空間插值介紹簡潔明了第一頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日空間插值概念空間插值——空間插值常用于將離散點的測量數據轉換為連續的數據曲面，以便與其它空間現象的分布模式進行比較，它包括了空間內插和外推兩種算法。空間內插算法：通過已知點的數據推求同一區域未知點數據。空間外推算法：通過已知區域的數據，推求其它區域數據。

第二頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日空間插值分類整體插值、局部插值和邊界內插法；確定性插值和地統計插值；精確插值和近似插值。第三頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日1、整體插值、局部插值和邊界內插法整體插值整體插值：用研究區所有采樣點數據進行全區特征擬合。整個區域的數據都會影響單個插值點，單個數據點變量值的增加、減少或者刪除，都對整個區域有影響。典型例子是：全局趨勢面分析、FourierSeries（周期序列）第四頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日局部內插法局部內插法只使用鄰近的數據點來估計未知點的值，步驟如下：定義一個鄰域或搜索范圍；搜索落在此鄰域范圍的數據點；選擇能表達這有限個點空間變化的數學函數；為未知的數據點賦值。局部內插方法：樣條函數插值法距離倒數插值Kriging插值（空間自由協方差最佳內插）……單個數據點的改變只影響其周圍有限的數據點。第五頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日邊界內插法使用邊界內插法時，首先要假定任何重要的變化都發生在區域的邊界上，邊界內的變化則是均勻的、同質的。景觀單元法、Thiessen多邊形法、網格像元法第六頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日整體插值方法將小尺度的、局部的變化看作隨機和非結構性噪聲，從而丟失了這一部分信息。局部插值方法恰好能彌補整體插值方法的缺陷。整體插值方法通常不直接用于空間插值，而是用來檢測總趨勢和不同于總趨勢的最大偏離部分，即剩余部分，在去除了宏觀趨勢后，可用剩余殘差來進行局部插值。整體插值方法通常使用方差分析和回歸方程等標準的統計方法，計算比較簡單。其他的許多方法也可用于整體空間插值，如傅里葉級數和小波變換，特別是遙感影像分析方面，但它們需要的數據量大。整體插值注意的問題第七頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日2、確定性方法和地統計方法確定性方法確定性插值法是使用數學函數進行插值，以研究區域內部的相似性（如反距離加權插值法），或者以平滑度為基礎（如徑向基函數插值法）由已知樣點來創建預測表面的插值方法。全局多項式插值、反距離權插值、徑向基插值、局部多項式插值

第八頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日地統計學插值基于自相關性(測量點的統計關系)，根據測量數據的統計特征產生曲面；克里格方法依賴于數學模型和統計模型，正是由于引入了包括概率模型在內的統計模型，使克里格方法與確定性插值方法區分開來。在克里格方法中預測的結果將與概率聯系在一起，即用克里格方法進行插值，一方面能生成預測表面，一方面能給出預測值的誤差。由于建立在統計學的基礎上，因此不僅可以產生預測曲面，而且可以產生誤差和不確定性曲面，用來評估預測結果的好壞多種kriging方法第九頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日3、精確插值和近似插值精確插值：產生通過所有觀測點的曲面。在精確插值中，插值點落在觀測點上，內插值等于估計值。近似插值：插值產生的曲面不通過所有觀測點。當數據存在不確定性時，應該使用近似插值，由于估計值替代了已知變量值，近似插值可以平滑采樣誤差。第十頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日一般插值過程內插方法（模型）的選擇；空間數據的探索性分析，包括對數據的均值、方差、協方差、獨立性和變異函數的估計等；進行內插；內插結果評價；重新選擇內插方法，直到合理；內插生成最后結果。第十一頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日插值方法選擇的原則精確性：參數的敏感性：許多的插值方法都涉及到一個或多個參數，如距離反比法中距離的階數等。有些方法對參數的選擇相當敏感，而有些方法對變量值敏感。后者對不同的數據集會有截然不同的插值結果。希望找到對參數的波動相對穩定，其值不過多地依賴變量值的插值方法。耗時：一般情況下，計算時間不是很重要，除非特別費時。

存儲要求：同耗時一樣，存儲要求不是決定性的。特別是在計算機的主頻日益提高，內存和硬盤越來越大的情況下，二者都不需特別看重。可視化、可操作性（插值軟件選擇）：三維的透視圖等。第十二頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日插值驗證（1）交叉驗證交叉驗證法（cross－validation），首先假定每一測點的要素值未知，而采用周圍樣點的值來估算，然后計算所有樣點實際觀測值與內插值的誤差，以此來評判估值方法的優劣。各種插值方法得到的插值結果與樣本點數據比較。（2）“實際”驗證

將部分已知變量值的樣本點作為“訓練數據集”，用于插值計算；另一部分樣點“驗證數據集”，該部分站點不參加插值計算。然后利用“訓練數據集”樣點進行內插，插值結果與“訓練數據集”驗證樣點的觀測值對比，比較插值的效果。第十三頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日插值方法最近鄰法(NearestNeighbor)算術平均值(ArithmeticMean)距離反比法(InverseDistance)高次曲面插值(Multiquadric)趨勢面插值(Polynomial)最優插值(Optimal)樣條插值(SplineSurface)

徑向基函數插值(RadialBasisFunctions)克里金插值(Kriging)最小曲率(MinimumCurvature)第十四頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日一、最近鄰法(NearestNeighbor)最近鄰點法又叫泰森多邊形方法。它采用一種極端的邊界內插方法—只用最近的單個點進行區域插值（區域賦值）。泰森多邊形按數據點位置將區域分割成子區域，每個子區域包含一個數據點，各子區域到其內數據點的距離小于任何到其它數據點的距離，并用其內數據點進行賦值。第十五頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日公式第十六頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日最近鄰法評價特征：用泰森多邊形插值方法得到的結果圖變化只發生在邊界上，在邊界內都是均質的和無變化的；適用于較小的區域內，變量空間變異性也不很明顯的情況。符合人思維習慣，距離近的點比距離遠的點更相似，對插值點的影響也更明顯；最近鄰法插值的優點是不需其他前提條件，方法簡單，效率高；缺點是受樣本點的影響較大，只考慮距離因素，對其他空間因素和變量所固有的某些規律沒有過多地考慮。實際應用中，效果常不十分理想。第十七頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日二、算術平均值(ArithmeticMean)

算術平均值方法以區域內所有測值的平均值來估計插值點的變量值(Creutin,1982)。

第十八頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日算術平均值法評價

算術平均值的算法比較簡單，容易實現。但只考慮算術平均，根本沒有顧及其他的空間因素，這也是其一個致命的弱點，因而在實際應用中效果不理想。第十九頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日三、距離反比法(InverseDistance)距離反比插值方法最早由Shepard

提出(RichardFranke,1982)提出的，并逐步得到發展。每個采樣對插值結果的影響隨距離增加而減弱，因此距目標點近的樣點賦予的權重較大。第二十頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日

距離倒數乘方格網化方法是一個加權平均插值法，可以進行確切的或者圓滑的方式插值。方次參數控制著權系數如何隨著離開一個格網結點距離的增加而下降。對于一個較大的方次，較近的數據點被給定一個較高的權重份額，對于一個較小的方次，權重比較均勻地分配給各數據點。計算一個格網結點時給予一個特定數據點的權值與指定方次的從結點到觀測點的該結點被賦予距離倒數成比例。當計算一個格網結點時，配給的權重是一個分數，所有權重的總和等于1.0。當一個觀測點與一個格網結點重合時，該觀測點被給予一個實際為1.0的權重，所有其它觀測點被給予一個幾乎為0.0的權重。換言之，該結點被賦給與觀測點一致的值。這就是一個準確插值。距離倒數法的特征之一是要在格網區域內產生圍繞觀測點位置的"牛眼"。用距離倒數格網化時可以指定一個圓滑參數。大于零的圓滑參數保證，對于一個特定的結點，沒有哪個觀測點被賦予全部的權值，即使觀測點與該結點重合也是如此。圓滑參數通過修勻已被插值的格網來降低"牛眼"影響。第二十一頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日反距離權重插值綜合了泰森多邊形的自然鄰近法和多元回歸漸變方法的長處，在插值時為待估點Z值為鄰近區域內所有數據點都的距離加權平均值，當有各向異性時，還要考慮方向權重。權重函數與待估點到樣點間的距離的U次冪成反比，即隨著距離增大，權重呈冪函數遞減。且對某待估點而言，其所有鄰域的樣點數的權重和為1。決定反距離權重插值法結果的參數包括距離的U次冪值的確定，同時還取決于確定鄰近區域的所使用的方法。此外，為消除樣點數據的不均勻分布的影響，還可設置引入一個平滑參數，以保證沒有哪個樣點被賦予全部的權重，即使得插值運算時盡可能不只有一個樣點參與運算。IDW是一種全局插值法，即全部樣點都參與某一待估點的Z值的估算；IDW的適用于呈均勻分布且密集程度足以反映局部差異的樣點數據集；IDW與之前介紹的插值法的不同之處在于，它是一種精確的插值法，即插值生成的表面中預測的樣點值與實測樣點值完全相等。第二十二頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日距離反比插值公式權重系數wj的計算是關鍵問題，不同類型距離反比法的差別就是權重系數的計算公式不同，因而最后的插值結果也有細微的差別。第二十三頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日距離反比權重系數的確定第二十四頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日距離反比插值評價優點——簡便易行；可為變量值變化很大的數據集提供一個合理的插值結果；不會出現無意義的插值結果而無法解釋。不足——對權重函數的選擇十分敏感；易受數據點集群的影響，結果常出現一種孤立點數據明顯高于周圍數據點的“鴨蛋”分布模式；全局最大和最小變量值都散布于數據之中。距離反比很少有預測的特點，內插得到的插值點數據在樣點數據取值范圍內。

第二十五頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日四、高次曲面插值(Multiquadric)高次曲面插值由Hardy于1971年首先提出，隨后應用于不同的學科。每個樣點對插值點的影響都用樣點坐標函數構成的圓錐表示，插值點的變量值是所有圓錐貢獻值的總和(Caruso,1998)。插值數學表達式為：

其中ci是樣本點（xi，yi）的系數，dei是待估點（xe,ye）與樣本點（xi,yi）的距離。第二十六頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日高次曲面插值評價高次曲面插值根據變量值已知點和變量值未知點的坐標所構成的圓錐，進行插值，為從離散點構建一個連續的表面提供了一個比較優秀的插值方法。由于在計算權重系數時需要已知點的距離矩陣及其逆矩陣，因而當數據點增多時，矩陣及其逆的求解都比較費時。

第二十七頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日五、趨勢面分析通常把實際的地理曲面分解為趨勢面和剩余面兩部分，前者反應地理要素的宏觀分布規律，屬于確定性因素作用的結果；而后者則對應于微觀區域，被認為是隨機因素影響的結果。趨勢面分析的一個基本要求就是，所選擇的趨勢面模型應該是剩余值最小，而趨勢值最大，這樣擬合度精確度才能達到足夠的準確性。趨勢面分析是通過回歸分析原理，運用最小二乘法擬合一個二維非線性函數，模擬地理要素在空間上的分布規律，展示地理要素在地域空間上的變化趨勢。在數學上，擬合數學曲面要注意兩個問題：一是數學曲面類型（數學表達式）的確定，二是擬合精度的確定。第二十八頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日1、趨勢面模型的建立設某地理要素的實際觀測數據為zi（xi,yi）（i=1,2,…,n），趨勢值擬合值為，則有用來計算趨勢面的數學方程式有多項式函數和傅立葉級數，其中最常用的是多項式函數。因為任何一個函數都可以在一個適當的范圍內用多項式來逼近，而且調整多項式的次數，可使所求的回歸方程適合實際問題的需要。式中，為剩余值（殘差值）第二十九頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日2、趨勢面模型的參數估計趨勢面分析的核心就是從實際觀測值出發推算趨勢面，一般采用回歸分析方法，使得殘差平方和最小從而估計趨勢面參數。假設二維空間中有n個觀測點（xl,yl）（l=1,2,…,n），觀測值為zl（l=1,2,…,n）則空間分布z的趨勢面可表示為N次多項式根據最小二乘法，可得利用克萊姆法則可以求出各個參數ai第三十頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日多項式回歸多項式分析多項式趨勢面隨著N值的不同，其形態也不同。一般地講，N值越大，擬合精度越高。擬合精度C以下式表示，通常C為60％～70％時，該多項式就能夠揭示空間趨勢。一次多項式二次多項式三次多項式第三十一頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日3、趨勢面模型的適度檢驗趨勢面擬合適度的R2檢驗式中，為剩余平方和，它表示隨機因素對z的離差為回歸平方和，它表示p個自變量對因變量z的離差的總影響R2越大，趨勢面的擬合度就越高。第三十二頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日3、趨勢面模型的適度檢驗（續）趨勢面擬合適度的顯著性F檢驗檢驗的辦法是在顯著性水平下，查F分布表得Fa。若計算的F值大于臨界值Fa

，則認為趨勢面方程顯著；否則，不顯著。p為多項式項數（不包括常數項），第三十三頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日4、趨勢面分析應用實例序號降水量Z/mm橫坐標x/104m縱坐標y/104m127.601238.41.10.63241.80424.72.9505323.40.2655.51.81.7740.40.71.3837.50.229310.853.351031.71.653.1511532.653.11244.93.652.55上表為某流域1月份降水量與各觀測點的坐標位置數據第三十四頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日4、趨勢面分析應用實例（續）1）建立趨勢面模型運用上述介紹的趨勢面分析原理，首先采用二次多項式進行趨勢面擬合，用最小二乘法求得擬合方程為

z=5.998+17.438x+29.787y-3.558x2+0.375xy-8.070y2(R2=0.839,F=6.236)再采用三次趨勢面進行擬合，用最小二乘法求得擬合方程為

z=-48.810+37.557x+130.130y+8.389x2-33.166xy-62.740y2-4.133x3+6.138x2y+2.566xy2+9.785y3(R2=0.965,F=6.054)

第三十五頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日4、趨勢面分析應用實例（續）2）模型檢驗 （1）趨勢面擬合適度的R2檢驗。結果表明，二次趨勢面回歸模型和三次趨勢面回歸模型的顯著性都較高，而且三次趨勢面較二次趨勢面具有更高的擬合程度。 （2）趨勢面適度的顯著性F檢驗。在置信水平a＝0.05下，查F分布表得F2a＝F0.05(5,6)＝4.53,F3a＝F0.05(9,2)＝19.4。顯然，F2>F2a

，而F3<F3a，故二次趨勢面的回歸方程顯著而三次趨勢面不顯著。因此，F檢驗的結果表明，用二次趨勢面進行擬合比較合理。第三十六頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日優點和缺點優點產生平滑的曲面；結果點很少通過原始數據點，只是對整個研究曲產生最佳擬合面；缺點高次多項式在數據區外圍產生異常高值或低值第三十七頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日六、最優插值(Optimal)最優插值由Gandin首先發表，并應用在氣象領域的“對象分析(ObjectiveAnalysis)”中，隨后由世界氣象組織(WorldMeteorologicalOrganization)推薦使用。此法假設觀測變量域是二維隨機過程的實現，此外，還認為未知變量值測點的變量值是它周圍n個測點變量值的線性組合(Creutin,1982)。第三十八頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日最優插值數學表示式為：Ve是待估點的變量值，vj是點j(xj,yj)的變量值，wj是點j(xj,yj)的權重系數。

上式的插值誤差為：

var[]表示誤差方差。最優插值的權重系數，就是使插值誤差的方差最小。

第三十九頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日

最優插值過程

最優插值在計算前要求指定空間相關函數的模型及其參數，這可以由用戶給出，或者給出必要的數據，由程序計算。

第四十頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日七、樣條插值(SplineSurface)樣條插值的目標就是尋找一表面s(t)，使它滿足最優平滑原則，也就是說，利用樣本點擬合光滑曲線，使其表面曲率最小。相當于扭曲一個橡皮，使它通過所有樣點，同時曲率最小。樣條函數是靈活曲線規的數學等式，為分段函數，一次擬合只有少數數據點配準，同時保證曲線段的連接處為平滑連續曲線。這就意味著樣條函數可以修改曲線的某一段而不必重新計算整條曲線，插值速度快；保留了微地物特征，視覺上的滿意效果。第四十一頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日樣條插值插值評價不適用于在短距離內屬性有較大變化的地區，否則估計結果偏大。樣條內插的誤差不能直接估算，同時在實踐中要解決的問題是樣條塊的定義以及如何在三維空間中將這些塊拼成復雜曲面而又不至于引入原始曲面中所沒有的異常現象等問題第四十二頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日八、克里金插值(Kriging)克里金插值由南非采礦工程師D.G.克里格（D.G.Krige）于1951年首次提出，故命名為“克里金”法，后經法國著名地理數學學家G.Matheron發展深化。第四十三頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日反距離權插值方法只考慮已知樣本點與未知樣點的距離遠近，而克里格方法不僅考慮距離，而且通過變異函數和結構分析，考慮了已知樣本點的空間分布及與未知樣點的空間方位關系克里金法是一種在許多領域都很有用的地質統計格網化方法。克里金法試圖那樣表示隱含在你的數據中的趨勢，例如，高點會是沿一個脊連接，而不是被牛眼形等值線所孤立。克里金法中包含了幾個因子：變化圖模型，漂移類型和礦塊效應。地統計與確定性插值的最大區別在于，地統計插值引入了概率模型，即地統計插值認為從一個統計模型不可能完全精確地得出預測值，所以在進行預測時，應該給出預測值的誤差，即預測值在一定概率內合理。第四十四頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日前面介紹的幾個插值方法對影響插值效果的一些敏感性問題仍沒有得到很好的解決，例如趨勢面分析的控制參數和距離倒數插值方法的權重對結果影響很大，這些問題包括：--需要計算平均值數據點的數目；--搜索數據點的鄰域大小、方向和形狀如何確定；--有沒有比計算簡單距離函數更好的估計權重系數的方法；--與插值有關的誤差問題。

為解決這些問題，法國地理數學學家GeorgesMatheron和南非礦山工程師D.G.Krige研究了一種優化插值方法，用于礦山勘探。這個方法被廣泛地應用于地下水模擬、土壤制圖等領域，成為GIS軟件地理統計插值的重要組成部分。這種方法充分吸收了地理統計的思想，認為任何在空間連續性變化的屬性是非常不規則的，不能用簡單的平滑數學函數進行模擬，可以用隨機表面給予較恰當的描述。這種連續性變化的空間屬性稱為“區域性變量”，可以描述象氣壓、高程及其它連續性變化的描述指標變量。這種應用地理統計方法進行空間插值的方法，被稱為克里金（Kriging）插值。地理統計方法為空間插值提供了一種優化策略，即在插值過程中根據某種優化準則函數動態的決定變量的數值。Matheron，Krige等人研究的插值方法著重于權重系數的確定，從而使內插函數處于最佳狀態，即對給定點上的變量值提供最好的線性無偏估計。第四十五頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日Kriging插值的方法式中：z0為待插入點的值；Zx為已知點的值Wx為每個點的權重值計算Wi，按采樣點數據的半方差圖的統計分析原理來計算。第四十六頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日4、IDWvs.KrigingKriging產生似乎更自然的結果，避免異常值的產生；同時能給出標準誤差。

克里金方法是一種實用的、有效的插值方法。它之所以優于傳統方法（如三角剖分法，距離反比加權法等），在于它不僅考慮到被估點位置與已知數據位置的相互關系，而且還考慮到已知點位置之間的相互聯系，因此更能反映客觀地質規律，估值精度相對較高，是定量描述儲層的有力工具。

IDWKriging第四十七頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日九、徑向基函數插值法（RadialBasisFunction)徑向基函數適用于樣點數據集大、表面變化平緩的情況；當局部變異性大，且無法確定樣點數據的準確性，或樣點數據具很大不確定性時，不適用該技術。第四十八頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日

徑向基本函數法是多個數據插值方法的組合。根據適應你的數據和生成一個圓滑曲面的能力，其中的復二次函數被許多人認為是最好的方法。所有徑向基本函數法都是準確的插值器，它們都要為尊重你的數據而努力。為了試圖生成一個更圓滑的曲面，對所有這些方法你都可以引入一個圓滑系數。你可以指定的函數類似于克里金中的變化圖。當對一個格網結點插值時，這些個函數給數據點規定了一套最佳權重。第四十九頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日十、最小曲率法(MinimumCurvature)最小曲率插值法，非精確插值法。其插值基準是生成一個具有最小曲率（即彎曲度最小），且到各樣點的Z值的距離最小的曲面。

影響最小曲率插值法精度的參數有：最大殘差，通常允許殘差在10%-1%之間最大循環次數，與柵格大小（cellsize）有關,通常設置為生成的柵格數量的一到兩倍。第五十頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日

最小曲率法廣泛用于地球科學。用最小曲率法生成的插值面類似于一個通過各個數據值的，具有最小彎曲量的長條形薄彈性片。最小曲率法，試圖在盡可能嚴格地尊重數據的同時，生成盡可能圓滑的曲面。使用最小曲率法時要涉及到兩個參數：最大殘差參數和最大循環次數參數來控制最小曲率的收斂標準。第五十一頁，共