1第一課時不等式的概念與性質第十六章不等式1.實數的運算性質與大小順序之間的關系設a、b∈R，則（1）a＞b①__________；（2）a=b②___________；（3）a＜b③________.2.不等式的性質（1）a＞b④_______；2b＜a

a-b＜0a-b=0a-b＞0（2）a＞b，b＞c⑤_______；（3）a＞b⑥__________；（4）a＞b,c＞0⑦________；（5）a＞b,c＞d⑧____________；（6）a＞b＞0，c＞d＞0⑨_______；（7）a＞b＞0⑩__________________.__________________________________.3an＞bn（n∈N,且n＞1）ac＞bd

a+c＞b+d

ac＞bc

a+c＞b+ca＞c

41.對于實數a,b,c，有下列命題：①若ac2>bc2，則a>b；②若a>b，則ac2>bc2；③若a<b<0,則a2>ab>b2；④若a>b,c<d，則a-c>b-d.其中正確的命題共有個（）A.1B.2C.3D.4當c=0時，②不正確，其余都正確，故選C.C2.現給出三個不等式：①a2+1>2a；②a2+b2>2（a-b-）；③其中恒成立的不等式共有個（

）A.0B.1C.2D.35因為a2-2a+1=（a-1）2≥0,所以①不恒成立；對于②，a2+b2-2a+2b+3=（a-1）2+（b+1）2+1>0，所以②恒成立；對于③，因為且所以即③恒成立.故選C.63.若a＞1＞b＞-1，則下列不等式中恒成立的是（）4.如果a、b、c滿足a＞b＞c，且ac＜0，那么下列選項中不一定成立的是（）A.ac＜bcB.c（b-a）＞0C.cb2＜ab2D.ac（a-c）＜07DC

5.若

則α-β的取值范圍是________.

因為

所以又α<β,所以-π<α-β<0.8（-π,0）

1.比較大小（1）下列不等關系成立的是_____.A.3≥2B.32>（-4）2C.（x-3）2<（x-2）（x-4）D.x2+y2≤2（x+y-1）9A（2）若x∈R，則x2-x+1_____.A.大于0B.小于0C.等于0D.不能確定（3）若x∈R，則|x-1|+|x+1|_____.A.大于2B.大于或等于2C.小于或等于2D.不能確定10BA2.不等式的性質（1）下列結論中正確的是____.A.若a>b,c>d，則a-c>b-dB.若a>3,c>3,則a-c>0C.若a>b,c>d,則a+c<b+dD.若a>b,則a-2>b-211D（2）下列結論中正確的是______.A.若a>b,則ac>bcB.若a>b,c>d,則ac>bdC.若a>b>0,c>d>0,則ac>bdD.若a>b>0,則an>bn（n∈N）12C（3）下列結論中正確的是____.A.若a>b>0,c<0,則B.若ac2>bc2,則a>b不一定成立C.若a>b,則（n∈N）D.若a>b,則an>bn（n∈N,n≥2）13A3.判斷下列命題的真假.（1）若a>b,則-a<-b____;（2）若a>b,則3a>3b_____;（3）若a,b同號，且a>b，則_____;（4）若a>b>0,則an>bn（n∈N,n≥2）___.14真真真真15（1）設x＜y＜0.試比較（x2+y2）（x-y）與（x2-y2）（x+y）的大小；（2）已知a、b、c∈R+，且a2+b2=c2.當n∈N，n＞2時，比較cn與an+bn的大小.題型1：比較大小

（1）(x2+y2)(

x-y

)-(

x2-y2

)

(

x+y

)=(

x-y

)［x2+y2-(

x+y

)

2］=-2xy

(

x-y

).因為x＜y＜0，所以xy＞0，x-y＜0，從而-2xy

(

x-y

)＞0.所以(

x2+y2

)(

x-y

)＞(

x2-y2

)

(

x+y

).16（2）因為a、b、c∈R+，故an,bn，cn∈R+.因為a2+b2=c2，所以從而0＜

＜1，0＜

＜1.因為n∈N，且n＞2，所以所以所以an+bn＜cn.17【評注】比較兩個代數式的大小，常有兩種方法可用.一是作差法，其步驟是：作差—變形—判斷差的符號（與0比較大小）；二是作商法，其步驟是：作商—變形—判斷商與1的大小（適用于兩式同號的情況）.18

在等比數列{an}和等差數列{bn}中，a1=b1>0,a3=b3>0,a1≠a3，試比較a5與b5的大小.

設等差數列{an}的公差為d，等比數列{bn}的公比為q，則a3=a1q2,b3=b1+2d.因為a1=b1,a3=b3，19所以a1q2=b1+2d,從而2d=a1（q2-1）.又a1>0,a1≠a3=a1q2，所以q2≠1，所以b5-a5=（a1+4d）-a1q4=a1+2a1（q2-1）-a1q4=-a1（q2-1）2<0，所以a5>b5.20已知m∈R,a>b>1,f（x）=mxx-1，試比較f（a）與f（b）的大小.

因為所以21因為a>b>1,所以a-1>0,b-1>0,b-a<0.(1)當m>0時，f(a)-f(b)<0,所以f(a)<f(b);(2)當m=0時，f(a)-f(b)=0,所以f(a)=f(b);(3)當m<0時，f(a)-f(b)>0,所以f(a)>f(b).綜上所述，當m>0時，f(a)<f(b);當m=0時，f(a)=f(b);當m<0時，f(a)>f(b).22【評注】本題體現的是近年高考的熱點之一——用函數觀點解決不等式問題.方法大致有二：一是考慮求差比較；二是利用導數研究相應函數的單調性.但不管是哪種方法，遇到參數還需進行分類討論.23若0<x<1,a>0且a≠1，試比較|loga(1-x)|與|loga(1+x)|的大小.

因為0<x<1,所以0<1-x<1,0<1-x2<1,1<1+x<2.①當a>1時，|loga(1-x)|

|=-loga(1-x),|loga(1+x)|=loga(1+x),所以|loga(1+x)|-|loga(1-x)

|=loga(1-x2)<0,所以|loga(1-x)

|>|loga(1+x)|.24②當0<a<1時，|loga(1-x)|=loga(1-x),|loga(1+x)|=-loga(1+x),所以|loga(1+x)|-|loga(1-x)|=-loga(1-x2)<0,所以|loga(1-x)|

>|loga(1+x)|.綜上所述，|loga(1-x)|

>|loga(1+x)|.25設二次函數y=f(x)的圖象過原點，且1≤f(-2)≤2,3≤f(1)≤4，求f(2)的取值范圍.

依題意，設f(x)

=ax2+bx(a≠0)，則f(-2)=4a-2b,f(1)=a+b,f(2)=4a+2b.設f(2)=Af(-2)+Bf(1)=(4A+B)a+(B-2A)b,26題型2：求取值范圍所以因為1≤f（-2）≤2，所以又3≤f（1）≤4，所以所以故f（2）的取值范圍是27【評注】本題是用同向不等式相加性求取值范圍問題.一不小心就會產生如下錯誤:

再代入f（2）=4a+2b，求得

錯誤的原因是沒有考慮到4a-2b與a+b中的a,b不是獨立的,而是相互制約的，以上解法無形中將所求變量的范圍改變了.正確的思路應該是:將f（2）用4a-2b和a+b來表示,再兩邊分別乘以相應的系數即可.28

已知a,b∈R,且-1≤a+b≤1,1≤a+2b≤3,求a+3b的取值范圍.

設a+3b=m（a+b）+n（a+2b）=（m+n）a+（m+2n）b.則m+n=1,m+2n=3,解得m=-1,n=2.所以a+3b=-（a+b）+2（a+2b）.因為-1≤a+b≤1，所以-1≤-（a+b）≤1.又1≤a+2b≤3，所以2≤2（a+2b）≤6.所以1≤a+3b≤7.故a+3b的取值范圍是［1，7］.29本節內容是不等式的入門知識，也是以后解不等式（組）、證明不等式的依據.主要從兩個方面考查，一是利用兩個實數大小的事實，比較兩個（或多個）數或代數式的大小，有可能結合到指數函數、對數函數、冪函數等的性質；二是利用不等式的性質判斷有關不等式的命題的真假，或者求變量的取值范圍.這部分內容的考查以選擇題、填空題為主，30題目不難，但如果做題不在狀態或是對性質記憶模糊，甚至隨意篡改性質的前提條件，都可能將簡單的問題弄得很糟糕.1.利用不等式的性質判斷命題的真假時，一定要保持清醒的頭腦，注意各個性質結論成立的前提，不能隨意改變性質的條件.312.利用不等式的性質求取值范圍的過程中，要保持變形的等價性，不要隨意擴大或縮小變量的范圍，事先要判明變量是獨立的還是互相制約