微積分第二章極限與連續(xù)第一頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六I第二章極限與連續(xù)到了16世紀(jì)，荷蘭數(shù)學(xué)家斯泰文在考察三角形重心的過(guò)程中改進(jìn)了古希臘人的窮竭法，他借助幾何直觀，大膽地運(yùn)用極限思想思考問(wèn)題，放棄了歸繆法的證明。如此，他就在無(wú)意中“指出了把極限方法發(fā)展成為一個(gè)實(shí)用概念的方向”。極限思想的進(jìn)一步發(fā)展是與微積分的建立緊密相聯(lián)系的。16世紀(jì)的歐洲處于資本主義萌芽時(shí)期，生產(chǎn)力得到極大的發(fā)展，生產(chǎn)和技術(shù)中大量的問(wèn)題，只用初等數(shù)學(xué)的方法已無(wú)法解決，要求數(shù)學(xué)突破只研究常量的傳統(tǒng)范圍，而提供能夠用以描述和研究運(yùn)動(dòng)、變化過(guò)程的新工具，這是促進(jìn)極限發(fā)展、建立微積分的社會(huì)背景。2023/5/292第二頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六I第二章極限與連續(xù)起初牛頓和萊布尼茨以無(wú)窮小概念為基礎(chǔ)建立微積分，后來(lái)因遇到了邏輯困難，所以在他們的晚期都不同程度地接受了極限思想。當(dāng)時(shí)缺乏嚴(yán)格的極限定義，微積分理論才受到人們的懷疑與攻擊。到了18世紀(jì)，羅賓斯、達(dá)朗貝爾與羅依里埃等人先后明確地表示必須將極限作為微積分的基礎(chǔ)概念，并且都對(duì)極限作出過(guò)各自的定義。到了19世紀(jì)，法國(guó)數(shù)學(xué)家柯西在前人工作的基礎(chǔ)上，比較完整地闡述了極限概念及其理論。2023/5/293第三頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六二章極限與連續(xù)我國(guó)春秋戰(zhàn)國(guó)時(shí)期的哲學(xué)名著《莊子》記載著惠施的一句名言“一尺之錘，日取其半，萬(wàn)事不竭。”也就是說(shuō)，從一尺長(zhǎng)的竿，每天截取前一天剩下的一半，隨著時(shí)間的流逝，竿會(huì)越來(lái)越短，長(zhǎng)度越來(lái)越趨近于零，但又永遠(yuǎn)不會(huì)等于零。這更是從直觀上體現(xiàn)了極限思想。

因此，極限是事物發(fā)展的一中趨勢(shì)，只需要無(wú)限接近即可，不必相等。因此，在這一章里,我們將建立極限的基本概念，討論極限的基本性質(zhì)與計(jì)算方法,在此基礎(chǔ)上介紹連續(xù)函數(shù)的概念和閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì).2023/5/294第四頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六第二章、極限與連續(xù)第一節(jié)：數(shù)列的極限一.數(shù)列概念二.數(shù)列極限三．?dāng)?shù)列極限的性質(zhì)第五頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六一.數(shù)列概念定義2.1是定義在正整數(shù)集合上的函數(shù),當(dāng)自變量n按正整數(shù)的順序取值時(shí),稱函數(shù)值相應(yīng)排列成的一串?dāng)?shù)為數(shù)列,簡(jiǎn)記為{f(n)},f(n)叫做數(shù)列的一般項(xiàng)(或通項(xiàng)).數(shù)列中的每個(gè)數(shù)叫做數(shù)列的項(xiàng),第n項(xiàng)例1：例2：例3：I第二章極限與連續(xù)2023/5/296第六頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六數(shù)0,此時(shí),我們就說(shuō)數(shù)列{yn

}以0為極限.二.數(shù)列極限對(duì)于數(shù)列{yn},我們需要研究的問(wèn)題是:當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)(記為n→∞),數(shù)列的一般項(xiàng)

yn

的變化趨勢(shì).特別地,當(dāng)n無(wú)限增大時(shí),如果

yn能與某個(gè)確定的常數(shù)a無(wú)限接近,則稱常數(shù)a為數(shù)列{yn}當(dāng)

n→∞時(shí)的極限.,不難看出,當(dāng)n→∞時(shí),yn

無(wú)限地趨近于常考察數(shù)列與常數(shù)0的接近程度可用2023/5/297I第二章極限與連續(xù)第七頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六無(wú)論給定多么小的正數(shù),在n無(wú)限增大的變化過(guò)程中,總有那么一個(gè)時(shí)刻N(yùn),在這個(gè)時(shí)刻以后（即n>N或n充分大以后）,由此可見,對(duì)于數(shù)列都小于那個(gè)正數(shù).2023/5/298I第二章極限與連續(xù)第八頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六要使則當(dāng)n>10時(shí),都能滿足與0的距離小于

即對(duì)于第10項(xiàng)

若再取一個(gè)更小的正數(shù)

要使則當(dāng)n>100時(shí),即自第100項(xiàng)后的任一項(xiàng)y101,y102,…都滿足ε來(lái)表示.若令小于某個(gè)正數(shù)y11,y12,

…都能滿足以后的任一項(xiàng)2023/5/299I第二章極限與連續(xù)第九頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六意給定的,總存在正整數(shù)N,當(dāng)n>N時(shí),不等式如果不存在這樣的常數(shù),則稱數(shù)列{yn}沒(méi)有極限,或者稱數(shù)列{yn}是發(fā)散的.定義2.2設(shè){yn}為一數(shù)列,如果存在常數(shù)對(duì)于任恒成立,則稱常數(shù)是數(shù)列{yn}當(dāng)n趨于無(wú)窮大時(shí)的極限,或稱{yn}收斂于記為2023/5/2910I第二章極限與連續(xù)第十頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六例1:用極限定義證明：證明

對(duì)任意給定的,要使不等式當(dāng)n>N時(shí),恒有故成立,只需則對(duì)于任意給定的

即可.若取2023/5/2911I第二章極限與連續(xù)第十一頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六

注

(1)在數(shù)列極限定義中,ε可以任意給定是很重要的,如果讓正數(shù)ε任意小,則不等式充分表達(dá)出yn與a無(wú)限接近的意思.(2)正整數(shù)N與ε有關(guān),隨著ε的給定而可選定.(3)數(shù)列極限定義只能驗(yàn)證某一個(gè)數(shù)是否為數(shù)列的極限,但不能用于求數(shù)列的極限.2023/5/2912I第二章極限與連續(xù)第十二頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六證明對(duì)任意給定的ε>0,要使不等式成立,只需則當(dāng)n>N時(shí),恒有例2用極限定義證明：根據(jù)數(shù)列極限的定義：2023/5/2913I第二章極限與連續(xù)第十三頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六2023/5/29I第二章極限與連續(xù)14成立.第十四頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六三．?dāng)?shù)列極限的性質(zhì)

定理2.1.1(極限的唯一性)

如果數(shù)列{yn}收斂,則其極限唯一.定理2.1.2(有界性)

如果數(shù)列{yn}收斂,則{yn}一定有界.

注

上述定理的逆不成立.數(shù)列有界是數(shù)列收斂的必要條件,有界數(shù)列不一定收斂.例如

定理2.1.3(保號(hào)性)

如果,且則存在正整數(shù)N,當(dāng)時(shí),恒有第十五頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六§2.2函數(shù)的極限一.函數(shù)極限的概念二.函數(shù)極限的性質(zhì)第十六頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六一.函數(shù)極限的概念在§2.1中,我們討論了特殊函數(shù)─數(shù)列{f(n)}的極限,現(xiàn)在我們來(lái)討論一般函數(shù)f(x)的極限.由于一般函數(shù)

f(x)中的自變量x

的變化趨勢(shì)通常可分為“x→∞”和“x→x0”兩種,所以我們將分兩種情況分別予以討論.第十七頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六1.當(dāng)

x→∞時(shí),函數(shù)?(x)的極限仿照數(shù)列極限的定義,下面我們給出x→∞時(shí),?(x)的極限的定義.定義2.3設(shè)函數(shù)

?(x)當(dāng)大于某一正數(shù)時(shí)有定義，如果存在常數(shù)A,對(duì)于任意給定的,總存在使得當(dāng)x滿足不等式

時(shí),不等式恒成立,則稱常數(shù)

A為當(dāng)x→∞時(shí)函數(shù)?(x)的極限,或稱當(dāng)x→∞時(shí)?(x)

收斂于A,記作（當(dāng)

x→∞

）或第十八頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六例1證明證明第十九頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六如果把上面定)

那么只要且無(wú)限增大(記作就可得義中的改為的定義.同樣,而無(wú)限增大(記作)

那么只要把便得的定義.改為由定義2.2.1可以證明：的充要條件是第二十頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六定義2.4設(shè)函數(shù)?(x)在x0

的某個(gè)去心鄰域內(nèi)有定義,如2.時(shí),函數(shù)?(x)的極限果存在常數(shù)A,恒成立,則稱常數(shù)A為當(dāng)x→x0

時(shí)函數(shù)?(x)的極限.記為注表示?(x)在點(diǎn)x0是否有定義并無(wú)關(guān)系,我們關(guān)心的是x→x0時(shí),?(x)的變化趨勢(shì)而不是?(x)在點(diǎn)x0處是否有意義.x→x0時(shí)?(x)有沒(méi)有極限,與第二十一頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六只須由于當(dāng)x=1時(shí),無(wú)定義,則當(dāng)x≠1時(shí),恒有成立.即要使,即

故可取證明例3第二十二頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六第二十三頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六在定義2.2.2中,極限過(guò)程

x→x0包括了x同時(shí)從

x0的左、右兩側(cè)無(wú)限的趨于x0.但是,有時(shí)我們只能或只需考慮x

僅從

x0的左側(cè)或右側(cè)趨于

x0（記為

x→x0-或

x→x0+）時(shí),f(x)的變化趨勢(shì).例如函數(shù)只能從2的右側(cè)趨于2,從而就必須引進(jìn)函數(shù)左、右極限的概念.第二十四頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六定義2.5

設(shè)函數(shù)?(x)在點(diǎn)x0右側(cè)某個(gè)去心鄰域內(nèi)有定義,如果存在常數(shù)A,對(duì)于任意給定的ε

>0,總存在δ

>0,使得當(dāng)x滿足不等式恒成立,那么常數(shù)A就叫做函數(shù)?(x)當(dāng)時(shí)的右極限,

記做第二十五頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六就可以得到在x0處的左極限.記為類似地,在的定義中,把改為左極限和右極限統(tǒng)稱為單側(cè)極限.由極限定義易知以下的充要條件成立.定理2.1

函數(shù)y=?(x)當(dāng)x→x0

時(shí)極限存在且為A的充要條件是函數(shù)y=?(x)

的左極限和右極限都存在且等于A.即第二十六頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六第二十七頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六第二十八頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六例4解

討論當(dāng)時(shí),函數(shù)的極限.當(dāng)x<0時(shí),有當(dāng)x>0時(shí),有由于，所以不存在.第二十九頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六例5設(shè)函數(shù),討論是否存在?解因此不存在.當(dāng)x<0時(shí),有當(dāng)x>0時(shí),有第三十頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六二.函數(shù)極限的性質(zhì)由于函數(shù)極限的定義按自變量的變化過(guò)程不同有各種不同的形式，下面僅以定理2.2.2(唯一性)

若注

若極限不唯一,變化趨勢(shì)不定.例如于函數(shù)極限性質(zhì)的一些定理.至于其他極限形式的性質(zhì),只要相應(yīng)地作一些修改便可得出.這種形式給出關(guān)存在,則極限值A(chǔ)唯一.第三十一頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六定理2.2.3(局部有界性)

若證取ε

=1,因?yàn)閯t存在當(dāng)時(shí),于是,當(dāng)時(shí)取當(dāng)有存在,那么存在常數(shù)M>0和δ>0，使得當(dāng)時(shí),第三十二頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六必存在那么一個(gè)時(shí)刻,在此時(shí)刻以后,就恒有即證設(shè)A>0取正數(shù)由lim?(x)=A

的定義,定理2.2.4(局部保號(hào)性)

若且A>0(或A<0).則存在δ>0,使得當(dāng)時(shí),?(x)

>0(或?(x)<0).第三十三頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六§2.3無(wú)窮小與無(wú)窮大一.無(wú)窮小二.無(wú)窮大三.無(wú)窮小的性質(zhì)第三十四頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六本節(jié)將討論在理論和應(yīng)用上都比較重要的兩種變量：無(wú)窮小量和無(wú)窮大量.為敘述簡(jiǎn)便我們用來(lái)表示在自變量各種變化過(guò)程中函數(shù)的極限.自變量的變化過(guò)程,包括x→x0

，

x→x0+，

x→x0-，

x→∞，

x→+∞,x→-∞，n→∞等.第三十五頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六一.無(wú)窮小定義2.3.1

如果在自變量的某個(gè)變化過(guò)程中,則稱函數(shù)f(x)為在該變化過(guò)程中的無(wú)窮小量,簡(jiǎn)稱無(wú)窮小.簡(jiǎn)單地說(shuō),以零為極限的變量稱為無(wú)窮小量.例如第三十六頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六

注(1)

無(wú)窮小是極限為零的變量，不能把它與絕對(duì)值很小的非零常數(shù)相混淆.在常數(shù)中,只有零可以作為無(wú)窮小，但無(wú)窮小卻不一定是零.(2)

一個(gè)變量f(x)是否為無(wú)窮小量與其自變量的變化過(guò)程有關(guān).如當(dāng)時(shí),為無(wú)窮小量;當(dāng)x不趨于1時(shí),則不是無(wú)窮小量.第三十七頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六例1自變量x在何變化過(guò)程中,下列變量f(x)為無(wú)窮小？解(3)無(wú)論x趨于何值,第三十八頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六二.無(wú)窮大

定義2.3.2

如果在自變量的某個(gè)變化過(guò)程中,函數(shù)

f(x)的絕對(duì)值無(wú)限增大（即），則稱函數(shù)

f(x)為在該變化過(guò)程中的無(wú)窮大量，簡(jiǎn)稱無(wú)窮大.

注(1)

無(wú)窮大量是一個(gè)絕對(duì)值可以任意變大的變量,而不是一個(gè)很大的常量.當(dāng)取正值無(wú)限增大(取負(fù)值絕對(duì)值無(wú)限增大)時(shí),稱為正無(wú)窮大量(負(fù)無(wú)窮大量).

注(2)

通常是極限不存在的記號(hào).第三十九頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六例2自變量x在何變化過(guò)程中,下列變量為無(wú)窮大?解(1)當(dāng)或時(shí),(2)當(dāng)