～2022學年高三第一學期期中試卷數(shù)學(滿分：150分考試時間：120分鐘)2021．11一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的．1.已知集合M＝[－1，1]，N＝{x|x2－2x≤0}，則M∪N＝()A.[－1，1]B.[0，1]C.[－1，2]D.[－1，0]2.設f(x)＝x＋eq\f(9,x)(x∈R)，則“x＞0”是“f(x)＞6”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件3.若復數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)滿足z·z＝z2，則()A.a＝0，b≠0B.a≠0，b＝0C.a＝0D.b＝04.已知數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＋1＝aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(n))，則a6＝()A.220B.224C.21024D.240965.下列向量一定與向量eq\f(a,|a|)－eq\f(b,|b|)垂直的是()A.eq\f(a,|a|)＋eq\f(b,|b|)B.eq\f(a,|b|)－eq\f(b,|a|)C.a＋bD.a－b6.已知sin(2θ－eq\f(π,6))＝－eq\f(1,3)，θ∈(0，eq\f(π,2))，則sin(θ＋eq\f(π,6))＝()A.eq\f(\r(6),3)B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(\r(2),3)D.eq\f(1,3)7.若函數(shù)y＝sin2x與y＝sin(2x＋φ)在(0，eq\f(π,4))上的圖象沒有交點，其中φ∈(0，2π)，則φ的取值范圍是()A.[π，2π)B.[eq\f(π,2)，π]C.(π，2π)D.[eq\f(π,2)，π)8.函數(shù)f(x)＝lnx－eq\f(m（x－1）,x＋1)的零點最多有()A.4個B.3個C.2個D.1個二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．每小題給出的四個選項中，都有多個選項是正確的，全部選對的得5分，選對但不全的得2分，選錯或不答的得0分．9.設等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則下列數(shù)列一定是等比數(shù)列的有()A.a1＋a2，a2＋a3，a3＋a4，…B.a1＋a3，a3＋a5，a5＋a7，…C.S2，S4－S2，S6－S4，…D.S3，S6－S3，S9－S6，…10.如圖，點A是單位圓O與x軸正半軸的交點，點P是圓O上第一象限內(nèi)的動點，將點P繞原點O逆時針旋轉eq\f(π,3)至點Q，則eq\o(OA,\s\up6(→))·(eq\o(OQ,\s\up6(→))－eq\o(OP,\s\up6(→)))的值可能為()A.－1B.－eq\f(\r(3),2)C.－eq\f(\r(2),2)D.－eq\f(1,2)11.已知函數(shù)f(x)＝eq\r(1＋cosx)＋eq\r(1－cosx)，下列說法正確的有()A.函數(shù)f(x)是偶函數(shù)B.函數(shù)f(x)的最小正周期為2πC.函數(shù)f(x)的值域為(1，2]D.函數(shù)f(x)圖象的相鄰兩對稱軸間的距離為eq\f(π,2)12.若正實數(shù)x，y滿足lny－lnx＞y－x＞siny－sinx，則下列不等式可能成立的有()A.0＜x＜1＜yB.y＞x＞1C.0＜y＜x＜1D.0＜x＜y＜1三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.若奇函數(shù)f(x)與偶函數(shù)g(x)滿足f(x)＋g(x)＝2x，則g(2)＋g(－2)＝________．14.試寫出一個先減后增的數(shù)列{an}的通項公式：an＝________．15.若一個三角形的三邊長分別為a，b，c，設p＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)，則該三角形的面積S＝eq\r(p（p－a）（p－b）（p－c）)，這就是著名的“秦九韶－海倫公式”．若△ABC的周長為8，AB＝2，則該三角形面積的最大值為________．16.函數(shù)f(x)＝ln(1＋x)在x＝0處的切線方程為____________．由導數(shù)的幾何意義可知，當x無限接近于0時，eq\f(ln（1＋x）,x)的值無限接近于1.于是，當x無限接近于＋∞時，(1＋eq\f(2,x))x的值無限接近于________．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.(本小題滿分10分)已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，0＜φ＜eq\f(π,2))的圖象Γ與y軸交點的縱坐標為eq\f(\r(3),2)，Γ在y軸右側的第一個最高點的橫坐標為eq\f(π,12).(1)求f(x)的解析式；(2)求f(x)在[0，eq\f(π,2)]上的值域．18.(本小題滿分12分)已知數(shù)列{an}是首項為1－2i(i為虛數(shù)單位)的等差數(shù)列，a1，eq\r(5)，a3成等比數(shù)列．(1)求{an}的通項公式；(2)設{an}的前n項和為Sn，求|S10|.

19.(本小題滿分12分)在△ABC中，點D在邊BC上，AD為∠A的角平分線，AC＝AD＝eq\r(10)，CD＝2.(1)求sin∠BAC的值；(2)求邊AB的長．20.(本小題滿分12分)已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(2n＋1（an＋1），,n＝2k－1，k∈N*，,\f(an,2n)＋1，,n＝2k，k∈N*.)))(1)求證：a2n＋1－a2n－1＝2；(2)設bn＝a2n－1＋eq\f(a2n,2n)，求{bn}的前n項和Sn.

21.(本小題滿分12分)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a＝cosB，b＝cosA.(1)求證：存在△ABC，使得c＝1；(2)求△ABC面積S的最大值．

22.(本小題滿分12分)設函數(shù)f(x)＝ex－x2＋mln(x＋2)－2.(1)求證：當m＝0時，f(x)＞0在x∈(2，＋∞)上總成立；(2)求證：不論m為何值，函數(shù)f(x)總存在零點．

2021～2022學年高三第一學期期中試卷(鹽城)數(shù)學參考答案及評分標準1.C2.B3.D4.C5.A6.B7.A8.B9.BD10.ABC11.AD12.AD13.eq\f(17,4)14.|n－2|(答案不唯一)15.2eq\r(2)16.y＝xe217.解：(1)因為函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)的圖象Γ與y軸交點的縱坐標為eq\f(\r(3),2)，所以sinφ＝eq\f(\r(3),2)，又0<φ<eq\f(π,2)，所以φ＝eq\f(π,3).(3分)因為f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的圖象Γ在y軸右側的第一個最高點的橫坐標為eq\f(π,12)，所以ω×eq\f(π,12)＋φ＝eq\f(π,2)，得ω＝2，則f(x)的解析式為f(x)＝sin(2x＋eq\f(π,3)).(6分)(2)因為x∈[0，eq\f(π,2)]，所以2x＋eq\f(π,3)∈[eq\f(π,3)，eq\f(4π,3)]，所以sin(2x＋eq\f(π,3))∈[－eq\f(\r(3),2)，1]，即f(x)在[0，eq\f(π,2)]上的值域為[－eq\f(\r(3),2)，1].(10分)18.解：(1)∵a1，eq\r(5)，a3成等比數(shù)列，a1＝1－2i，∴eq\f(\r(5),1－2i)＝eq\f(a3,\r(5))，∴a3＝eq\f(5,1－2i)＝1＋2i.(2分)設{an}的公差為d，則a3－a1＝(1＋2i)－(1－2i)＝4i＝2d，∴d＝2i，(4分)則an＝a1＋(n－1)d＝1－2i＋(n－1)×2i＝1＋(2n－4)i，即{an}的通項公式為an＝1＋(2n－4)i.(6分)(2)S10＝10a1＋eq\f(10×9,2)d＝10(1－2i)＋eq\f(10×9,2)×2i＝10＋70i，(9分)∴|S10|＝eq\r(102＋702)＝50eq\r(2).(12分)19.解：(1)在△ADC中，cos∠DAC＝eq\f(AD2＋AC2－DC2,2AD·AC)＝eq\f(4,5).∵sin2∠DAC＋cos2∠DAC＝1，sin∠DAC>0，∴sin∠DAC＝eq\f(3,5).(3分)又AD為∠A的角平分線，∴sin∠BAC＝sin2∠DAC＝2sin∠DAC·cos∠DAC＝eq\f(24,25).(6分)(2)(解法1)在△ABC中，∵S△ABC＝S△ABD＋S△ADC，即eq\f(1,2)AB·AC·sin∠BAC＝eq\f(1,2)AB·AD·sin∠BAD＋eq\f(1,2)AD·AC·sin∠DAC，(9分)∴eq\f(1,2)AB×eq\r(10)×eq\f(24,25)＝eq\f(1,2)AB×eq\r(10)×eq\f(3,5)＋eq\f(1,2)×eq\r(10)×eq\r(10)×eq\f(3,5)，∴AB＝eq\f(5\r(10),3).(12分)(解法2)在△ADC中，cos∠ADC＝eq\f(DA2＋DC2－AC2,2DA·DC)＝eq\f(\r(10),10)，∴cos∠ADB＝cos(π－∠ADC)＝－cos∠ADC＝－eq\f(\r(10),10).∵AD為∠A的角平分線，∴eq\f(AB,AC)＝eq\f(BD,DC)，即eq\f(AB,\r(10))＝eq\f(BD,2)，∴BD＝eq\f(\r(10),5)AB.(9分)在△ADB中，AB2＝DA2＋DB2－2DA·DB·cos∠ADB，即AB2＝10＋(eq\f(\r(10),5)AB)2－2eq\r(10)×eq\f(\r(10),5)AB×(－eq\f(\r(10),10))，∴AB＝eq\f(5\r(10),3).(12分)(解法3)求出sinB與sin∠ADB，在△ADB中用正弦定理即得，參照評分．20.(1)證明：∵a2n＋1＝eq\f(a2n,22n)＋1，a2n＝22n(a2n－1＋1)，∴a2n＋1＝eq\f(a2n,22n)＋1＝eq\f(22n（a2n－1＋1）,22n)＋1，∴a2n＋1＝a2n－1＋2，即a2n＋1－a2n－1＝2.(4分)(2)解：由(1)可知數(shù)列{an}的奇數(shù)項成等差數(shù)列，∴a2n－1＝a1＋(n－1)·2＝2n－1，∴a1＋a3＋…＋a2n－1＝1＋3＋…＋(2n－1)＝n2.(7分)又a2n＝22n(a2n－1＋1)＝2n·22n，∴eq\f(a2n,2n)＝22n＝4n，∴數(shù)列{eq\f(a2n,2n)}成等比數(shù)列，∴eq\f(a2,2)＋eq\f(a4,4)＋…＋eq\f(a2n,2n)＝4＋42＋…＋4n＝eq\f(4（1－4n）,1－4)＝eq\f(4n＋1－4,3)，∴Sn＝n2＋eq\f(4n＋1－4,3).(12分)21.(解法1)(1)證明：因為a＝cosB，b＝cosA，由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，得eq\f(cosB,sinA)＝eq\f(cosA,sinB).所以sinAcosA＝sinBcosB，即sin2A＝sin2B.(2分)在△ABC中，A，B∈(0，π)，且A＋B<π，所以2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝eq\f(π,2).當A＋B＝eq\f(π,2)時，C＝eq\f(π,2)，所以c2＝cos2A＋cos2B＝cos2A＋sin2A＝1，即c＝1，所以存在△ABC，使得c＝1.(5分)(2)解：①當A＋B＝eq\f(π,2)時，S△ABC＝eq\f(1,2)cosAcosB＝eq\f(1,2)sinAcosA＝eq\f(1,4)sin2A≤eq\f(1,4)；(8分)②當A＝B時，S△ABC＝eq\f(1,2)cos2Asin(π－2A)＝eq\f(1,2)cos2Asin2A＝sinAcos3A，所以Seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(△ABC))＝sin2Acos6A＝(1－cos2A)cos6A.(9分)令x＝cos2A∈(0，1)，則Seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(△ABC))＝f(x)＝(1－x)x3，所以f′(x)＝－x3＋3(1－x)x2＝x2(3－4x)，當x∈(0，eq\f(3,4))時，f′(x)＞0；當x∈(eq\f(3,4)，1)時，f′(x)＜0，所以當x＝eq\f(3,4)時，f(x)max＝f(eq\f(3,4))＝eq\f(33,44)，即當cos2A＝eq\f(3,4)，A＝eq\f(π,6)時，(S△ABC)max＝eq\f(3\r(3),16).又eq\f(3\r(3),16)＞eq\f(1,4)，所以△ABC面積的最大值為eq\f(3\r(3),16).(12分)(解法2)(1)證明：當a＝eq\f(1,2)，b＝eq\f(\r(3),2)，c＝1時滿足條件，故存在△ABC，使得c＝1.(5分)(注：滿足a2＋b2＝1即可，滿足C＝eq\f(π,2)也可)(2)解：因為a＝cosB，b＝cosA，由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，得eq\f(cosB,sinA)＝eq\f(cosA,sinB)，所以sinAcosA＝sinBcosB，即sin2A＝sin2B.(7分)在△ABC中，A，B∈(0，π)，且A＋B＜π，所以2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝eq\f(π,2).①當A＋B＝eq\f(π,2)時，S△ABC＝eq\f(1,2)cosAcosB＝eq\f(1,2)sinAcosA＝eq\f(1,4)sin2A≤eq\f(1,4)；(8分)②當A＝B時，S△ABC＝eq\f(1,2)cos2Asin(π－2A)＝eq\f(1,2)cos2Asin2A＝sinAcos3A，所以Seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(△ABC))＝sin2Acos6A＝(1－cos2A)cos6A.(9分)令x＝cos2A∈(0，1)，則Seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(△ABC))＝f(x)＝(1－x)x3，所以f′(x)＝－x3＋3(1－x)x2＝x2(3－4x)，當x∈(0，eq\f(3,4))時，f′(x)＞0；當x∈(eq\f(3,4)，1)時，f′(x)＜