文檔來源網絡整理侵權刪除專題27.12黃金分割（知識講解）【學習目標】1、理解黃金分割的概念；2、會找一條線段的黃金分割點；3、會判斷一個點是否為一條線段的黃金分割點。【要點梳理】要點一：黃金分割的定義：點C把線段AB分割成AC和CB兩段,如果,那么線段AB被點C黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點，AC與AB的比叫做黃金比.特別說明：≈0.618AB(叫做黃金分割值).要點二：作一條線段的黃金分割點：如圖，已知線段AB，按照如下方法作圖：（1）經過點B作BD⊥AB，使BD=AB.（2）連接AD，在DA上截取DE=DB.（3）在AB上截取AC=AE.則點C為線段AB的黃金分割點.特別說明：一條線段的黃金分割點有兩個.【典型例題】類型一、黃金分割的作法1．作出線段的黃金分割點（不寫作法，保留作圖痕跡）【分析】作法：（1）延長線段至，使，分別以、為圓心，以大于等于線段的長為半徑作弧，兩弧相交于點，連接，則，在上取點，使；（2）連接，在上截取．（3）在上截取．點就是線段的黃金分割點．解：如圖，點即為所求．【點撥】本題主要是考查了黃金分割點的概念，熟記黃金分割分成的兩條線段和原線段之間的關系，能夠熟練求解和作圖．【變式】如圖，設線段AC＝1.（1）過點C畫CD⊥AC，使CDAC；連接AD，以點D為圓心，DC的長為半徑畫弧，交AD于點E；以點A為圓心，AE的長為半徑畫弧，交AC于點B．（2）在所畫圖中，點B是線段AC的黃金分割點嗎？為什么？【答案】（1）作圖見解析；（2）是，理由見解析【分析】（1）根據幾何語言畫出對應的幾何圖形；（2）設AC＝1，則DE＝DC，利用勾股定理得到AD，所以AE，則AB，然后利用黃金分割的定義可判斷點B是線段AC的黃金分割點．解：（1）如圖，點B為所作；（2）點B是線段AC的黃金分割點．理由如下：設AC＝1，則CD，∴DE＝DC，∵AD=，∴AE＝AD﹣DE，∴AB，BC，即，∴點B是線段AC的黃金分割點．【點撥】本題考查了黃金分割：把線段AB分成兩條線段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中項（即AB：AC＝AC：BC），叫做把線段AB黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點．求出線段長是解決問題的關鍵【變式2】如圖，以矩形ABCD的寬為邊作正方形AEFD，若矩形EBCF的寬與長的比值等于矩形ABCD的寬與長的比值，則將矩形ABCD稱為“黃金矩形”．若AD＝2，求BE的長．【答案】【分析】由正方形的性質得AE＝AD＝2，由“黃金矩形”的定義求出AB得長，即可得出BE的長．解：∵四邊形AEFD是正方形，∴AE＝AD＝2，∵矩形ABCD為黃金矩形，∴ADAB，即2AB，解得：AB1，∴BE＝AB﹣AE1﹣21．【點撥】本題考查的是黃金分割、矩形的性質，掌握黃金比值為是解題的關鍵．類型二、由黃金分割點求線段長2．已知線段AB=10cm，點C是AB上的黃金分割點，求AC的長是多少厘米？【答案】（）cm或（15?）cm【分析】根據黃金分割點的定義，知AC可能是較長線段，也可能是較短線段；則AC＝或AC＝10?（）＝15?．解：根據黃金分割點的概念，應有兩種情況，當AC是較長線段時，AC＝；當AC是較短線段時，則AC＝10?（）＝15?．故答案為：（）cm或（15?）cm．【點撥】本題考查了黃金分割點的概念．注意這里的AC可能是較長線段，也可能是較短線段；熟記黃金比的值是解題的關鍵．【變式1】如圖，線段，點是線段的黃金分割點（且，即），則__________；點是線段的黃金分割點（），點是線段的黃金分割點（），…依此類推，則線段的長度是__________．【答案】【分析】（1）根據，設P1B=x,列出方程解出即可；（2）由BP1=，得出AP1=1?=，AP2=()2，AP3=()3，…

依此類推，則線段APn的長度是()n解：（1）∵,AP1=AB-P1B,設P1B=x,∴x2=1×(1-x)解得：x1=,x2=(舍去)，故答案為；（2）根據黃金比的比值，BP1=，

則AP1=1?=，

同理可得AP2=()2，

AP3=()3，

…

依此類推，則線段APn的長度是()n

故答案為．【點撥】本題考查了黃金分割的概念，一元二次方程的解法，解題關鍵是理解黃金分割的概念．【變式2】已知線段，點是線段的黃金分割點，則的長度為_____．【答案】或．【分析】根據點C是線段A的黃金分割點，得到比例，再分和兩種情況解答即可.解：點是線段的黃金分割點，①當時，如圖∴∴②當時，如圖∴，∴∴綜上：的長度在或．【點撥】本題考查了主要黃金分割點，掌握黃金比例和分類討論思想是解答本題的關鍵．【變式3】如圖，點是線段的黃金分割點，且，若，求的長．【答案】AB=，BC=3-．【分析】由黃金分割的定義可得AB2=BC·AC，設AB=x，則BC=2-x，代入求解即可解：∵點B是線段AC的黃金分割點，且AB＞BC，∴，∴AB2=BC·AC．設AB=x，則BC=2-x，∴x2=(2-x)×2，∴x2+2x-4=0，解得：x1=，x2=，∵x＞0，∴x=即AB=，∴BC=3-，答：AB=，BC=3-．【點撥】本題考查了黃金分割的概念，熟練掌握黃金比是解答本題的關鍵．把一條線段分成兩部分，使其中較長的線段為全線段與較短線段的比例中項，這樣的線段分割叫做黃金分割．類型三、證明黃金分割點3．如圖，用紙折出黃金分割點：裁一張邊長為2的正方形紙片ABCD，先折出BC的中點E，再折出線段AE，然后通過折疊使EB落在線段EA上，折出點B的新位置F，因而EF＝EB．類似的，在AB上折出點M使AM＝AF．則M是AB的黃金分割點嗎？若是請你證明，若不是請說明理由．【答案】是，證明見解析【分析】設正方形ABCD的邊長為2，根據勾股定理求出AE的長，再根據E為BC的中點和翻折不變性，求出AM的長，二者相比即可得到黃金比．解：M是AB的黃金分割點，理由如下：∵正方形ABCD的邊長為2，E為BC的中點，∴BE＝1∴AE，∵EF＝BE＝1，∴AF＝AE﹣EF1，∴AM＝AF1，∴AM：AB＝（1）：2，∴點M是線段AB的黃金分割點．【點撥】本題考查了黃金分割的應用，知道黃金比并能求出黃金比是解題的關鍵，把一條線段分成兩部分，使其中較長的線段為全線段與較短線段的比例中項，這樣的線段分割叫做黃金分割，他們的比值（）叫做黃金比．【變式1】如圖，在矩形中，，，且四邊形是一個正方形，試問點F是的黃金分割點嗎？請說明理由.（補全解題過程）解：點F是的黃金分割點.理由如下：∵四邊形是一個正方形，∴.又∵在矩形中，，∴______.∴點F是的黃金分割點.【答案】【分析】根據正方形性質，，，得.解：點F是的黃金分割點.理由如下：∵四邊形是一個正方形，∴.又∵在矩形中，，∴.∴點F是的黃金分割點.【點撥】考核知識點：黃金分割點.理解意義是關鍵.【變式2】如圖所示，以長為2的定線段為邊作正方形，取的中點P，連接，在的延長線上取點F，使，以為邊作正方形，點M在上．（1）求的長；（2）點M是的黃金分割點嗎？為什么？【答案】（1）=，=；（2）是，理由見解析【分析】（1）要求的長，只需求得的長，又，，則，；（2）根據（1）中的數據得：，根據黃金分割點的概念，則點是的黃金分割點．解：（1）在中，，，由勾股定理知，，．故的長為，的長為；（2）點是的黃金分割點．由于，點是的黃金分割點．【點撥】此題綜合考查了正方形的性質、勾股定理和黃金分割的概念．先求得線段AM，DM的長，然后求得線段AM和AD，DM和AM之間的比，根據黃金分割的概念進行判斷．【變式3】如圖，以長為2的線段AB為邊作正方形ABCD，取AB的中點P，連接PD，在BA的延長線上取點F，使PF＝PD，以AF為邊作正方形AMEF，點M在AD上．（1）求AM，DM的長；（2）求證：AM2＝AD·DM；（3）根據（2）的結論你能找出圖中的一個黃金分割點嗎？【答案】（1）－1，3－；（2）證明見解析；（3）圖中的點M為線段AD的黃金分割點【分析】（1）由勾股定理求PD，根據AM=AF=PF-PA=PD-PA，DM=AD-AM求解；（2）由（1）計算的數據進行證明；（3）根據（2）的結論得：，根據黃金分割點的概念，則點M是AD的黃金分割點．解：（1）∵P為邊AB的中點，∴AP＝AB＝1，∴PD＝＝＝，∴PF＝PD＝，從而AF＝PF－AP＝－1，∴AM＝AF＝－1，∴DM＝AD－AM＝3－．（2）證明：∵AM2＝(－1)2＝6－2，AD·DM＝2(3－)＝6－2，∴AM2＝AD·DM．（3）圖中的點M為線段AD的黃金分割點．理由如下：∵AM2=AD?DM，∴，∴點M是AD的黃金分割點．【點撥】此題綜合考查了正方形的性質、勾股定理和黃金分割的概念．先求得線段AM，DM的長，然后求得線段AM和AD，DM和AM之間的比，根據黃金分割的概念進行判斷．類型四、黃金分割點的應用4．在人體軀干和身高的比例上，肚臍是理想的黃分割點，即（下半身長m與身高l）比例越接近0.618越給人以美感，某女士身高165cm，下半身長（腳底到肚臍的高度）與身高的比值是0.60，為盡可能達到勻稱的效果，她應該選擇約多少厘米的高跟鞋看起來更美．（結果保留整數）【答案】她應該選擇大約8厘米的高跟鞋．【分析】根據黃金分割定義：下半身長與全身的比等于0.618即可求解．解：根據已知條件可知：下半身長是165×0.6＝99（厘米），設需要穿的高跟鞋為y厘米，則根據黃金分割定義，得0.618，解得：y≈8，經檢驗y≈8是原方程的根，答：她應該選擇大約8厘米的高跟鞋．【點撥】本題考查了黃金分割，解決本題的關鍵是掌握黃金分割定義．【變式1】如圖，點是正方形的邊邊上的黃金分割點，且＞，表示為邊長的正方形面積，表示以為長，為寬的矩形面積，表示正方形除去和剩余的面積，求：的值．【答案】．【分析】根據黃金分割的定義：把線段分成兩條線段AC和（＞），且使是和的比例中項，叫做把線段黃金分割，點叫做線段的黃金分割點．其中，由定義可得：設求解，從而可得答案．解：如圖，設，點是正方形的邊邊上的黃金分割點，且＞，＞，正方形,正方形，：：：．【點撥】本題考查了黃金分割、矩形的性質、正方形的性質，一元二次方程的解法，解決本題的關鍵是掌握黃金分割定義．【變式2】如圖1，點C把線段AB分成兩條線段AC和BC，如果ACAB，則稱線段AB被點C黃金分割，點C叫做線段AB的黃金“右割“點，根據圖形不難發(fā)現(xiàn)，線段AB上另有一點D把線段AB分成兩條線段AD和BD，若BDAB，則稱點D是線段AB的黃金“左割”點．請根據以上材料．回答下列問題（1）如圖2，若AB＝8，點C和點D分別是線段AB的黃金“右割”點、黃金“左割”點，則BC=，DC=．（2）若數軸上有M，P，Q，N四個點，它們分別對應的實數為m，p，q，n，且m＜p＜q＜n，n＝3|m|，點Q和點P分別是線段MN的黃金“右割”點、黃金“左割”點，求的值．【答案】（1）12﹣4；816；（2）或【分析】（1）黃金分割：把線段AB分成兩條線段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中項（即AB：AC＝AC：BC），叫做把線段AB黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點．其中ACAB，并且線段AB的黃金分割點有兩個．把AB＝8代入式子可以AC和BD，用減法可以分別求BC和DC；（2）在數軸上，由于m的取值不確定，需要分類討論；同時根據上述的黃金“右割”點、黃金“左割”點，可以列出：；，接著求出PN＝n﹣p；MQ＝q﹣m；MN＝n﹣m；最后代入求出p和q及的值．解：（1）∵點C和點D分別是線段AB的黃金“右割”點、黃金“左割”點，∴AC＝BDAB8＝44，∴BC＝8﹣（44）＝12﹣4；∴DC＝BD﹣BC＝（44）﹣（12﹣4）＝816；故答案為12﹣4；816；（2）由（1）和題意可知：，，∵在數軸上，m＜p＜q＜n，n＝3|m|，∴PN＝n﹣p，MQ＝q﹣m，MN＝n﹣m