單元質量評估(一)(第一章)(120分鐘150分)一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)1.(2018·邯鄲高一檢測)已知集合A={x|y=1-x2,x∈Z},B={y|y=x2+1,x∈A.? B.{1}C.[0,+∞) D.{(0,1)}【解析】選B.由集合A中的函數y=1-得到1-x2≥0,x∈Z,則集合A={-1,0,1};由集合B中的函數y=x2+1≥1,且x∈A,得到集合B={1,2},則A∩B={1}.【補償訓練】已知集合A={1,3,m},B={1,m},A∪B=A,則m=()A.0或3 B.0或3C.1或3 D.1或3【解析】選B.依據并集的概念及A∪B=A可知,m=3或m=m,由m=m解得m=0或m=1.當m=0或m=3時,符合題意;當m=1時,不滿足集合中元素的互異性,因此應舍去.綜上可知m=0或m=3.2.(2018·張掖高一檢測)下列各式中,函數的個數是()①y=1;②y=x2;③y=1-x;④y=x-2+1A.4 B.3 C.2 D.1【解析】選B.①②③是函數,④中x的取值集合為空集,不是函數.3.(2018·大慶高一檢測)下列四個函數中,在(0,+∞)上為增函數的是()A.f(x)=3-x B.f(x)=x2-3xC.f(x)=-1x+1【解析】選C.f(x)=3-x在(0,+∞)上為減函數,f(x)=x2-3x在(0,+∞)上先減后增,f(x)=-1x+1在(0,+∞f(x)=-|x|在(0,+∞)上為減函數.4.若一次函數y=ax+b的圖象經過二、三、四象限,則二次函數y=ax2+bx的圖象可能是()【解析】選C.因為一次函數y=ax+b的圖象經過二、三、四象限,所以a<0,b<0,所以二次函數y=ax2+bx的圖象開口向下,對稱軸x=-b2a5.設f(x)是定義在R上的奇函數,當x≥0時,f(x)=2x+b,則f(-1)等于()A.0 B.2 C.-2 D.1【解析】選C.因為f(x)是定義在R上的奇函數,所以f(0)=0,即b=0,所以當x≥0時,f(x)=2x,所以f(-1)=-f(1)=-2.6.(2018·寧波高一檢測)下列對應是從集合S到T的映射的是()A.S={0,1,4,9},T={-3,-2,-1,0,1,2,3},對應關系f:取平方根;B.S=N,T={-1,1},對應關系f:x→y=(-1)x,x∈S;C.S={0,1,2,5},T=1,對應關系f:取倒數;D.S=R,T=R,對應關系f:x→y=2+x【解析】選B.若S={0,1,4,9},T={-3,-2,-1,0,1,2,3},在“開平方”的對應下,集合S中的元素1,4,9在集合T中的像不唯一,所以選項A不正確;若S=N,T={-1,1},在“x→y=(-1)x,x∈S”的對應下,集合S中的每一個元素在集合T中都有唯一的元素1或-1與之相對應,所以選項B正確;若S={0,1,2,5,},T=1,12,15,在“取倒數”的對應下,集合S中的0在T中沒有對應元素,所以C選項不正確;若S=R,T=R,在“7.(2018·南充高一檢測)下列四個函數:①y=3-x;②y=1x2+1;③y=x2+2x-10;④有()A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【解析】選B.根據一次函數的值域為R,y=3-x為一次函數,故①滿足條件;根據x2+1≥1,可得0<1x2+1≤1,即函數y=1x2+1的值域為(0,1],故②不滿足條件;二次函數y=x2+2x-10的最小值為-11,無最大值,故函數y=x2+2x-10的值域為[-11,+∞),故③不滿足條件;當x≤0時,y=-x≥0,當x>0時,y=-8.(2018·安慶高一檢測)函數y=|x|(x-1)A.{x|x≥1} B.{x|x≥1或x=0}C.{x|x≥0} D.{x|x=0}【解析】選B.因為函數y=|x|(x-1)所以|x|(x-1)≥0,解得|x|≥0或x-1≥0,即x≥1或x=0,所以函數的定義域為{x|x≥1或x=0}.【補償訓練】設函數f(x)=x-1,則fx2+fA.12C.[1,+∞) D.1【解析】選B.因為函數f(x)=x-1的定義域為[1,+∞所以x2≥1,4x≥1,所以fx2+f49.(2018·宜昌高一檢測)已知f(x)=x+2,x≤-1,是()A.3 B.1或3C.1,32或±3【解析】選A.x≤-1時,x+2=3,解得x=1,不符合;-1<x<2時,x2=3,解得x=3或-3(舍);x≥2時,2x=3,解得x=32,不符合,故x=3【補償訓練】設f(x)=x+1,x>0,A.1B.0C.2D.-1【解析】選C.因為f(x)=x+1,x>0,10.已知y=f(x)與y=g(x)的圖象如圖:則F(x)=f(x)·g(x)的圖象可能是下圖中的()【解題指南】通過奇偶函數圖象的對稱性進行判斷.【解析】選A.由圖象知y=f(x)與y=g(x)均為奇函數,所以F(x)=f(x)·g(x)為偶函數,其圖象關于y軸對稱,故D不符合要求.在x=0的左側附近,因為f(x)>0,g(x)<0,所以F(x)<0,在x=0的右側附近,因為f(x)<0,g(x)>0,所以F(x)<0.所以B,C不符合要求,故選A.11.(2018·臨汾高一檢測)已知函數f(x)=(a-3)x+5(x≤1),A.(0,3) B.(0,3]C.(0,2) D.(0,2]【解析】選D.因為f(x)為R上的減函數,所以x≤1時,f(x)遞減,即a-3<0(1),x>1時,f(x)遞減,即a>0(2),且(a-3)×1+5≥2a聯立(1)(2)(3)計算得出,0<a≤2.12.(2018·綿陽高一檢測)若一系列函數的解析式相同,值域相同,但定義域不同,則稱這些函數為“同族函數”.那么函數解析式為y=-x2,值域為{-1,-9}的“同族函數”共有()A.9種 B.8種 C.5種 D.4種【解析】選A.由題意知,問題的關鍵在于確定函數定義域的個數,函數解析式為y=-x2,值域為{-1,-9},當x=±1時,y=-1;當x=±3時,y=-9,則定義域可以為:{-1,-3},{-1,3},{1,-3},{1,3},{-1,1,-3},{-1,1,3},{-1,-3,3},{1,-3,3},{-1,1,-3,3},共9個.【拓展延伸】函數“三要素”的關系(1)值域由對應關系和定義域決定,當兩個函數的對應關系和定義域分別相同時,這兩個函數是同一函數.(2)定義域不能由對應關系和值域決定,當兩個函數的對應關系和值域分別相同時,這兩個函數也不一定是同一函數.二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.請把正確答案填在題中橫線上)13.(2017·紹興高一檢測)設集合A={2,x,x2-30},若-5∈A,則x的值為________.【解析】因為集合A={2,x,x2-30},且-5∈A,所以x=-5或x2-30=-5,即x=-5或x=5,當x=-5時,x=x2-30,故x=-5舍去,當x=5時,A={2,5,-5},符合題意.答案:5【補償訓練】已知A={-1,3,m},集合B={3,4},若B∩A=B,則實數m=________.【解析】因為B∩A=B,所以B?A,又A={-1,3,m},集合B={3,4},所以必有m=4.答案:414.(2018·濟南高一檢測)若函數f(x)滿足f(2x+1)=3-2x,則f(x)的解析式為________.【解析】根據題意,設2x+1=t,t∈R,所以x=t-12,所以f(t)=3-2×所以f(x)=4-x.答案:f(x)=4-x【補償訓練】若f(g(x))=6x+3,且g(x)=2x+1,則f(x)=()A.3 B.3xC.6x+3 D.6x+1【解析】選B.由f(g(x))=f(2x+1)=6x+3=3(2x+1),知f(x)=3x.15.定義符號函數sgnx=1,x>0,0,x=0,-1,x<0.設f(x)=sgn12-x+12·f1(x)+sgnx-12+1【解析】由題意知f(x)=x所以f(x)的最大值等于1.答案:116.(2018·淄博高一檢測)設函數f(x)=|x2-2ax+b|,給出下列命題:①f(x)必是偶函數;②當f(0)=f(2)時,f(x)的圖象必關于直線x=1對稱;③若a2-b≤0,則f(x)在區間[a,+∞)上是增函數;④f(x)有最大值|a2-b|.其中正確命題的序號是________.【解析】①,f(-x)=|x2+2ax+b|,當a≠0時,f(-x)≠f(x),所以f(x)不一定是偶函數,故①錯誤;②,當取函數為f(x)=|x2-4x+2|時,有f(0)=f(2),但函數關于x=2對稱,故②錯誤;③,由題意知,Δ=(-2a)2-4b=4(a2-b)≤0,所以x2-2ax+b≥0,所以f(x)=x2-2ax+b,對稱軸為x=a,所以f(x)在區間[a,+∞)上是增函數,故③正確;④,f(x)=|(x-a)2-(a2-b)|,當a2-b>0時,即Δ>0,函數與y軸有交點,此時最小值是0,故④錯誤.答案:③三、解答題(本大題共6小題,共70分.解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17.(10分)設集合A={x|-1≤x≤2},B={x|m-1≤x≤2m+1},已知B?A.(1)當x∈N時,求集合A的子集的個數.(2)求實數m的取值范圍.【解析】(1)因為當x∈N時,A={0,1,2},所以集合A的子集的個數為23=8.(2)①當m-1>2m+1,即m<-2時,B=?,符合題意;②當m-1≤2m+1,即m≥-2時,B≠?.由B?A,借助數軸,得m解得0≤m≤12,所以0≤m≤1綜合①②可知,實數m的取值范圍為m|m<-218.(12分)已知函數f(x)=ax+b,且f(1)=2,f(2)=-1.(1)求f(m+1)的值.(2)判斷函數f(x)的單調性,并用定義證明.【解析】(1)由f(1)=2,f(2)=-1,得a+b=2,2a+b=-1,即a=-3,b=5,故f(x)=-3x+5,f(m+1)=-3(m+1)+5=-3m+2.(2)任取x1<x2(x1,x2∈R),則f(x2)-f(x1)=(-3x2+5)-(-3x1+5)=3x1-3x2=3(x1-x2),因為x1<x2,所以f(x2)-f(x1)<0,即函數f(x)在R上單調遞減.【拓展延伸】定義法證明函數單調性時常用的變形技巧(1)因式分解:當原函數是多項式函數時,作差后通常進行因式分解.(2)通分:當原函數是分式函數時,作差后往往進行通分,然后對分子進行因式分解.(3)配方:當原函數是二次函數時,作差后可考慮配方,便于判斷符號.19.(12分)函數f(x)的定義域D:{x|x≠0}且滿足對于任意x1,x2∈D,有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2).(1)求f(1)的值.(2)判斷f(x)的奇偶性并證明.【解析】(1)令x1=x2=1,有f(1×1)=f(1)+f(1),解得f(1)=0.(2)令x1=x2=-1,有f((-1)×(-1))=f(-1)+f(-1),解得f(-1)=0,令x1=-1,x2=x,有f(-x)=f(-1)+f(x),所以f(-x)=f(x),所以f(x)為偶函數.20.(12分)(2018·紹興高一檢測)已知f(x)=1,x<0,2,x≥0,g(x)=(1)當1≤x<2時,求g(x).(2)當x∈R時,求g(x)的解析式,并畫出其圖象.(3)求方程xf(g(x))=2g(f(x))的解.【解析】(1)當1≤x<2時,x-1≥0,x-2<0,所以g(x)=6-12=(2)當x<1時,x-1<0,x-2<0,所以g(x)=3-1當x≥2時,x-1>0,x-2≥0,所以g(x)=6-2故y=g(x)=1,x<1,(3)因為g(x)>0,所以f(g(x))=2,x∈R,g(f(x))=g所以,方程xf(g(x))=2g(f(x))為x2=5,x<0,4,x≥0,所以x=-21.(12分)通過研究學生的學習行為,心理學家發現,學生的接受能力依賴于老師引入概念和描述問題所用的時間:講授開始時,學生的興趣激增;中間有一段不太長的時間,學生的興趣保持較理想的狀態;隨后學生的注意力開始分散.分析結果和實驗表明,用f(x)表示學生掌握和接受概念的能力(f(x)的值越大,表示學生的接受能力越強),x表示提出和講授概念的時間(單位:min),可有以下公式:f(x)=-0.1(1)講課開始后5min和講課開始后20min比較,何時學生的注意力更集中?(2)講課開始后多少分鐘,學生的注意力最集中,能持續多久?(3)一道數學難題,需要講解13min,并且要求學生的注意力至少達到55,那么老師能否在學生達到所需狀態下講授完這道題目?請說明理由.【解析】(1)f(5)=53.5,f(20)=47<53.5,所以講課開始后5