§9.7動(dòng)量原理在碰撞問題中的應(yīng)用碰撞：物體突然受到?jīng)_擊或遇到障礙（突加約束）時(shí)，運(yùn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生急劇改變的一種力學(xué)現(xiàn)象。問題：宏觀角度研究碰撞前后物體角速度和質(zhì)心速度的改變情況。理論基礎(chǔ)：不用力及能量來研究度量基本假設(shè)：1.碰撞過程中，常力及普通力的作用忽略不計(jì)。2.碰撞過程中，物體的位移忽略不計(jì)動(dòng)量原理11.碰撞時(shí)的動(dòng)量定理——沖量定理。設(shè)質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，碰撞前后的速度分別為v、u，碰撞發(fā)生的時(shí)間段為[0，t]，力為F，則由動(dòng)量定理，得碰撞沖量表明：質(zhì)點(diǎn)在碰撞過程中的動(dòng)量改變等于作用于質(zhì)點(diǎn)上的碰撞沖量。對(duì)n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系，將質(zhì)點(diǎn)mi的沖量分為外碰撞沖量Ii(e)和內(nèi)碰撞沖量Ii(i)，則2由于內(nèi)碰撞沖量總是成對(duì)出現(xiàn)，即——沖量定理利用系統(tǒng)動(dòng)量關(guān)系表明：質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量的改變等于作用于質(zhì)點(diǎn)系外碰撞沖量的矢量和。式中，uC和vC分別為碰撞結(jié)束和開始時(shí)質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心的速度。3即得n個(gè)方程的矢量和為2.碰撞時(shí)的動(dòng)量矩定理——沖量矩定理。考慮一個(gè)質(zhì)點(diǎn)：設(shè)碰撞過程中質(zhì)點(diǎn)對(duì)固定點(diǎn)O的矢徑r保持不變（基本假設(shè)2）對(duì)質(zhì)點(diǎn)系，將質(zhì)點(diǎn)mi上的沖量分為質(zhì)點(diǎn)系外碰撞沖量Ii(e)和內(nèi)碰撞沖量Ii(i)，則由4記則表明：碰撞過程中，質(zhì)點(diǎn)系對(duì)于某定點(diǎn)動(dòng)量矩的改變，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的外碰撞沖量對(duì)同一點(diǎn)之矩的矢量和。若點(diǎn)O取為質(zhì)心C，則同理可得式中質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)定點(diǎn)的沖量矩定理質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)質(zhì)心的沖量矩定理5式中質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)質(zhì)心的沖量矩定理表明：碰撞過程中，質(zhì)點(diǎn)系對(duì)于質(zhì)心動(dòng)量矩的改變，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的外碰撞沖量對(duì)質(zhì)心之矩的矢量和。注意:b.質(zhì)點(diǎn)系對(duì)動(dòng)點(diǎn)的動(dòng)量矩可由相對(duì)動(dòng)量矩與牽連動(dòng)量矩公式計(jì)算，也可由兩點(diǎn)動(dòng)量矩關(guān)系計(jì)算。6a.將質(zhì)心C改為任意一確定點(diǎn)，沖量矩定理形式保持不變。3.碰撞沖量對(duì)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的作用與撞擊中心設(shè)剛體繞定軸Oz轉(zhuǎn)動(dòng)，受到外碰撞沖量的作用由沖量矩定理在z軸上的投影式，得設(shè)1、2為剛體在碰撞前后兩個(gè)瞬時(shí)的角速度，Jz為剛體繞定軸Oz的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，則外碰撞沖量對(duì)z軸之矩的代數(shù)和外碰撞沖量：主動(dòng)力的碰撞沖量軸承的碰撞沖量對(duì)變化無影響對(duì)構(gòu)件壽命有害如何減小或消除？7OxyIOxy碰撞沖量I也作用在此質(zhì)量對(duì)稱面內(nèi)，與x軸交于O,與y軸夾角為，且OO=loI得設(shè)1、2為剛體在碰撞前后兩個(gè)瞬時(shí)的角速度(逆時(shí)針），JO為剛體繞定軸Oz的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，則由設(shè)軸承O對(duì)剛體的碰撞沖量IO沿x、y的正交分量為Iox、Ioy，設(shè)剛體繞定軸Oz轉(zhuǎn)動(dòng)（Oxy為其質(zhì)量對(duì)稱面），質(zhì)量為m，質(zhì)心為C，取OC為x軸正向,且OC=rCCOIOxIOylo由沖量定理在x、y軸上的投影式，得8OxyI要使剛體在軸承處不受碰撞沖量的作用，即Iox=0、Ioy=0，COIOxIOylo則可得滿足此條件時(shí)，I與O、C兩點(diǎn)連線的交點(diǎn)O稱為碰撞中心若rC=0，則碰撞中心不存在。94.碰撞沖量對(duì)平面運(yùn)動(dòng)剛體的作用設(shè)剛體具有質(zhì)量對(duì)稱面，且剛體的運(yùn)動(dòng)也在其內(nèi)。若碰撞沖量I也作用在此質(zhì)量對(duì)稱面內(nèi)，則碰撞后，剛體仍在此面內(nèi)運(yùn)動(dòng)。聯(lián)立沖量定理與相對(duì)質(zhì)心的沖量矩定理，可得10例1圖示一靜止位于光滑水平面內(nèi)的均質(zhì)細(xì)桿AB，質(zhì)量為m,長為L,今有一沖量I沿水平面垂直作用于桿上，欲使此桿的端點(diǎn)A碰撞結(jié)束瞬時(shí)的速度為零，試問沖量I應(yīng)作用于桿的什么位置？ABIb

對(duì)桿進(jìn)行運(yùn)動(dòng)分析：解:

碰撞后：繞A點(diǎn)的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)碰撞前:靜止

沖量定理：設(shè)此時(shí)角速度為

沖量矩定理：11

另：考慮動(dòng)量矩守恒例2圖示一靜止位于鉛垂面內(nèi)的鏈桿機(jī)構(gòu)，三桿均為均質(zhì)細(xì)桿，質(zhì)量均為m,長度均為l,今有一沖量I水平作用于桿O1A上，若碰撞后使鉸鏈O1處的約束沖量為零，則h=?AO1O2BIh解:

沖量I作用下，約束O1、O2處會(huì)產(chǎn)生相應(yīng)的約束沖量

由題意得IO2xIO2yIO1xIO1yIO1x=IO1y=0

設(shè)碰撞后桿O1A的角速度為

整體沖量矩定理：

AB平動(dòng)12AO1O2BIhIO2yCvC

以桿O1A為對(duì)象

沖量矩定理：C1

聯(lián)立(1)(2),得13IAxIAyIO2x5.材料對(duì)碰撞的影響與恢復(fù)因數(shù)在碰撞時(shí)若碰撞沖量I未知，則僅利用沖量定理與沖量矩定理方程數(shù)不夠，需根據(jù)碰撞物體間的恢復(fù)因數(shù)列寫補(bǔ)充方程，才能求解。（1）碰撞過程的兩個(gè)階段v()I1v=0a.壓縮階段由沖量定理，得光滑水平面I2u()b.恢復(fù)階段仍由沖量定理，得14（2）材料的恢復(fù)因數(shù)牛頓在大量實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上發(fā)現(xiàn)：當(dāng)碰撞的材料一定時(shí)，碰撞結(jié)束與開始時(shí)的速度比近似為常數(shù)，即——常數(shù)e稱為恢復(fù)因數(shù)h1h2恢復(fù)因數(shù)表示碰撞后物體速度恢復(fù)的程度碰撞后物體變形恢復(fù)的程度碰撞后物體變形機(jī)械能損失的程度15對(duì)各種材料，均有表明：碰撞后變形不能完全恢復(fù)——非完全彈性碰撞e=1為理想情形，即碰撞后變形完全恢復(fù)，動(dòng)能無損失。e=0為極限情況，即碰撞后變形絲毫沒有恢復(fù)。——非彈性碰撞或塑性碰撞——完全彈性碰撞C1C2對(duì)心碰撞偏心碰撞接觸點(diǎn)公法線若碰撞前后接觸點(diǎn)處的相對(duì)速度沿接觸點(diǎn)的公法線方向——正碰撞斜碰撞16設(shè)碰撞前兩物體接觸點(diǎn)處的絕對(duì)速度分別為v1、v2，碰撞后兩物體接觸點(diǎn)處的絕對(duì)速度分別為u1、u2，則恢復(fù)因數(shù)可定義為碰撞后兩物體接觸點(diǎn)處公法線方向的相對(duì)速度碰撞前兩物體接觸點(diǎn)處公法線方向的相對(duì)速度即恢復(fù)因數(shù)等于兩物體接觸點(diǎn)處沿公法線方向的分離速度與接近速度之比1718集體答疑準(zhǔn)備安排

1月22日（周四）

1月24日（周六）

1月25日（周日）三天考試時(shí)間

:第18周周一（1月26日）

上午9:30-----11:30CABvo例3圖示質(zhì)量為m,長為l的均質(zhì)細(xì)桿AB,與鉛垂線成角平行下落到光滑的水平面上，設(shè)桿到達(dá)水平面時(shí)的速度為vo，A端與水平面的恢復(fù)因數(shù)為e,試求碰撞結(jié)束時(shí)桿的角速度和桿質(zhì)心C的速度。

對(duì)桿進(jìn)行運(yùn)動(dòng)分析：解:碰前:平動(dòng)

水平面光滑桿關(guān)于A點(diǎn)動(dòng)量矩守恒A處沖量IAx=0,IAy未知，可由e給出補(bǔ)充方程。IAy19

碰后：平面運(yùn)動(dòng)設(shè)此時(shí)桿的角速度為，質(zhì)心C的速度為uCCABuCIAx=0uCx=0設(shè)碰后A點(diǎn)的速度為uA沿鉛垂方向投影，得聯(lián)立(1)(2)，得20

碰后：平面運(yùn)動(dòng)CABuC由A點(diǎn)動(dòng)量矩守恒21例4圖示一質(zhì)量為M、半徑為r的均質(zhì)圓盤以角速度O繞它邊緣一點(diǎn)A在其平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，設(shè)想A釘突然脫開，圓盤邊緣另一點(diǎn)B突然被固定，設(shè)AB弧所對(duì)的圓心角為，求圓盤繞點(diǎn)B轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度及在B點(diǎn)所受到的沖量Ix、Iy。AOB解:B突然被固定IxIy碰撞沖量對(duì)該點(diǎn)之矩為零對(duì)B點(diǎn)動(dòng)量矩守恒vOr22AOBIxIyvOr

沖量定理：2324ABOD例5圖示擺錘由無重桿AB和鉸于B端的均質(zhì)圓柱B構(gòu)成圓柱質(zhì)量為m

，AB長為l。初始時(shí)，AB與鉛垂線夾角為O=60o,且無初速釋放；當(dāng)擺錘運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)與靜止在水平地面上質(zhì)量為2m的梯形物體D相撞；梯形體斜面傾角=30o。設(shè)碰撞是完全彈性的，所有接觸處光滑，求碰撞后梯形體D沿水平面滑動(dòng)的速度和桿AB的能回升的最大角度max。解:擺錘下落時(shí)作什么運(yùn)動(dòng)？設(shè)碰撞前擺錘質(zhì)心速度為vB：動(dòng)能定理vB平動(dòng)