億美元，y＝億美元，答：今年上半年的出口創(chuàng)匯額億美元，下半年的出口創(chuàng)匯額億美元6.張大嬸和王姐去菜市場買菜.張大嬸買了土豆3千克、菠菜2千克，共花費元；王姐買了芹菜1千克、土豆2千克、菠菜1千克，共花費元.已知芹菜每千克3元，問土豆和菠菜每千克各多少元.解：設(shè)土豆每千克x元，菠菜每千克y元，根據(jù)題意，得3x

＋2y

＝10.2，3＋2x＋y＝9.2.

解得x＝2.2，y＝2.答：故土豆每千克元，菠菜每千克2元.拓展與延伸7.一張方桌由一個桌面和四條桌腿組成.如果1立方米木料可制作桌面50個，或制作桌腿300條.現(xiàn)有5立方米木料，請你設(shè)計一下，用多少木料做桌面，用多少木料做桌腿，恰好配成方桌多少張?解：設(shè)用xm3木料做桌面，則用ym3木料做桌腿，恰好配成方桌，根據(jù)題意，得4×50x

＝300y，x＋y＝5.

解得x＝3，y＝2.50×3＝150張∴用3m3木料做桌面，用2m3木料做桌腿，恰好配成方桌150張.*8.(中國古代問題)買2匹馬、3頭牛或4只羊，價錢分別都不滿10000文(古時貨幣單位).如果買2匹馬加上1頭牛，或者買3頭牛加上1只羊，或者買4只羊加上1匹馬，那么各自的價錢正好都是10000文.求馬、牛、羊的單價.解：設(shè)1匹馬的價格為x文，1頭牛的價格為y文，1只羊的價格為z文.根據(jù)題意，得2x

＋y

＝10000，3y＋z＝10000，4z＋x＝10000.解得x＝3600，y＝2800，z＝1600.答：1匹馬的價格為3600文，1頭牛的價格為2800文，1只羊的價格為1600文.

解得：x

＝231，

答：當(dāng)天通過該收費站的小轎車有231輛，小客車有84輛，大客車有70輛.

解