電磁場理論第一章第一頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日一、電磁學發展史二、該課程的基本內容三、場的基本概念四、學習的目的、方法及其要求序論第二頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日一、電磁學發展史1.電現象最早的記載：公元前600年左右（摩擦起電）2.1745年，荷蘭萊頓大學教授馬森布羅克制成了萊頓瓶，可以將電荷儲存起來，供電學實驗使用，為電學研究打下了基礎。3.1752年7月，美國著名的科學家、文學家、政治家富蘭克林（正電、負電；電荷守恒；避雷針）的風箏試驗，證實了閃電是放電現象，從此拉開了人們研究電學的序幕。第三頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日4.1753年，俄國著名的電學家利赫曼在驗證富蘭克林的實驗時，被雷電擊中，為科學探索獻出了寶貴的生命。5.1638年，在我國的某些建筑學的書籍中就有關于避雷的記載：屋頂的四角都被雕飾成龍頭的形狀，仰頭、張口，在它們的舌頭上有一根金屬芯子，其末端伸到地下，如有雷電擊中房頂，會順著龍舌引入地下，不會對房屋造成危險。6.1771~1773年間，英國科學家卡文迪許進行了大量的靜電試驗，證明在靜電情況下，導體上的電荷只分布在導體表面上。第四頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日7.1785年，法國科學家庫侖在實驗規律的基礎上，提出了第一個電學定律：庫侖定律。使電學研究走上了理論研究的道路。8.1820年，由丹麥的科學家奧斯特在課堂上的一次試驗中，發現了電的磁效應，從此將電和磁聯系在一起。9.1822年，法國科學家安培提出了安培環路定律，將奧斯特的發現上升為理論。10.1825年，德國科學家歐姆得出了第一個電路定律：歐姆定律。11.1831年，英國實驗物理學家法拉第發現了電磁感應定律。并設計了世界上第一臺感應發電機。第五頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日12、1840年，英國科學家焦耳提出了焦耳定律，揭示了電磁現象的能量特性。13、1848年，德國科學家基爾霍夫提出了基爾霍夫電路理論，使電路理論趨于完善。奧斯特的電生磁和法拉第的磁生電奠定了電磁學的基礎。14、電磁學理論的完成者---英國的物理學家麥克斯韋（1831~1879）。麥克斯韋方程組---用最完美的數學形式表達了宏觀電磁學的全部內容

。麥克斯韋從理論上預言了電磁波的存在。第六頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日15.1866年，德國的西門子發明了使用電磁鐵的發電機，為電力工業開辟了道路。16.1876年，美國貝爾發明了電話，實現了電聲通信。17.1879年，美國發明家愛迪生發明了電燈，使電進入了人們的日常生活。

18.1887年，德國的物理學家赫茲首次用人工的方法產生了電磁波。19.隨之，俄國的波波夫和意大利的馬可尼，利用電磁波通信獲得成功，開創了人類無線通信的新時代。第七頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日

矢量分析（電磁場理論的數學基礎）、場論基礎靜態場（靜電場、恒定電場與恒定磁場）基本定律、邊界條件靜態場邊值問題的求解（解析法：分離變量法、鏡像法、格林函數法、復變函數法等。數值法：有限差分法、有限元法、邊界元法等。近似解析法：逐步逼近法、微擾法、變分法、迭代變分法等。時變電磁場：在引出時變電磁場各物理量基礎上，結合法拉第電磁感應定律、麥克斯韋位移電流假說，給出普遍意義的麥克斯韋方程組。并在此基礎上研究電磁場的普遍規律、概念和表示方法。麥克斯韋方程組的應用：平面波的傳播（無界理想介質和導電介質）規律以及在無限大平面上的反射和透射規律、電磁波的輻射、波導和諧振腔等。本課程內容是今后可能會遇到的各種射頻、微波、電波傳播、通信等問題的基礎，是微波工程、通信工程、電子信息工程、電子科學與技術等工科電類專業的一門重要的技術基礎課，具有非常重要的理論意義與實際應用價值。二、該課程的主要內容第八頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日三、場的基本概念1.什么是場？重力場、溫度場、速度場、電磁場、……a.從數學角度：場是給定區域內各點數值的集合，這些數值規定了該區域內一個特定量的特性。比如：T

是溫度場中的物理量，T就是溫度場b.從物理角度：場是遍及一個被界定的或無限擴展的空間內的，能夠產生某種物理效應的特殊的物質，場是具有能量的。第九頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日2.場的分類

a.按物理量的性質分：

標量場：描述場的物理量是標量。

矢量場：描述場的物理量是矢量。

b.按場量與時間的關系分：

靜態場：場量不隨時間發生變化的場。

動態場：又稱時變場，場量隨時間變化而變化的場。第十頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日四、學習的目的、方法及其要求

1、掌握宏觀電磁場的基本屬性和運動規律2、掌握宏觀電磁場問題的基本求解方法3、了解宏觀電磁場的主要應用領域及其原理4、訓練分析問題、歸納問題的科學方法5、培養用數學解決實際問題的能力6、獨立完成作業，做好課堂筆記第十一頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日第一章矢量分析與場論基礎主要內容：

矢量的基本概念、代數運算、矢量分析、場論基礎（梯度、矢量場的散度和旋度）矢量場的Helmholtz定理第十二頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日一、矢量

標量與矢量標量：只有大小，沒有方向的物理量（溫度，高度等）矢量：既有大小，又有方向的物理量（力，速度、電場等）

矢量的表示方式注：矢量書寫時，印刷體為場量符號加粗，如。教材上符號即為印刷體。矢量可表示為：其中為其模值，表征矢量的大小；為其單位矢量，表征矢量的方向，其大小為1；1.1矢量分析所以：一個矢量就表示成矢量的模與單位矢量的乘積。第十三頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日二、矢量的運算法則1.加法:

矢量加法是矢量的幾何和，服從平行四邊形規則。a.滿足交換律：b.滿足結合律：第十四頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日三個方向的單位矢量用表示。根據矢量加法運算：所以：在直角坐標系下的矢量表示:其中：第十五頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日矢量：模的計算：單位矢量：方向角與方向余弦：在直角坐標系中三個矢量加法運算：顯然：第十六頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日2.減法：換成加法運算逆矢量：

和

的模相等，方向相反，互為逆矢量。在直角坐標系中兩矢量的減法運算：推論：任意多個矢量首尾相連組成閉合多邊形，其矢量和必為零。第十七頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日3.乘法（1）標量與矢量的乘積：（2）矢量與矢量乘積分兩種a.標量積（點積）：兩矢量點積的含義：

一矢量在另一矢量方向上的投影與另一矢量模的乘積，其結果是一標量。第十八頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日在直角坐標系中，三個坐標軸是相互正交的，即兩矢量點積：結論:

兩矢量點積等于對應分量的乘積之和。推論1：滿足交換律推論2：滿足分配律推論3：當兩個非零矢量點積為零,則這兩個矢量必正交。第十九頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日推論1：不服從交換律：推論2：服從分配律：推論3：不服從結合律：推論4：當兩個非零矢量叉積為零，則這兩個矢量必平行。b.矢量積（叉積）：含義：

兩矢量叉積，結果得一新矢量，其大小為這兩個矢量組成的平行四邊形的面積，方向為該面的法線方向，且三者符合右手螺旋法則。第二十頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日在直角坐標系中，兩矢量的叉積運算如下：兩矢量的叉積又可表示為：xyzo在直角坐標系中，三個坐標軸是相互正交的，即第二十一頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日（3）三重積：三個矢量相乘有以下幾種形式：矢量；標量與矢量相乘。標量；標量三重積：三矢量中一個和另兩個矢量的叉積相乘得到的點積。矢量；矢量三重積：三矢量中一個和另兩個向量的叉積相乘得到的叉積。a.標量三重積法則：在矢量運算中，先算叉積，后算點積。定義：含義：標量三重積結果為三矢量構成的平行六面體的體積。第二十二頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日注意：先后輪換次序。推論：三個非零矢量共面的條件:在直角坐標系中：b.矢量三重積：說明：矢量間不存在除法運算。第二十三頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日例1：已知求：垂直于、所在平面的單位矢量。解：已知所得矢量垂直于、所在平面。第二十四頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日已知A點和B點對于原點的位置矢量為和，求：通過A點和B點的直線方程。例2：

xyzCAB其中：k為任意實數。解：在通過A點和B點的直線方程上，任取一點C，對于原點的位置矢量為，則第二十五頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日三、矢量微分元：線元、面元、體元例：其中：和稱為微分元。正交曲線坐標系：

為了考察某一物理量在空間的分布和變化規律，必須引入坐標系。而且，常常根據被研究物體的幾何形狀不同而采用不同的坐標系。在電磁場理論中，用得較多的是直角坐標系、圓柱坐標系和球坐標系。任何描述三維空間的坐標系都要有三個獨立的坐標變量u1,u2,u3,而u1,u2,u3

均為常數時，就代表三組曲面（或平面），稱為坐標面。若三組坐標面在空間每一點正交，則坐標面的交線（一般是曲線）也在空間每點正交，這種坐標系叫做正交曲線坐標系。直角坐標系、圓柱坐標系和球坐標系是許多正交曲線坐標系中較常用的三種。第二十六頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日體元：線元：面元：

在正交曲線坐標系中，其坐標變量不一定都是長度，其線元必然有一個修正系數，這些修正系數稱為拉梅系數（Lame)，若已知正交坐標系的拉梅系數，就可正確寫出其線元、面元和體元。第二十七頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日1.直角坐標系在直角坐標系中，坐標變量為(x,y,z)，如圖，做一微分體元。線元：面元：體元：第二十八頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日2.圓柱坐標系在圓柱坐標系中，坐標變量為，如圖，做一微分體元。線元：面元：體元：第二十九頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日3.球坐標系在球坐標系中，坐標變量為，如圖，做一微分體元。線元：面元：體元：第三十頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日

坐標變換圓柱坐標系與直角坐標系間單位矢量變換關系球面坐標系與直角坐標系間單位矢量變換關系第三十一頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日a.在直角坐標系中，x,y,z均為長度量，其拉梅系數均為1，即：b.在柱坐標系中，坐標變量為,其中為角度，其對應的線元，可見拉梅系數為：在球坐標系中，坐標變量為，其中均為角度，其拉梅系數為：注意：第三十二頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日一、場的概念及分類物理量（如溫度、電場、磁場）在空間中以某種形式分布，若每一時刻每個位置該物理量都有一個確定的值，則稱在該空間中確定了該物理量的場。如電荷在其周圍空間激發的電場，電流在周圍空間激發的磁場等。從數學上看，場是定義在空間區域上的函數。

1.2場a.場的概念第三十三頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日b.場的分類1、按物理量的性質標量場（數量場）：在指定時刻，空間每一點可以用一個標量唯一地描述。物理量為標量（溫度場,電位場）矢量場：在指定時刻，空間每一點可以用一個失量唯一地描述。物理量為矢量（電場、磁場）

2、按物理量變化特性靜態場：物理量不隨時間的變化而變化時變場（動態場）：物理量隨時間的變化而變化第三十四頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日二.標量場的等值面（線）

由所有場值相等的點所構成的面(線)，即為等值面(線)，如等溫線、等高線、等壓面、等相位面。即若標量函數為，則等值面方程為：

給常數c以不同的數值，就得到不同的等值面。這族等值面充滿了標量場所在的空間，且互不相交。

標量場的等值面可以直觀地幫助了解場中物理量的分布情況。熱源等溫面第三十五頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日三.矢量場的矢量線+-

1矢量場與矢量線

在確定空間區域上的每一點有確定矢量與之對應，則稱該空間區域上定義了一個矢量場。為了描述矢量場的方向和數值，可以直接用矢量的數值和方向來表示矢量場，用矢量線可以形象的描述矢量場分布。在矢量場中，若一條曲線上每一點的切線方向與場矢量在該點的方向重合，則該曲線稱為矢量線。例：靜電場的電力線、磁場的磁力線、流速場中的流線等。

矢量線能夠描述矢量場在空間的方向，但不能夠定量描述矢量場的大小。矢量線方程：第三十六頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日1.3標量場的方向導數和梯度1方向導數在實際應用中不僅需要宏觀上了解場在空間的數值，還需要知道場在不同方向上變化的情況。方向導數可以描述標量場在空間某個方向上變化的情況。空間變化率，稱為方向導數。為最大的方向導數。2標量場的梯度

在場的某一點上，場沿不同方向上變化率的大小（方向導數）是不同的，必然存在一個變化最大的方向。定義：場變化最大的方向為標量場梯度方向，最大變化率為標量場梯度值。梯度描述了空間某點處標量場隨位置變化的規律。第三十七頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日為的方向余弦，即該方向的單位矢量為第三十八頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日令，因此，有

在給定點是一固定矢量。因此上式表示當方向與一致時，方向導數取得最大值。表面矢量的方向就是函數u變化率最大的方向，其模就是這個最大變化率的數值。由梯度定義知哈密頓算符第三十九頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日

正交坐標系下梯度的表示法

球面坐標系

柱面坐標系

直角坐標系

正交坐標系第四十頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日?標量場的梯度是矢量場，它在空間某點的方向表示該點場變化最大的方向，其數值表示該方向上場的空間變化率。?標量場在某個方向上的方向導數，是該點梯度在該方向上的投影。?

標量場的梯度函數建立了標量場與矢量場的聯系，這一聯系使得某一類矢量場可以通過標量函數來研究，或者說標量場可以通過矢量場來研究。?

標量場的梯度垂直于通過該點的等值面（或切平面）并指向場增大的方向。3梯度的性質第四十一頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日4梯度的基本運算公式第四十二頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日例3

已知證明：第四十三頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日1.4矢量場的通量和散度例如：在電場中，電通量：

在磁場中，磁通量：為了克服矢量線不能定量描述矢量場大小的問題，引入通量和散度的概念。1矢量場的通量設有一矢量場

，在場中任取面元，則

稱為穿過

的通量。矢量場穿過曲面的通量為曲面上所有小面元上通量的疊加：

面元矢量定義：面積很小的有向曲面：面元面積，其值可認為無限小；：面元法線方向單位矢量，垂直于面元平面。第四十四頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日閉合曲面通量物理意義：穿入和穿出閉合面的通量代數和。如果曲面是閉合的，并規定曲面法線方向由閉合曲面內指向外，矢量場對閉合曲面的通量：

通過閉合面的通量的三種可能結果

若，表示通過閉合曲面有凈的矢量線流出，意味著閉合面內存在正的通量源。

若，表示通過閉合曲面有凈的矢量線流入，意味著閉合面內存在負源或稱溝。

若，表示流入和流出閉合曲面的矢量線相等或沒有矢量線流入、流出閉合曲面（正源負源代數和為零或無源）。

閉合曲面的通量從宏觀上建立了矢量場通過閉合曲面的通量與曲面內產生矢量場的源的關系。第四十五頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日2

矢量場的散度物理上的場(矢量場，標量場）都是相應源作用的結果。矢量場通過閉合曲面通量的三種可能結果與閉合曲面內有無產生矢量場的源直接相關。為了定量研究場與源之間的關系，需建立場空間任意點（小體積元）的通量源與矢量場（小體積元曲面的通量）的關系。利用極限方法得到這一關系：稱為矢量場的散度。因此矢量場中某點的散度是矢量場通過包含該點的任意閉合小曲面的通量與曲面元所圍體積之比的極限。矢量場中某點的通量體密度稱為該點的散度。第四十六頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日

若處處成立，則該矢量場稱為無源場。

散度的物理意義

矢量場的散度表征了矢量場的通量源的分布特性

矢量場的散度是一個標量

矢量場的散度是空間坐標的函數

矢量場的散度值表征空間中通量源的密度

若，則該矢量場稱為有源場，為源密度。

討論：在矢量場中(

正源)（

負源)(

處處成立，無源）

第四十七頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日

在直角坐標系中，如圖做一封閉曲面，該封閉曲面由六個平面組成:(x=x1,y=y1,z=z1,x=x1+Δx,y=

y1+Δy,z=z1+Δz)

。矢量場表示為：

散度的計算在x方向上：計算穿過和面的通量為因為：則有x方向上的總通量：第四十八頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日整個封閉曲面的總通量：同理：在y方向上,穿過和面的總通量：在z方向上,穿過和面的總通量：該閉合曲面所包圍的體積：通常散度表示為：第四十九頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日

直角坐標系下：圓柱坐標系下：

正交坐標系下散度的表示法正交曲線坐標系：球坐標系下：第五十頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日散度定理的證明：3散度定理（矢量場的高斯定理）物理含義：矢量場穿過一封閉曲面的總通量等于矢量散度在封閉面所圍體積上的積分。直接從散度的定義出發，不難得到矢量場在空間任意閉合曲面的總通量等于散度在該閉合曲面所包圍體積上的積分。從散度定義有：則在一定體積V內的總的通量為：得證！高斯散度定理是場論中的重要定理，在后面的學習中經常要用到這種矢量場的積分變換關系。第五十一頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日6散度的有關公式第五十二頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日1、矢量場的環量

環量意義：若矢量場環量不為零，則回路所圍面積中存在產生矢量場的漩渦源。（如，磁場強度沿閉合路徑的環量等于穿過以閉合路徑為邊界曲面的總電流，電流就是產生這個環量的旋渦源）。若環量為零，則并不能說明回路所圍面積內無漩渦源。1.5矢量場的環量和旋度環量的大小、正負與矢量場

的分布以及所取積分環量方向有關。不是所有的矢量場都由通量源激發。存在另一類不同于通量源的矢量源，它所激發的矢量場的力線是閉合的，它對于任何閉合曲面的通量為零。但場在所定義的空間中閉合路徑的積分不為零。為了描述這類場與源的關系，引入環量與旋度的概念。在矢量的場中，矢量沿某一有向閉合曲線的線積分，稱為該矢量沿此閉合曲線的環量。即：式中，是閉合積分路徑上任一點的矢量；是該路徑上的切向長度元矢量，方向取決于閉合曲線的環繞方向；θ為與的夾角，如圖所示。物理意義：力（力沿閉合路徑作的功）；電場強度（繞閉合路徑的電動勢）。第五十三頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日2、環量密度M為了研究矢量在場中某點M的環量特征，引入環量密度的概念，定義：在矢量場中，任取一點M，過M作面元，其法線方向單位矢量為，法線方向與面元周界成右手螺旋，若存在，則稱此極限為矢量場在M點對方向的環量密度。顯然，過M點可以作不同方向的面元，從而可以得到矢量場在M點對不同方向的環量密度。它們的大小也不相同。3、矢量場的旋度由于矢量場在點M處的環量密度與面元的法線方向有關，在某一方向上環量密度可能取得最大值，為了描述這種分布狀態，引入旋度概念。

定義：矢量場的旋度是個矢量，大小為最大的環量密度，方向是取最大環量密度時的法線方向。

這樣，場在該點其它方向的環量密度就等于旋度在該方向上的投影。第五十四頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日以直角坐標系為例，一旋度矢量可表示為：場矢量：其中：為x方向的環量密度。旋度可用符號表示：

旋度的計算投影面：由y1,y1+Δy,z1,z1+Δz四條線圍成。第五十五頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日其中：可得：同理：所以：旋度公式：第五十六頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日為了便于記憶，將旋度的計算公式寫成下列形式:類似地，可以推導出在廣義正交坐標系中旋度的計算公式：

對于柱坐標、球坐標，根據其拉梅系數，請同學們自行寫出旋度的計算公式。第五十七頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日

旋度的物理意義

矢量的旋度為矢量，是空間坐標的函數；

矢量在空間某點處的旋度表征矢量場在該點處的漩渦源密度；

若矢量場空間有一點旋度不為零，則稱該場為有旋場；

若矢量場空間所有點旋度均為零，則稱該場為無旋場（保守場）；物理含義：一個矢量場旋度的面積分等于該矢量沿此曲面周界的曲線積分。4、斯托克斯定理第五十八頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日5旋度的有關公式第五十九頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日小結1、散度（流出的量）

通量源

通量即該向量(垂直平面分量)穿過平面的大小散度不為0的點表示該點有源(source)存在

散度是標量，物理意義為通量源密度，可以從高斯公式理解散度處處為零，說明是無源場；散度不為零時，則說明是有源場（有正源或負源）2、旋度（沒有流出的量）

旋渦源

旋度數值即該向量(平行平面分量)在某點的最大環量密度(即環量大小/面積)。

旋度是矢量；物理意義為環量密度，可以從斯托克斯公式理解旋度處處為零，說明是無旋場；旋度不為零時，則說明是有旋場矢量場第六十頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日1.6矢量場的亥姆霍茲(Helmholtz)定理現在我們必需考慮如下問題：（1）矢量場除有散和有旋特性外，是否存在別的特性？（2）是否存在不同于通量源和旋渦源的其它矢量場的激勵源？（3）如何唯一的確定一個矢量場？前面我們介紹了矢量分析中的一些基本概念和運算方法。其中標量場的梯度和矢量場的散度、旋度都是場性質的重要量度。一個標量場的性質完全可以由它的梯度來表明，那么一個矢量場所具有的性質是否可完全由它的散度和旋度來表明呢？第六十一頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日1、亥姆霍茲定理

在有限區域內，任意矢量場由矢量場的散度、旋度和邊界條件（即矢量場在有限區域邊界上的分布）唯一確定，并且可以表示為一無旋矢量場和一無散矢量場的疊加，即：其中，為無散場，為無旋場。Helmholtz定理明確回答了上述三個問題。即任一矢量場由兩個部分構成，其中一部分是無散場，由旋渦源激發，并且滿足：另一部分是無旋場，由通量源激發，滿足：第六十二頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日2、矢量場的分類根據矢量場的散度和旋度值是否為零進行分類：

調和場注意：不存在在整個空間內散度和旋度均處處為零的矢量場。

若矢量場在某區域V內，處處有：和則在該區域V內，場為調和場。

有源無旋場討論：由于旋度為零，由斯托克斯定理

若矢量場在某區域V內，處處，但在某些位置或整個空間內，有，則稱在該區域V內，場為有源無旋場。結論：有源無旋場