1第五課時不等式的綜合應用第十六章不等式1.求參數的取值范圍（1）利用判別式求“恒成立”問題中參數的取值范圍對于二次函數f（x）=ax2+bx+c（a≠0，x∈R），有f（x）≠0恒成立__________；f（x）＞0恒成立___________；f（x）＜0恒成立___________.2Δ＜0（2）通過“分離參數”求參數的取值范圍在解題過程中，常把所考查的某個變量a從不等式中分離出來，變形為a≥f（x）（或a≤f（x））恒成立問題來求解，即轉化為求f（x）的__________________.（3）對于抽象函數中的參數的取值范圍，則需依函數的單調性與奇偶性以及函數的定義域將問題轉化為求解普通的不等式（組）.3最大值（或最小值）2.利用不等式求解實際問題（1）若實際問題的數學模型是“對勾函數”，則可利用基本不等式求解，但要注意_______________三個要素；（2）若實際問題的數學模型是線性規劃，則需找出_________，列出_________，然后畫出__________求解.4一正二定三等約束條件目標函數可行域51.函數的最大值為

.因為x＞0，所以當且僅當x2=2-x2（x＞0），即x=1時，y=1.12.如果一輛汽車每天行駛的路程比原來多19千米，那么在8天內它行駛的路程就超過2200千米，如果它每天的行程比原來少12千米，那么它行駛同樣的路程就得花9天多的時間.設這輛汽車原來每天的行程是x千米，則（）A.259<x<260B.258<x<260C.257<x<260D.256<x<260由題意得解得256<x<260,故選D.6D3.設函數f（x）=ln（-2x2+12x-10），則f（x）的定義域為_________.因為-2x2+12x-10>0，所以x2-6x+5<0，解得1<x<5.7（1，5）4.已知不等式x2+4≥ax在［1，4］上恒成立，則實數a的取值范圍是_________.因為x∈［1，4］，故原不等式可化為因為當且僅當即x=2時，

取到最小值，故a≤4.8（-∞，4］

5.某種雜志原以每本2.5元的價格銷售,可以售出8萬本.根據市場調查，若單價每提高0.1元，銷售量就可能相應減少2000本，若把提價后雜志的定價設為x元，為了使銷售的總收入不低于20萬元，則x的取值范圍是___________.9

定價為x元，則提價（x-2.5）元，銷售量就減少

本.由題意得[80000-20000(x-2.5)]·x≥200000,解得2.5≤x≤4.即x的取值范圍是［2.5，4］.101.基本不等式的應用例：求函數的值域.解：當x>0時，_______，所以當x>0時，y≤；又當x<0時，_______，所以當x<0時，y≥-.所以的值域是___________.11≥2≤-2

2.實際問題的不等式解法例：假設國家收購某種產品的價格是1200元∕噸，其中征稅標準是每100元征稅8元（叫做稅率是8個百分點，即8%），計劃收購m萬噸.如果稅率降低x個百分點（0<x<8），預計收購量可增加2x個百分點，要使此項稅收在稅率降低后不低于原計劃的78%，試確定x的取值范圍.12解：稅率降低后的現稅率是_________，現在的收購量是_______________萬噸，原計劃的稅收是__________萬元，現在的稅收是__________________________萬元，由題意可列出的不等關系式是1200m（1+2x%）（8-x）%≥1200m·8%·78%，解得x的取值范圍是______________.13m(1+2x%)（0，2］1200m·（1+2x%）（8-x）%1200m·8%（8-x）%14設函數f（x）=x3-x2+x+b在（0,+∞）上是增函數，若對任意x∈［-1,2］，f（x）<b2恒成立，求實數b的取值范圍.

因為f′（x）=3x2-2x+1=3（x-）2+，即f′（x）是一元二次函數，其圖象是頂點為開口向上的拋物線.題型1：不等式與導數所以對任意x∈［-1,2］，恒有f′（x）>0,即f（x）在［-1,2］上是增函數，所以f（x）的最大值是f（2）=6+b.要使對任意x∈［-1,2］，f（x）<b2恒成立,必須b2>6+b，即b2-b-6>0，所以b>3或b<-2.所以實數b的取值范圍是（3,+∞）∪（-∞,-2）.15【評注】本題是不等式與導數的綜合運用.欲使b2>f（x）在［-1,2］上恒成立，求實數b的取值范圍，需先求f（x）在［-1,2］上的最大值，因此必須判斷f（x）在［-1,2］上的單調性.而f（x）是一元三次函數，求導后發現f′（x）是一元二次函數，其圖象是頂點為開口向上的拋物線，從而判明f（x）在［-1,2］上是增函數，問題就迎刃而解了.16證明：對任意的正整數n，不等式都成立.

令f（x）=x3-x2+ln（x+1），則在(0，1]上恒成立,所以f（x）在（0，1］上單調遞增，所以，當x∈（0,1］時，恒有f（x）＞f（0）=0，17證明即ln（x+1）＞x2-x3.故對于任意正整數n,取得注：若令則這個函數的圖象是離散的點，在每一點處都不可導，就無法用導數的方法解決.18已知定義域為（-1，1）的奇函數y=f（x）又是減函數，且f（a-3）+f（9-a2）<0,求實數a的取值范圍.19題型2：不等式與函數

因為y=f（x）是奇函數且f（a-3）+f（9-a2）<0，所以f（a-3）<-f（9-a2）=f（a2-9）.又y=f（x）是定義域為（-1，1）的減函數,20故實數a的取值范圍是21【評注】本題涉及的函數是抽象函數，解決的關鍵是將不等式移項后，利用奇函數和單調性“脫掉”f，但要注意a-3與a2-9都必須在定義域（-1，1）內.22已知函數f（x）=log4（4x+1）+kx（x∈R）是偶函數.（1）求k的值；（2）若方程f（x）-m=0有解，求實數m的取值范圍.23

（1）因為f（x）是偶函數，所以f（-x）=f（x），即log4（4-x+1）-kx=log4（4x+1）+kx，所以即（2k+1）x=0，所以24（2）故要使方程f（x）-m=0有解，則實數m的取值范圍是［

,+∞）.25（2008·廣東卷）某單位用2160萬元購得一塊空地，計劃在該地塊上建造一棟至少10層、每層2000平方米的樓房.經測算，如果將樓房建為x（x≥10）層，則每平方米的平均建筑費用為560+48x（單位：元）.為了使樓房每平方米的平均綜合費用最少，該樓房應建為多少層？（注：平均綜合費用=平均建筑費用+平均購地費用，平均購地費用=

）26題型3：實際問題的不等式解法

購地總費用建筑總面積

設樓房每平方米的平均綜合費用為y元，依題意得方法1：當且僅當

即x=15時，y取到最小值2000.27方法2：令y′=0，即=0，解得x=15.當x>15時，y′>0；當0<x<15時，y′<0.因此，當x=15時，y取得最小值，且ymin=2000（元）.答：為了使樓房每平方米的平均綜合費用最少，該樓房應建為15層.28【評注】本題所建立的函數模型為“對勾函數”.在本題中用基本不等式解決最值問題優于用導數方法.29某商品進貨價每件50元，據市場調查，當銷售價格（每件x元）在50<x<80時，每天售出的件數

若想每天獲得的利潤最多，每件銷售價應定為多少元？30

設銷售價格定為每件x元（50<x<80）每天獲得的利潤為y元，則31當且僅當

得x=60或40（舍去），即每件銷售價應定為60元時，每天獲得利潤最多.321.利用基本不等式解決應用問題時，首先要判明是否可以用我們熟悉的模型（如：

還要注意不等式成立的條件和等號成立的條件，同時要在練習過程中學會創設條件，合理拆分項或湊配因式等常用的解題技巧.這里要提醒的是，利用基本不等式處理問題時，33列出等號成立的條件是一個非常好的習慣（盡管有時題目并沒有要求這樣做），因為它是檢驗轉換是否有誤的有力保障，特別是變量給出范圍時，更要注意.2.應用不等式解決實際問題的一般步驟：（1）閱讀、理解材料：審清題意（尤其是帶小括號說明的地方），領悟問題的實際背景，從中找出數學量，確定量與量之間的相等和不等關系，初步判明是用怎樣的數學模型才能夠解決這一問題；34（2）建立數學模型：通過（1）的分析，將題目中的“文字語言”用“符號語言”表達，并將問題抽象成數學模型，判明是解不等式問題，還是基本不等式問題，或者是其他問題.列出數學式子（函數、等式、不等式等）；（3）用數學知識解得問題所需要的數值或范圍，最后別忘了下結論.353.在利用基本不等式解決應用問題時，經常會碰到這樣一個函數——f（x）=ax+（a>0,b>0），用導數的方法可以求得它的單調性：（1）當x>0時，f（x）在（0,

］上是減函數，在［

,+∞）上是增函數；36（2）當x<0時，f（x）在［-,0）上是減函數，在（-∞,-

］上是增函數.記住它們可以給解題帶來方便，尤其是（1）.而±是由ax=解得的，因而不難記住.371.（2009·江蘇卷）函數f（x）=x3-15x2-33x+6的單調減區間為___________.f′（x）=3x2-30x-33=3（x-11）（x+1）.由（x-11）（x+1）<0,得函數f（x）的單調減區間為（-1,11）.答案：（-1,11）38