§1不定積分基本概念與性質(zhì)

一、引例

第四章不定積分

(1)xoy平面上一曲線過點（0，1），并在點(x,y)的斜率為ex-1，求此曲線。(2)一質(zhì)點在時刻t以速度v(t)=2t-1運(yùn)動，求質(zhì)點從初始時刻t=0到時刻t所經(jīng)過的距離f(t)．這兩個問題和我們在第二章遇到的問題正好相反！要解決這類問題，必須學(xué)習(xí)我們先學(xué)習(xí)二、

原函數(shù)設(shè)函數(shù)f的定義域為區(qū)間I,若存在I上的可微函數(shù)F,使F

(x)=f(x)(x∈I).則稱F(x)為f在區(qū)間I上的一個原函數(shù).注①:若f(x)在區(qū)間I上連續(xù)，則在下一章我們將知道f(x)在區(qū)間I上存在原函數(shù).即：連續(xù)函數(shù)必有原函數(shù).注②:若F(x)=f(x),則C∈R,有[F(x)+C]=F(x)=f(x).這就是說,若f(x)有原函數(shù),則f(x)有無限多個原函數(shù).

注③:若F(x)和G(x)都是f(x)的原函數(shù),則[F(x)G(x)]

=F(x)G(x)=0.故F(x)G(x)為常數(shù)——f(x)的任兩個原函數(shù)相差一個常數(shù).這就是說,若f(x)有一個原函數(shù)F(x),則f(x)的其他原函數(shù)都可以寫成F(x)+C,

其中C為某個常數(shù).注④:設(shè)F(x)為f(x)在區(qū)間I上的一個原函數(shù).我們用{F(x)+C，C為任意實數(shù)}表示f(x)在區(qū)間I上的全體原函數(shù).

三、

不定積分1.

定義函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的全體原函數(shù)稱為f(x)在區(qū)間I上的不定積分.記為其中f(x)稱為被積函數(shù),f(x)dx稱為被積表達(dá)式,x稱為積分變量.若F(x)為f(x)在區(qū)間I上的一個原函數(shù)，則=F(x)+C.其中C稱為積分常數(shù).注⑤:不定積分和原函數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系.

2.d與的關(guān)系設(shè)F(x)為f(x)在區(qū)間I上的一個原函數(shù)，則

由此可見，不計常數(shù)C，微分運(yùn)算d與不定積分運(yùn)算互為逆運(yùn)算。

于是由基本導(dǎo)數(shù)公式，有基本積分公式.3.基本積分公式積分公式微分公式

1）2），，3）4）5），，，，6）7）8）9）10）11）12）13）4.性質(zhì)設(shè)f(x),g(x)有原函數(shù),k1,k2∈R,則

特別地，(1)設(shè)f(x有原函數(shù),k∈R,則(2)設(shè)f(x),g(x)有原函數(shù),則例1.(1)

(2)(3)5.分段函數(shù)的原函數(shù)與不定積分例2.設(shè)求

解

設(shè)F(x)是f(x)在[1,+∞)上的一個原函數(shù),則因而F(-1)=?

F(0)=?F(2)=?注意F(x)為可導(dǎo)函數(shù)，從而連續(xù)！于是可以求出C1,C2和C3。故F(00)=1+C1,F(0+0)=C2,F(20)=4+C2,F(2+0)=6+C3,F(-1+0)=F(-1）由F(x)的連續(xù)性可得

取C=C2=1+C1=2+C3,則6.引例的解決

(1)xoy平面上一曲線過點（0，1），并在點(x,y)的斜率為ex-1，求此曲線。解答:設(shè)此曲線為y=f(x),則f’(x)=ex-1,f(0)=1因而得f(x)=ex-x.(2)一質(zhì)點在時刻t以速度v(t)=2t-1運(yùn)動，求質(zhì)點從初始時刻t=0到時刻t所經(jīng)過的距離f(t)．解答:f’(t)=v(t)=2t-1,f(0)=0因而得f(t)=t2-t.§2不定積分的換元積分法

一、

第一類換元積分法(湊微分法)設(shè)函數(shù)u=j

(x)可微,F(u)為f(u)的一個原函數(shù),則例1.=F(u)+C=F[j(x)]+C.

例2.設(shè)a>0,則例3.設(shè)a≠0,則例4.

例5.例6.例7.例8.例9.

例10.例11.例12.=arctan(x+2)+C.

例13.例14.例15.

例16.例17.

例18.或=ln|tanx+secx|+C.=ln|tanx+secx|+C.

二、

第二類換元積分法

設(shè)f(x)連續(xù),x=j

(u)有連續(xù)的導(dǎo)數(shù),j

(u)≠0,且f[j

(u)]j

(u)的一個原函數(shù)為F(u).則事實上,思考

第一類換元積分法與第二類換元積分法的區(qū)別何在?=F(u)+C=F[j1(x)]+C.=f[j

(u)]=f(x).

例19.求下列不定積分.(1)解:(1)令則=2u2ln|1+u|+C(2)(2)令則=…

(3)則解:被積函數(shù)的定義域為(∞,1)∪(2,+∞).當(dāng)x>2時,被積函數(shù)可化為令于是

當(dāng)x∈(-∞,-1)時的情形留作課后練習(xí).參考答案:=ln|t+1|ln|t1|2arctant+C注①:本例中的代換方法稱為根式代換.

例20.計算下列不定積分(其中a>0).(1)解:令x=asinu,則

(2)解:令x=atanu,則(其中C=lna+C1).注②:本例中的代換方法稱為三角代換.

注③

:巧用湊微分法,可迅速解決上述(2).事實上,又如:

例21.令u=x+1

例22.計算不定積分解:(法一)令則注④:法一中的代換稱為倒數(shù)代換.

(法二)

例23.計算解:令則于是注⑤

:本例中的代換方法稱為半角代換.

例24.計算

則比較煩.(其中a,b>0).解:令t=tanx,則注⑥

:本例若令

§3不定積分的分部積分法

一、

原理

d[u(x)v(x)]=u(x)dv(x)+v(x)du(x)_u(x)dv(x)=d[u(x)v(x)]v(x)du(x)_∫u(x)dv(x)=∫d[u(x)v(x)]∫v(x)du(x)=u(x)v(x)∫v(x)du(x).二、舉例(1)∫xcosxdx=∫xd(sinx)=xsinx+cosx+C.=xsinx

∫sinxdx

(2)∫(x2+x)exdx=(x2+x)ex

∫ex(2x+1)dx=(x2+x)ex

∫(2x+1)d(ex)=∫(x2+x)d(ex)=(x2+x)ex

∫exd(x2+x)=(x2+x)ex

(2x+1)ex+∫exd(2x+1)=(x2x1)ex+2∫exdx=(x2x+1)ex+C.[x2cosx+∫x2sinxdx],注意！

若∫xcosxdx[x2cosx∫x2d(cosx)]則積不出!

=(x2+x)lnxx2

x+C.

(3)∫(2x+1)lnxdx=∫lnxd(x2+x)=(x2+x)lnx∫(x2+x)d(lnx)=(x2+x)lnx∫(x+1)dxex(cosx+sinx)+C(其中所以∫excosxdx=移項得:2∫excosxdx=ex(cosx+sinx)+C1.=ex(cosx+sinx)∫excosxdx,=ex(cosx+sinx)∫exd(sinx)=excosx+∫exsinxdx(4)∫excosxdx=∫cosxd(ex)=excosx

∫exd(cosx)=excosx+∫sinxd(ex)

另解

∫excosxdx=∫exd(sinx)=exsinx

∫sinxd(ex)=exsinx

∫exsinxdx=exsinx+∫exd(cosx)=ex(cosx

+sinx)∫cosxd(ex)=ex(cosx+sinx)∫excosxdx,移項得:2∫excosxdx=ex(cosx+sinx)+C1.所以∫excosxdx=ex(cosx+sinx)+C(其中

(5)移項得:所以

(6)

n=1時，已在本章第二節(jié)例18解決。n=2時，n>2時，取u=secn-1x,v’=sec2x分部積分。(7)3.小結(jié):(1)P(x)sinxdx=P(x)d(cosx),P(x)cosxdx=P(x)d(sinx).(2)P(x)exdx=P(x)d(ex).(3)P(x)lnxdx=lnxd(∫P(x)dx).(4)eaxcos(bx)dx=cos(bx)d(eax)eaxd(sin(bx)),eaxsin(bx)dx=sin(bx)d(eax)eaxd(cos(bx)).

(5)P(x)arcsinxdx=arcsinxd(∫P(x)dx).P(x)arccosxdx=arccosxd(∫P(x)dx).P(x)arctanxdx=arctanxd(∫P(x)dx).P(x)arccotxdx=arccotxd(∫P(x)dx).§4有理函數(shù)的積分法一、

定義設(shè)P(x)和Q(x)≠0都是實系數(shù)多項式,則形如P(x)/Q(x)的函數(shù)稱為x的有理函數(shù),當(dāng)P(x)的次數(shù)不低于Q(x)的次數(shù)時,稱P(x)/Q(x)為假分式,否則就稱之為真分式.對于一個假分式,我們可以用多項式除法,將它化為一個多項式與一個真分式之和.例如:=x3x2+x2

2性質(zhì)

假定P(x)/Q(x)為既約真分式,①若Q(x)=(xa)mQ1(x),mN+,Q1(a)≠0,則其中P1(x)/Q1(x)為真分式,A1,B1,…,Am,Bm為常數(shù).②若Q(x)=(x2+px+q)mQ1(x),m為正整數(shù),p24q<0,Q1(x)不含(x2+px+q)因