#/7等比數列的性質總結1.等比數列的定義：a~=q（q豐）（n>2,且ngN*），q稱為公比a1.等比數列的定義：n-12.通項公式：aa=aqn-i=—qqnn1=A?aa=aqn-i=—qqnn1=A?Bn（a?q豐0,A?B豐0），首項:1a1；公比：q推廣：an=aqn-m，m從而得qn-ma—nam3.等比中項（1）如果a,A,b成等比數列那么A叫做a與b的等差中項.即：A2=ab或A=±：ab?a?an-1 n+1（2）數列laJ是等比數列Oa2=ann等比數列的前n項和S公式：n（1）當q=1時，S=na.n1a（2）當q豐a（2）當q豐1時，S=」

nG一q）a-aq-1 n-1-qqn=A-A-Bn=A'Bn-A'（A,B,A；B'為常數）等比數列的判定方法（（1）a定義法：對任意的n，都有a=aq或.n+1nan

=q（q為常數，a豐0）O{a}為等比數列.（2）（3）（2）（3）（4）前n項和公式法：S——1-qn———H-

q-1q-1=A-A?Bn或S=A'Bn-A'（A,B,A',B'為常數）O{a}為nn中項公式法：a2=aa（aa豐0）O{a}為等比數列.n n+1n-1 n+1n-1 n通項公式法：a=A?Bn（A?B豐0）O{a}為等比數列等比數列等比數列的證明方法a依據定義：右一n-=q（q豐

an-1

）（n>2,且ngN*）或an+1

=qaO{a}為等比數列7.注意（1）等比數列的通項公式與前n和公式中，涉與到5個元素:本元素。只要已知這5個元素中的任意3個，便可求出其余2個，a1、q、n、a與S，其中a、q稱作為基（2）為減少運算量，要注意設項的技巧，一般可設為通項；aaa如奇數個數成等比，可設為…，一，一，a,aq,aq2…（公比為q，

q2q即知3求2。=aqn-i1nn中間項用a表示）;8.等比數列的性質（1）當q中1時①等比數列通項公式a=aqn-1=aq”=A?Bn（A?B豐0）是關于n的帶有系數的類指數函數，底數為公比q.n1 q②前n項和Sn=A-②前n項和Sn=A-A-Bn=A'Bn-A'，系數和常數項是互為相反 =-A 1——=——— —qn1-q1-q1-q1-q數的類指數函數，底數為公比q=aqn-m，特別的，當m=1時便得到等比數列的通項公式.因此,m=aqn-m，特別的，當m=1時便得到等比數列的通項公式.因此,m此公式比等比數列的通項公式更具有一般性。(3)若m+n=s+1(m,n,s,tgN*)，則a-a=a-a.特別的，當m+n=2k時，得a?a=a2nmst nmk注：a-a=a?a=aa…1n2n-1 3n-2ka（4）數列｛a｝,｛b｝為等比數列,則數列｛—｝,｛ha｝,｛ak｝,｛k?a?b｝｛丁｝（k為非零常數）均為等比數列.nn a nn nnbnn（5）數列｛a｝為等比數列，每隔k（kgN*）項取出一項（a,a,a ,a ，…）仍為等比數列.n mm+km+2km+3k（6）如果｛a｝是各項均為正數的等比數列，則數列｛loga｝是等差數列.n an（7）若｛a｝為等比數列,則數列S，S-S，S-S，…，成等比數列.n n2nn 3n 2n（8）若｛a｝為等比數列,則數列a?a??…a,a?a??…a,a?a a成等比數列n 12 n n+1n+2 2n2n+12n+2 3n[a>0，則｛a｝為遞增數列1n（9）①當q>1時，a<0，則｛a｝為遞減數列1n｛《>0，則｛a｝為遞減數列1n②當0<q<1時，a<0，則｛a｝為遞增數列1n③當q=1時，該數列為常數列（此時數列也為等差數列）.④當q<0時,該數列為擺動數列.S（10）在等比數列版an｝中，當項數為2n（ngN*）時,^奇偶（11）若｛a｝是公比為q的等比數列，則S=S+qn?Sn n+m n m注意：解決等比數列問題時，通常考慮兩類方法：①基本量法：即運用條件轉化為關于a和q的方程；②巧妙運用等比數列的性質，一般地運用性質可以化繁為簡，減少運算量.一、選擇題等比數列練習1.已知數列-1,〃,a,-4成等差數列，—Lb,b,b-4成等比數列123a-a則十一的值為（）b2A、1B、一1C、2.等比數列ij｛a｝中，annA.32B.643.已知一9,a1C.a

2256一1>0,a,a1 99D.±64為方程x2—10x+16=0的兩根，則a20.a50.a80的值為()四個實數成等差數列，一9,b1，b2,b3，一1五個實數成等比數列則b2(a2—a1A．89B.一8C.±8D.-84.某數列既成等差數列也成等比數列,那么該數列一定是A.公差為0的等差數列；B.公比為1的等比數列；（C.常數數列1,1,1…；D.）以上都不對.5.等比數列｛a｝的各項均為正數，且aa+aa=18,56 47則loga+loga+31 32+loga310=（ ）A．12B.10C.8D.2＋log536.已知S是公差不為0的等差數列｛a｝的前n項和，且S,S,S成等比數列124a+a則——3等于（）a1A.4B.6C.8D.107.公差不為零的等差數列｛a｝的前n項和為S

n若a4是a3與a7的等比中項S=60,則S等于（ ）10A、28B、32C、36D、408.等比數列｛a｝的前n項和為S

nA.1B.1或一1C.,則公比為（）21三或一三D.2或一22 29.已知等比數列｛a｝的公比為2n前4項的和是1則前8項的和為（A.15B.17C.192110.設｛a｝是公比為正數的等比數列n若a=4,a3-16,5則數列｛a｝的前5項和為（

nA.15B.31C.32D.41二、填空題13.設等比數列｛a｝的前n項和為snn。若a=1,s=4s6314.已知等差數列｛a｝滿足：an1=—8,a=—6。2若將a1,a4,a5都加上同一個數,所得的三個數依次成等比數歹U，則所加的這個數為。15.等比數列｛a｝的公比q>0,n16.等比數列｛a｝的前n項和Sn已知a2=1+a -6a,n+1 n則｛a｝的前4項和S,=

n4三、解答題17.(1)在等差數列｛。｝中，a+a=12,a=7，求a與前n項和S；TOC\o"1-5"\h\zn 16 4 n n(2)在等比數列｛a｝中，S=7,S=198,,求a.n3 26 2n18.為了保護三峽庫區的生態環境，凡是坡度在25°以上的坡荒地都要綠化造林。據初步統計，到2012年底庫區的綠化率只有30%。計劃從2013年開始加大綠化造林的力度，每年原來坡度在25°以上的坡荒面積的16%將\o"CurrentDocument"3 ,被造林綠化，但同時原有綠化面積的4%還是會被荒化。設該地區的面積為1,2012年綠化面積為a1=10，經過一年綠化面積為a，…，經過n年綠化面積為a.2 n+1一 ， 4、(I)試寫出a與a的關系式，并證明數列｛a--｝是等比數列；n+1 n n+15(II)問至少需要經過多少年努力，才能使庫區的綠化面積超過60%？3.已知等比數歹|J｛a｝滿足a=12,a=-,記其前n項和為S.n 3 88 n(1)求數列｛a｝的通項公式a；(2)若S=93,求n.n nn.在等比數列^a｝中，a>1,公比q>0，設b=loga，且b+b+b=6,bbb=0.n 1 n 2n 1 3 5 135(1)求證：數列弘｝是等差數列；(2)求數列S｝的前n項和S與數列｛a｝的通項公式；n n nn(3)試比較a與S的大小.nn.等比數列｛a｝的前n項和為S，S+S=2S，求公比q。n n36 9.設數列｛a｝的前n項和S，且(3-m)S+2ma=m+3(ngN*).其中m為常數，且mw—3,m牛0.n n nn(I)求證｛a｝是等比數列；n(II)若數列｛a｝的公比q=f(m)，數列｛b｝滿足b=a,b=3f(b)(ngN,n>2)，n n 1 1n2 n-11求證｛丁｝為等差數列，并求b.bn

答案一、選擇題1.A 2.B 3.B 4.B5.B 6.C 7.B8.B9.A 10.B二、填空題13.314.-115.1516.2n-12三、解答題—a+a—12，由于17.—a+a—12，由于—7「.a―5,「.d—2「.a—5+(n—3)-2―2n-1n又a=1,S1n又a=1,S1=n+ x2―n22(2)a(1-q3) S(2)a(1-q3) S-98-a1(1-q6)6 1—qS—6S3=1+q3=28得q—37所以a=——12618.解析：(I)7a=X3n-1n26設2012年坡度在25°以上的坡荒地面積為b1，經過n年綠化造林后坡荒地面積為—1.故—1.故an+1—96%a+16%b—96%a+16%(1-a)由an+1—80%a+16%—n—a+—5n由an+1—80%a+16%—n—a+—5n254——a5n4 44 4+t^,得a————(a—三).所以數列25 n+155n54{a—5}是以n+141 4a—4--1為首項,4為公比的等比數列i5 2 5II4 2 4 16 10 24因'為—>一,(一)2=>——,(一)3—5 5 5 25 25 5564125―5,an+14 414 45)n.若(-)n>60%,則(5)<2.(4)4-當>旻-2,55 62562551024625x22——< 55 5544又y-(4)x是減函數所以當1>5時,(4)n,2<-.5故至少需要5年才能使庫區的綠化面積超過60%。19.解析：(1)設等比數列U｛a｝的公比為q，則a34a8—a1a34a8—a1q2—12,—a1q73解得48,8—48,

1q=2,所以an-aqn—i—48?(-2)n—i（2）（2）Sna(1-qn)n]由S=93,得96[1-(1)n]=93,解得n=5.n 2a20a20.解析：(1)由已知b-b—logzn+1 n 2an=logq為常數.故數列弘｝為等差數列，且公差為d=logq.（先求q也可）且公差為d=logq.（先求q也可）2(2)因a>1,nb=loga>0，又b+b+b—6nb—2

1 1 21 1 3 5 3所以b5二0.Ib—b+2d—2,

由13 1 nbIb—b+4d—051—4,d—-1nS

1n9n-n2

2Id=logq=-1

由1 2 /naIb=loga=4 11 2116,q=2na(3)因a(3)因a>0,當n>9時

n所以n>9時，a>S；又可驗證n=又可驗證n=1,2是時，>S；n—3,4,5,6,7,8時，n21.解析：若q=1/.9a=2義9a11,/a豐01???矛盾/.q豐1a(1-q3)a(1-q6)a(1-q9)1-q/. + =2?—1 /.q3(2q6-q3-1)1-q丁q中0.\2q6-q3-1=0??.(2q3+1)(q3-1)=0,/q中1???2q3+1=0-3；4q= 2說明：此題易忽略q=1的情況，在等比數列求和時要分公比q=1和q豐1兩種情況進行討論。

-m+3,兩式相減得22.解析：(I)由(3-m)S+2ma-m+3得(3-m)S+-m+3,兩式相減得(3+m)a -2man+1 n3分HYPERLINK\l"bookmar