需求與問題經歷最少的采樣周期（最短的時間），使輸出達到參考值。2.3.2最少拍(dead-beat)控制系統(tǒng)設計

解決的基本思路使E(z)有限項（以z-1多次冪的多項式為有限項），且項數(shù)越少越好。D(z)滿足物理可實現(xiàn)性閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性2.3.2最少拍控制系統(tǒng)設計

最少拍（有限拍）控制是一種時間最優(yōu)控制方式。設計目標：設計一個數(shù)字控制器D(z)，使系統(tǒng)在典型輸入信號r(t)作用下，經過最少的采樣周期，消除輸出和輸入之間的偏差，達到平衡。通常把一個采樣周期稱為一拍。設計準則：1）單位階躍輸入

2）單位速度輸入3）單位加速度輸入典型輸入信號的Z變換具有如下形式：

控制系統(tǒng)的調節(jié)時間就是誤差e(kT)達到恒定值或趨于零的時間，根據(jù)誤差的Z變換定義：最少拍控制系統(tǒng)在典型信號輸入時，，

e(kT)等于零或為恒定值時，系統(tǒng)調整結束。因此，設計準則就是求出使k為最小的正整數(shù)N。

由于，誤差E(z)與誤差傳遞函數(shù)和輸入信號R(z)有關，因此，最少拍控制的設計是根據(jù)不同的R(z)選擇，使只有有限項，且項數(shù)(N)越少越好。因為如果選能夠消去E(z)分母的因子則E(z)為的有限多項式，因此，可選為

式中，F(xiàn)(z)為的有限多項式，當n=m時，且F(z)=1時，可使E(z)的項數(shù)最少，因而調節(jié)時間最短，得到的數(shù)字控制器階數(shù)較少，結構也簡單。2.典型輸入時最少拍數(shù)字調節(jié)器D(z)根據(jù)上述最少拍控制設計準則可知，對于不同的輸入信號，應當選擇不同的誤差傳遞函數(shù)，求得最少拍數(shù)字控制器D(z)。

1）單位階躍輸入可選擇，則系統(tǒng)的閉環(huán)Z傳遞函數(shù)為因此：系統(tǒng)的輸出為：由Z變換定義可以得到輸出序列：

輸出序列如圖2-14(a)所示。如圖可見，單位階躍輸入時，最少拍控制系統(tǒng)的調節(jié)時間為一個采樣周期，即經過一拍即可消除輸入和輸出之間的偏差。

2）單位速度輸入選擇則

輸出序列如圖2-14(b)所示。系統(tǒng)的調節(jié)時間為長除法，或利用Z反變換的線性性質，反推回Y(z)

3）單位加速度輸入選擇系統(tǒng)的輸出序列圖2-14(C)為單位加速度時輸出響應。可見，經過3個采樣周期，系統(tǒng)輸出跟蹤輸入。例2-12教材p.23已知被控對象的傳遞函數(shù)，若采樣周期T=0.5s，試設計在單位速度輸入時的數(shù)字控制器D(z)。解：采用零階保持器，系統(tǒng)的廣義對象的脈沖傳函為：

系統(tǒng)的輸入為r(t)=t，誤差傳函選為則系統(tǒng)的輸出序列為

上述中各項系數(shù)即為y(kT)在各個采樣時刻的數(shù)值。即輸出響應曲線如圖

2-15所示。

例2-13教材p.24在上例中求得D(z)的基礎上，若輸入信號改為單位階躍和單位加速度時，求系統(tǒng)的輸出序列并畫出響應曲線。解（1）單位階躍輸入各采樣時刻輸出序列為：系統(tǒng)的輸出響應曲線如圖2-16(a)所示。

（2）單位加速度輸入各個采樣時刻的輸出序列為：而輸入序列系統(tǒng)的輸入和輸出響應曲線如圖2-16(b)所示。

最少拍控制器中的最少拍是針對某一典型輸入設計的，對于其它典型輸入則不一定為最少拍，甚至引起大的超調和靜差。

2.3.3和的選擇按上述最少拍設計原則選擇和時，沒有考慮HG(z)對D(z)的影響，也沒有考慮D(z)的可實現(xiàn)性和穩(wěn)定性等因素。下面根據(jù)系統(tǒng)必須滿足的約束條件，考慮和的選擇原則。被控對象的HG(z)一般可寫為：

則D(z)可表示為：式中，為HG(z)的零點，為HG(z)的極點，為D(z)的超前環(huán)節(jié)。

和的選擇原則1）保證調節(jié)時間最短：包含2）保證D(z)的可實現(xiàn)性：包含有項3）保證D(z)的穩(wěn)定性：包含中|zi|≥1的零點項，包含不穩(wěn)定極點項。4）保證和同階（教材p.25）例2-14設最小拍控制系統(tǒng)如圖2-17所示，設計單位速度輸入時的最少拍數(shù)字控制器D(z)，采樣周期T=1s。

解（1）求廣義對象Z傳遞函數(shù)（2）選擇，因為HG(z)分子有的因子，又有單位圓上的零點z=-1，故取：（3）選擇，按單位速度輸入，中應含有因子。所以：

（4）和階次相同，設：比較同冪系統(tǒng)，可得到求出：

數(shù)字控制器D(z)為：數(shù)字控制器D(z)的輸出表達式為：系統(tǒng)誤差為：可見當后，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差

最少拍控制系統(tǒng)只能保證在采樣點上的輸出跟蹤輸入，在采樣點之間呈現(xiàn)紋波。原因：控制量不是恒定的，而是不停波動的,使得系統(tǒng)輸出產生紋波。

最少拍無紋波系統(tǒng)的設計

數(shù)字控制器和系統(tǒng)的輸出波形可用擴展Z變換求解采樣點之間的輸出

2.3.4最少拍無波紋控制系統(tǒng)的設計數(shù)字控制器D(Z)的輸出為若是的有限多項式，則經過有限個采樣周期后，可到達某個恒定值，系統(tǒng)的輸出沒有波紋。當Gc(z)的零點包含HG(z)的全部零點，D(z)Ge(z)可能成為z-1的有限多項式。（有紋波系統(tǒng)只包括不穩(wěn)定|zi|≥1的零點項）最少拍無紋波系統(tǒng)的設計

最少拍無波紋系統(tǒng)設計中，和設計原則：

（1）的確定（與最少拍有紋波相同）選擇，這樣便可以滿足快速性，又可抵消不穩(wěn)定極點的影響。Ge包含不穩(wěn)定極點。

（2）的確定這樣可確保D(z)的可實現(xiàn)性和穩(wěn)定且無波紋的要求。Gc(z)包含HG(z)的全部零點。（3）和的確定根據(jù)確定和例2-15設廣義被控對象Z傳遞函數(shù)為試設計單位階躍輸入時的最少拍無波紋數(shù)字控制器D(z)。解（1）選擇誤差傳遞函數(shù)和閉環(huán)傳遞函數(shù)：輸入為單位階躍信號，HG(z)無不穩(wěn)定的極點，取：HG(z)有的因子和零點z=-0.718取：

則由即：可以解出：（2）求數(shù)字控制器D(z)

（3）系統(tǒng)分析誤差：控制量：輸出量：

誤差、控制和輸出量的波形如圖2-18所示。由圖可見，當時，，說明由第二拍開始，系統(tǒng)輸出完全跟蹤輸入。優(yōu)點：調節(jié)時間短，輸出無震蕩缺點：只適宜于某種典型型號，當輸入信號變化時，輸出會產生超調或穩(wěn)定誤差。最少拍系統(tǒng)在有限個采樣周期內達到采樣點上無偏差。在有