第三講簡單的邏輯聯結詞?全稱量詞與存在量詞

5/28/2023回歸課本1.邏輯聯結詞命題中的或?且?非叫邏輯聯結詞.5/28/20232.命題p∧q,p∨q,?p的真假判斷5/28/2023pqp∧qp∨q?p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真注意:p與q全真時,p∧q為真,否則,p∧q為假.p與q全假時,p∨q為假,否則,p∨q為真.p與?p必定是一真一假.5/28/20233.全稱量詞?存在量詞(1)全稱量詞短語“所有的”“任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量詞,并用符號?表示.含有全稱量詞的命題,叫做全稱命題,全稱命題“對M中任意一個x,有p(x)成立”,簡記作?x∈M,p(x).5/28/2023

(2)存在量詞短語“存在一個”“至少有一個”在邏輯中通常叫做存在量詞,并用符號?表示.含有存在量詞的命題,叫做特稱命題,特稱命題“存在M中的元素x0,使p(x0)成立”,簡記作?x0∈M,p(x0).(3)兩種命題的關系全稱命題的否定是特稱命題;特稱命題的否定是全稱命題.注意:同一個全稱命題?特稱命題,由于自然語言的不同,可能有不同的表述方法,在實際應用中可以靈活地選擇.5/28/20235/28/2023命題全稱命題“?x∈A,p(x)”特稱命題“?x∈A,p(x)”表述方法①對所有的x∈A,p(x)成立①存在x∈A,使p(x)成立②對一切x∈A,p(x)成立②至少有一個x∈A,使p(x)成立③對每一個x∈A,p(x)成立③對有些x∈A,使p(x)成立④任選一個x∈A,p(x)成立④對某個x∈A,使p(x)成立⑤凡x∈A,都有p(x)成立⑤有一個x∈A,使p(x)成立考點陪練1.（2011·安徽）命題“所有能被2整除的整數都是偶數”的否定是(

)A．所有不能被2整除的整數都是偶數B．所有能被2整除的整數都不是偶數C．存在一個不能被2整除的整數是偶數D．存在一個能被2整除的整數不是偶數5/28/2023解析：本題是一個全稱命題，其否定是特稱命題，同時將命題的結論進行否定，答案為D.答案：D

5/28/20232.(2010·威海模擬題)已知命題p:?x∈R,cosx≤1,則()A.?p:?x0∈R,cosx0≥1B.?p:?x∈R,cosx≥1C.?p:?x0∈R,cosx0>1D.?p:?x∈R,cosx>15/28/2023解析:全稱量詞的否定應為存在量詞,所以命題p:?x∈R,cosx≤1的否命題是?x0∈R,cosx0>1.答案:C5/28/20232.(2010·廣州聯考題)若函數f(x),g(x)的定義域和值域都是R,則“f(x)<g(x),x∈R”成立的充要條件是()A.?x0∈R,使得f(x0)<g(x0)B.不存在任何實數x,使得f(x)≥g(x)C.?x∈R,都有f(x)+<g(x)D.存在無數多個實數x,使得f(x)<g(x)5/28/2023解析:f(x)<g(x),x∈R的含義即對任意的實數,都有f(x)<g(x)成立.因此其等價含義即為不存在任何實數使得f(x)≥g(x).答案:B5/28/20233.(2010·金華模擬題)下列特稱命題中,假命題的個數是()①?x0∈R,使2x20+x0+1=0;②存在兩條相交直線垂直于同一個平面;③?x0∈R,x20≤0.A.0 B.1C.2 D.3解析:命題①?②是假命題,命題③是真命題.答案:C5/28/20234.(2010·湖南)下列命題中的假命題是()A.?x∈R,2x-1>0B.?x∈N*,(x-1)2>0C.?x∈R,lgx<0D.?x∈R,tanx=2解析:對于選項B,當x=1時,結論不成立,故選B.答案:B5/28/20235.(2010·遼寧)已知a>0,函數f(x)=ax2+bx+c.若x0滿足關于x的方程2ax+b=0,則下列選項的命題中為假命題的是()A.?x∈R,f(x)≤f(x0)B.?x∈R,f(x)≥f(x0)C.?x∈R,f(x)≤f(x0)D.?x∈R,f(x)≥f(x0)5/28/2023解析:由題知:x0 為函數f(x)圖象的對稱軸方程,所以f(x0)為函數的最小值,即對所有的實數x,都有f(x)≥f(x0),因此?x∈R,f(x)≤f(x0)是錯誤的,選C.答案:C5/28/2023類型一 含有邏輯聯結詞的命題真假判定解題準備:解決該類問題基本步驟為:1.弄清構成它的命題p?q的真假;2.弄清它的結構形式;3.根據真值表判斷構成新命題的真假.5/28/2023【典例1】已知命題p:?x∈R,使tanx=1,命題q:x2-3x+2<0的解集是{x|1<x<2},下列結論:①命題“p∧q”是真命題;②命題“p∧?q”是假命題;③命題“?p∨q”是真命題;④命題“?p∨?q”是假命題.其中正確的是()A.②③B.①②④C.①③④D.①②③④5/28/2023

[解]先判斷命題p和q的真假,再對各個用邏輯聯結詞聯結的命題進行真假判斷.命題p:?x∈R,使tanx=1正確,命題q:x2-3x+2<0的解集是{x|1<x<2}也正確;∴①命題“p∧q”是真命題;②命題“p∧?q”是假命題;③命題“?p∨q”是真命題;④命題“?p∨?q”是假命題,故應選D.[答案]D5/28/2023[反思感悟]正確理解邏輯聯結詞“或”?“且”?“非”的含義是解題的關鍵,應根據組成各個復合命題的語句中所出現的邏輯聯結詞進行命題結構與真假的判斷.其步驟為:①確定復合命題的構成形式;②判斷其中簡單命題的真假;③根據其真值表判斷復合命題的真假.5/28/2023類型二 全稱命題與特稱命題真假的判斷解題準備:1.要判定全稱命題是真命題,需對集合M中每個元素x,證明p(x)成立;如果在集合M中找到一個元素x0,使得p(x0)不成立,那么這個全稱命題就是假命題;2.要判定一個特稱命題是真命題,只要在限定集合M中,至少能找到一個x0,使p(x0)成立即可;否則,這一特稱命題就是假命題.5/28/2023注意:有些題目隱含了全稱量詞和存在量詞,要注意對其進行改寫來找到.5/28/2023【典例2】(特例法)試判斷以下命題的真假:(1)?x∈R,x2+2>0;(2)?x∈N,x4≥1;(3)?x∈Z,x3<1;(4)?x∈Q,x2=3.5/28/2023

[解](1)由于?x∈R,有x2≥0,因而有x2+2≥2>0,即x2+2>0.所以命題“?x∈R,x2+2>0”是真命題.(2)由于0∈N,當x=0時,x4≥1不成立.所以命題“?x∈N,x4≥1”是假命題.(3)由于-1∈Z,當x=-1時,能使x3<1.所以命題“?x∈Z,x3<1”是真命題.(4)由于使x2=3成立的數只有 而它們都不是有理數.因此,沒有任何一個有理數的平方能等于3.所以命題“?x∈Q,x2=3”是假命題.5/28/2023[反思感悟]本例中的(3)是一個典型的特例法,即要說明一個存在性命題正確,只要找到一個元素使命題成立即可.5/28/2023類型三 全(特)稱命題的否定解題準備:1.全稱命題p:?x∈M,p(x).它的否定?p:?x0∈M,?p(x0).2.存在性命題p:?x0∈M,p(x0).它的否定?p:?x∈M,?p(x).3.全稱(存在性)命題的否定與命題的否定有著一定的區別,全稱(存在性)命題的否定是將其全稱量詞改為存在量詞(或存在量詞改為全稱量詞),并把結論否定,而命題的否定則直接否定結論即可.從命題形式上看,全稱命題的否定是特稱命題,特稱命題的否定是全稱命題.5/28/2023【典例3】寫出下列命題的否定,并判斷命題的否定的真假,指出命題的否定屬全稱命題還是特稱命題:(1)所有的有理數是實數;(2)有的三角形是直角三角形;(3)每個二次函數的圖象都與y軸相交;(4)?x∈R,x2-2x>0.5/28/2023[分析]先否定量詞:存在 任意.再否定判斷詞.[解](1)非p:存在一個有理數不是實數.為假命題,屬特稱命題.(2)非p:所有的三角形都不是直角三角形.為假命題,屬全稱命題.(3)非p:有些二次函數的圖象與y軸不相交.為真命題,屬特稱命題.(4)非p:?x∈R,x2-2x≤0.為真命題,屬特稱命題.

5/28/2023[反思感悟]只否定全稱量詞和存在量詞,或只否定判斷詞,因否定不全面或否定詞不準確而致錯.從以上的符號語言和例子可以看出,對全稱命題的否定,在否定判斷詞時,還要否定全稱量詞,變為特稱命題.對特稱命題的否定,在否定判斷詞時,也要否定存在量詞.5/28/2023類型四與邏輯聯結詞?全稱量詞?存在量詞有關的命題中參數范圍的確定解題準備:1.由簡單命題的真假可判斷復合命題的真假,反之,由復合命題的真假也能判斷構成該復合命題的簡單命題的真假.利用簡單命題的真假分別求出參數滿足的條件,再取二者的交集即可.5/28/20232.此類題目經常與函數?不等式等知識相聯系,要注意分類討論思想的應用.【典例4】已知兩個命題r(x):sinx+cosx>m,s(x):x2+mx+1>0.如果對?x∈R,r(x)∧s(x)為假,r(x)∨s(x)為真,求實數m的取值范圍.[分析]由題意可知,r(x)與s(x)有且只有一個是真命題,所以可先求出對?x∈R時,r(x),s(x)都是真命題時m的范圍,再由要求分情況討論出所求m的范圍.5/28/20235/28/2023[反思感悟]解決這類問題時,應先根據題目條件,推出每一個命題的真假(有時不一定只有一種情況),然后再求出每個命題是真命題時參數的取值范圍,最后根據每個命題的真假情況,求出參數的取值范圍.5/28/2023錯源一 錯誤理解命題的否定【典例1】已知命題p:函數f(x)=-(5-2m)x是減函數.若?p為真命題,求實數m的取值范圍.5/28/2023[錯解]∵命題p:f(x)=-(5-2m)x是減函數,∴?p:函數f(x)=-(5-2m)x為增函數,∴0<5-2m<1,∴2<m5/28/2023

[剖析]本題的錯誤在于由p得到?p:函數f(x)是增函數.事實上,命題p的否定包括“函數f(x)是增函數”和“f(x)不單調”兩種情形.為了避免出錯,處理這類問題時,不宜直接得到命題?p,一般是先由原命題為真得出參數的取值范圍,再研究?p為真或為假時參數的取值范圍.5/28/2023

[正解]由f(x)=-(5-2m)x是減函數,知5-2m>1,∴m<2,∴當?p為真時,m≥2,∴實數m的取值范圍是[2,+∞).5/28/2023錯源二 對含有量詞的命題的否定不當致誤【典例2】命題“對任意的x∈R,x3-x2+1≤0”的否定是()A.不存在x∈R,x3-x2+1≤0B.存在x∈R,x3-x2+1≤0C.存在x∈R,x3-x2+1>0D.對任意的x∈R,x3-x2+1<05/28/2023[剖析]本題是對全稱命題的否定,因此否定時既要對全稱量詞“任意”否定,又要對“≤”進行否定,全稱量詞“任意”的否定為存在量詞“存在”,“≤”的否定為“