《每周一講》高中系列第七講——————————————————————————————————————————————PAGE 阿波羅尼斯圓適用題型已知兩個(gè)線段長度之比為定值；過某動(dòng)點(diǎn)向兩定圓作切線，若切線張角相等；向量的定比分點(diǎn)公式結(jié)合角平分線；線段的倍數(shù)轉(zhuǎn)化；基本理論阿波羅尼斯定理（又稱中線長公式）設(shè)三角形的三邊長分別為，中線長分別為,則：阿波羅尼斯圓一般地，平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)距離之比為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是圓，此圓被叫做“阿波羅尼斯圓”化簡得：軌跡為圓心的圓阿波羅尼斯圓的性質(zhì)滿足上面條件的阿波羅尼斯圓的直徑的兩端是按照定比內(nèi)分和外分所得的兩個(gè)分點(diǎn)；直線平分，直線平分的外角；；若是切線，則與的交點(diǎn)即為；若點(diǎn)做圓的不與重合的弦，則平分；補(bǔ)充說明關(guān)于性質(zhì)1的證明定理：為兩已知點(diǎn)，分別為線段的定比為的內(nèi)、外分點(diǎn)，則以為直徑的圓上任意點(diǎn)到兩點(diǎn)的距離之比等于常數(shù)。證明：不妨設(shè)由相交弦定理及勾股定理得：從而同時(shí)在到兩點(diǎn)距離之比等于的曲線（即圓）上，而不共線的三點(diǎn)所確定的圓是唯一的，因此圓上任意點(diǎn)到兩點(diǎn)距離之比等于常數(shù)。關(guān)于性質(zhì)6的補(bǔ)充若已知圓及圓外一點(diǎn)，則可作出與點(diǎn)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，只要過點(diǎn)作圓兩條切線，切點(diǎn)分別為，連結(jié)與即交于點(diǎn)。反之，可作出與點(diǎn)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)典型例題例1（教材例題）已知一曲線是與兩個(gè)定點(diǎn)、距離的比為的點(diǎn)的軌跡，求此曲線的方程，并畫出曲線。解：設(shè)點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn)，則，整理即得到該曲線的方程為：。例2（2003北京春季文）設(shè)為兩定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P到A點(diǎn)的距離與到B點(diǎn)的距離的比為定值，求P點(diǎn)的軌跡.解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y）由.化簡得當(dāng)，整理得.當(dāng)a=1時(shí)，化簡得x=0.所以當(dāng)時(shí)，P點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓；當(dāng)a=1時(shí)，P點(diǎn)的軌跡為y軸.

例8（2013江蘇高考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，直線．設(shè)圓的半徑為，圓心在上．（1）若圓心也在直線上，過點(diǎn)作圓的切線，求切線的方程；（2）若圓上存在點(diǎn)，使，求圓心的橫坐標(biāo)的取值范圍．xyAlO解：（1）聯(lián)立：，得圓心為：C(3xyAlO設(shè)切線為：，d＝，得：．故所求切線為：．（2）設(shè)點(diǎn)M(x，y)，由，知：，化簡得：，即：點(diǎn)M的軌跡為以(0，1)為圓心，2為半徑的圓，可記為圓D．又因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，故圓C圓D的關(guān)系為相交或相切．故：1≤|CD|≤3，其中．解之得：0≤a≤eq\f(12,5)．例9圓不等且外離，現(xiàn)有一點(diǎn)，它對(duì)于所張的視角與對(duì)于所張的視角相等，試確定點(diǎn)的幾何位置答案：做圓的內(nèi)、外公切線，分別交連心線于點(diǎn)，以線段為直徑的圓，就是線段關(guān)于的阿氏圓，該圓上任意一點(diǎn)都符合要求。

例10在軸正半軸上是否存在兩個(gè)定點(diǎn)、，使得圓上任意一點(diǎn)到、兩點(diǎn)的距離之比為常數(shù)？如果存在，求出點(diǎn)、坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由。解：假設(shè)在軸正半軸上是否存在兩個(gè)定點(diǎn)、，使得圓上任意一點(diǎn)到、兩點(diǎn)的距離之比為常數(shù)，設(shè)、、，其中。即對(duì)滿足的任何實(shí)數(shù)對(duì)恒成立，整理得：，將代入得：，這個(gè)式子對(duì)任意恒成立，所以一定有：，因?yàn)椋越獾茫骸ⅰＫ裕谳S正半軸上是否存在兩個(gè)定點(diǎn)、，使得圓上任意一點(diǎn)到、兩點(diǎn)的距離之比為常數(shù)。例11鐵路線上線段km，工廠到鐵路的距離km。現(xiàn)要在、之間某一點(diǎn)處，向修一條公路。已知每噸貨物運(yùn)輸km的鐵路費(fèi)用與公路費(fèi)用之比為，為了使原料從供應(yīng)站運(yùn)到工廠的費(fèi)用最少，點(diǎn)應(yīng)選在何處？解：建立如圖所示直角坐標(biāo)系，先求到定點(diǎn)、的距離之比為的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，即：，整理即得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程：，令，得（舍去正值）即得點(diǎn)。下面證明此點(diǎn)即為所求點(diǎn)：自點(diǎn)作延長線的垂線，垂足為，在線段上任取點(diǎn)，連接，再作于。設(shè)每噸貨物運(yùn)輸km的鐵路費(fèi)用為，則每噸貨物運(yùn)輸km的公路費(fèi)用為，如果選址在處，那么總運(yùn)輸費(fèi)用為，而∽∽∴∴那么總費(fèi)用，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)、、共線時(shí)取等號(hào)總上所述，點(diǎn)即為